2.1.1 线性方程组(克莱姆法则)
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
克莱姆法则解方程组解法
克莱姆法则是一种用于解线性方程组的方法，它基于行列式的性质。下面是使用克莱姆法 则解方程组的步骤：
1. 给定一个线性方程组，假设有n个未知数和n个方程。
2. 将方程组的系数矩阵记为A，常数矩阵记为B。
3. 计算系数矩阵A的行列式，记为|A|。
4. 对于每个未知数Xi，将系数矩阵A中第i列替换为常数矩阵B的列，得到新的矩阵Ai。
克莱姆法则解方程组解法
此外，克莱姆法则的计算复杂度较高，特别Байду номын сангаас对于大型的方程组来说，计算行列式和替换 矩阵的操作都需要较大的计算量。因此，在实际应用中，通常会使用更高效的解方程组的方 法，如高斯消元法或矩阵求逆等。
克莱姆法则解方程组解法
5. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|。
6. 使用克莱姆法则的公式，解出每个未知数的值：Xi = |Ai| / |A|。
7. 重复步骤6，依次解出所有未知数的值。
需要注意的是，克莱姆法则只适用于方程组的系数矩阵满足非奇异（可逆）的条件，即 |A| ≠ 0。如果方程组的系数矩阵是奇异的，即|A| = 0，那么克莱姆法则无法使用。
线性方程组解 克拉姆法则精品PPT课件
The foundation of success lies in good habits
20
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理 如果齐次线性方程组2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克拉默法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
第七节 克拉姆法则
1、克拉姆法则 2、线性方程组解的讨论
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
克莱默公式
克拉默法则公式：a21=x1。
克莱姆法则，又译克拉默法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
cramer法则又名克拉默法则，外文名Cramer's Rule是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，在他的线性代数分析导言中发表的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O （n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加
尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。
他自1727年进行为期两年的旅行访学。
克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解。
线性方程组和克莱姆法则(共20张PPT)
a11 0 0
②四类可直接求出的行列式
②四类可直接求1．出的对行角列式行列式
例1 解线性方程组
0 D
a22 0
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆
④几种特殊行列式的计算方法 ①一个概念（n阶行列式）
0 00
推论1 ：若齐次线性方程组
推论1 ：若齐次线性方程组
c1 3c3 c2 2c3
2 3 1 2 5234 0010 2432
第6页，共20页。
2 3 1 2
2 3 2
010
5
2
3
4
按第三行展开
1 (1)33 5
2
4 r1 r3 5 2 4
0010
242
2以，方程组有唯一解
2 1 1 2 2 1 1 2
4 D1 1
a1n xn b1 a2n x2 b2 叫做n阶线性方程组.
ann xn bn
它的系数 aiji,j1,2,...n 组成的行列式
a11 a12 D a21 a22
a1n a 2 n 称为方程组 系数行列式.
an1 an2
ann
第4页，共20页。
二、克莱姆法则
定理（克莱姆法则） 若线性方程组
D4 3
1 2 1 1
1 2 1 4
由克莱姆法则得,
x1
D1 D
1
x3
D3 D
0
x2
D2 D
2
x4
D4 D
1 2
第8页，共20页。
推论1 ：若齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
线性代数—克莱姆法则
D 0,则(2)必有非零解.
8
例2 问 取何值时，齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 0
x1
x2
x3
0
x1 x2 x3 0
有非零解？
解 1 1 2 1 1
11 1
D 1 1 2 1 ( 2) 1 1
3 2
0 1
9 27,
5
14 0 6
1 4 7 0
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
7
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
称方程组 a21x1a22x2a2nxn 0
D 27,
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
1
2 81, D2 0
9 5
0 1
6 108,
2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27, D4
1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
0,
an1 an2 ann
线性方程组Crammer法则
证明 将方程组（2.1)表为矩阵形式
AX B (2.2)
其中A (aij )nn, X (x1, x2,...,xn )T , B (b1,b2,...,bn )T .
由于det A 0, 故A可逆.
X A1B (2.3)（注意与 BA1的区别）
由A1 1 A*, 从而上式成为
1 5 2
1 31 31
0
3
1
8
11 1
0 8 1
123 det B3 2 1 3
1 4 5
12 3 5 0 5 3 6 0 6 8
故方程组的解为
x1 x2
3 1
x3 2
3 22
8
如果方程组（2.1）中，所有常数b1，b2， ，bn 全为零，则称线性方程组为齐次线性方程组．
a11 a12 a1n 的系数行列式 det A a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
则方程组（2.1)有唯一解,并且 x j
det B j det A
,
j
1,2,, n
其中det
B
是将系数行列式
j
det
A的第j列元素
a1 j , a2 j ,..., anj ,换成常数项b1,b2,...,bn后所得到的 行列式.
b1 a12 b2 a22 a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
定理2.1 （克莱姆(Crammer)法则）
如果含有n个方程n个未知量组成的线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1, a21x1 a22x2 a2nxn b2,(2.1) an1x1 an2 x2 ann xn bn
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基本概念： 基本概念：
c c cn = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ≡ b1 a x + a x +L+ a x = b 21 c1 22 c2 2 n cn ≡ 2 2 1 n 对于方程组 M a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a m n x n ≡ bm c1 c2 cn =
即 AX = B 阶方阵. A是n阶方阵.
