圆锥曲线专题(点差法)

圆锥曲线专题：点差法的使用

例1:椭圆C:13

42

2=+y x 的左顶点为A,左焦点为F 。过M （-４,0)作直线l 交曲线C 于B 、C 两点(B 在M 、Ｃ之间），N 为B Ｃ的中点。

（1） 证明:ON BC k k ⋅为定值;

（2） 求点Ｎ的轨迹方程；

（3） 是否存在直线l ，使得FN ⊥AC ？

(1)1342121=+y x ；1342

222=+y x 作差得()()()()03

421212121=+-++-y y y y x x x x ，

所以4

3

21212121-=++⋅--=

⋅x x y y x x y y k k

ON BC

。

(2)⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=--=+=+=+=+4221341342

121212

1

2

2222

1

21x y

x x y y y

y y x

x x y x y x ﻩ()()()()()。y x x y

y x y y y y x x x x 13420432420342221212121=++=+⋅+=+-++-整理可得代入得作差得 再由中点须在原椭圆内部得点N 的轨迹为：()()0x 113

422

2≤<-=++y x 。

(3)由F （-1,0），可知0>FN k ,0>AC k ,所以不存在直线ｌ，使得FN ⊥AC 。

例2：椭圆Ｃ:13

42

2=+y x 上有两个不同的点A 、B,已知弦ＡB 的中点T 在直线1=x 上,试在x 轴上找一点P ，使得BP AP =。

解:

()11,y x A 、()22,y x B 、()0,0x P 、()t T ,1。

1342

12

1=+y x ；13

42

22

2=+y

x ;221=+x x ；t y y 221=+。

BP AP =PT AB ⊥⇔=-=⋅⇔1PT AB k k 0

2

1211x t x x y y -⋅

--

由()()()()03421212121=+-++-y y y y x x x x ,所以4

10

=x 。

例3:抛物线x y 42

=上两点A 、Ｂ满足0=+PB PA k k ,其中Ｐ(1，2），求证:AB k 为定值。

1214x y =；22

24x y =作差得

2