A
↑
↑
X
B
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ( 2.1) M an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn a11 a12 ... a1n x1 b1 a x b a22 ... a2 n 21 2 = 2 M M M M an1 an 2 ↑ ... ann x n bn A AX = B
( 2.1)
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n 当其系数行列式 d et A = ≠0时 ≠0时, M M M an1 an 2 ... ann det Bn det B2 ... det B1 xn = x2 = 有且仅有唯一解 x1 = det A det A det A
两个条件: 三个结论: 两个条件: 三个结论:
证
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 将方程组 a x + a x + ... + a x = b 21 1 2 ( 2.1) 22 2 2n n M an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
表为矩阵形式
a11 a12 ... a1n x1 b1 a a22 ... a2 n x2 b2 21 = M M M M M a an 2 ... ann xn bn n1
↑
如果存在 n个数 c1 , c2 ,..., cn , 使得当 x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn = cn 时，方程组的 m 个等式 都成立, 则称 都成立,
x1 = c1, x2 = c2 , ..., xn = cn 为该方程组的一个解． 为该方程组的一个解
称为方程组的解集. 称为方程组的解集. 解集 方程组的全体解构成的集合， 方程组的全体解构成的集合，
−1
由于 det A ≠ 0 −1 A 可逆， 故Ａ可逆， 存在 −1 −1 由 A AX = A B
A −1 B 得X=
因此,方程组(2.1) 因此,方程组(2.1) 有解, 且解必为 有解, −1 X=A B 存在唯一. 从而 解存在唯一.
X = A B 是方程组( 2.1 )的唯一解. 是方程组( 的唯一解. )的唯一解
det B1 =
b1 a12 b2 a22 M M bn a n2
... a1n ... a2n M ... ann
a11 det B2 = a21 M an1
b1 a13 b2 a23
M M bn an3
... a1n ... a2n ... M ... ann
a11 a12 ... b 当 det A ≠ 0 时, 有且仅有唯一解： 有且仅有唯一解： 1 a21 a22 ... b2 det Bn det B1 det B2 ... xn = x1 = x2 = det Bn= det A det A det A M M M an1 an2 ... bn
三元线性方程组
x1 =
b1 a12 b2 a22 b3 a32
a13 a23 a33
a11 b1 a13 a21 b2 a23
a11 a21
a12 b1 a22 b2 a32 b3
a12 a13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x2 =
a31 b3 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a12 a22
x2 =
a11 a21 a11 a21
b1 b2 a12 a22
克莱姆(Cramer) (Cramer)法则 一、克莱姆(Cramer)法则 二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 当 det A = a a22 ≠0 时,方程组有唯一解： 21 a11 b1 b1 a12 a21 b2 det B2 b2 a22 det B 1 = x2 = x1 = = det A a11 a12 a11 a12 det A a21 a22 a21 a22
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b (Ⅰ) 21 1 22 2 2n n 2 M am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm c11 x1 + c12 x2 + L + c1n xn = d1 c x + c x +L + c x = d 2n n 2 与 21 1 22 2 (Ⅱ) M ck 1 x1 + ck 2 x2 + L + ckn xn = d k
−1 det A ≠ 0 时, 方程组(2.1) (2.1)有唯一解 方程组(2.1)有唯一解 X = A B 即 当 11b1+ A21b2 + ... + An1bn A x1 A11 A21 ... An1 b1 A b + A b + ... + A b x 1 A A ... b 1 12 1 22 2 n 2 n An 2 2 12 22 2 = = M M M M det A M A M A b + A b + ... + A b A1n A2n ... Ann b nn n 1n 1 2 n 2 xn n det B1 det B1 x = det B2 ... x = det Bn n 2 det A 1 det B2 即 x1 = det A det A = det A M det B 证毕 n
x3 =
a31
a11
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 四元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a13 x3 + a24 x4 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3 a x + a x + a x + a x = b 41 1 42 2 43 3 44 4 4
a11 a12 a13 a14
当 det A = a21 a22 a23 a24 ≠ 0 时,
a31 a32 a33 a34
a41
a42
a43
a44
方程组有唯一解： 方程组有唯一解：
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a13 x3 + a24 x4 = b2 a x + a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 34 4 3 a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = b4 a111 a12 ab1 a14 b a12 13 ab2 a22 a23 a24 a22 b2 21 ab3 a32 a33 a34 a32 b3 31 ab a42 a43 a44 a42 b 41 4 x = x31 = 4 x4 = x2 = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
≠0 时
当 a11a22 − a12 a 21 ≠ 0 时，
b1a22 −b2a12 x1 = a11a22 − a12a21 b2a11 −b1a21 x2 = a11a22 − a12a21
b1
方程组有唯一解： 方程组有唯一解：
a12 a 22 b2
x1 =
a11 a21
设有两个 n 元线性方程组
如果方程组(Ⅰ) 都是方程组(Ⅱ)的解; (Ⅱ)的解 如果方程组(Ⅰ)的每个解 都是方程组(Ⅱ)的解; (Ⅰ)的解 方程组(Ⅱ)的每个解, 都是方程组(Ⅰ)的解, 同时 方程组(Ⅱ)的每个解, 都是方程组(Ⅰ)的解, 同解. 则称这两个方程组 同解.
§２.１线性方程组 首先讨论： 首先讨论： 未知量的个数 = 方程的个数 的方程组. 的方程组.
第二章 线性方程组 线性方程组的一般形式为
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 M am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm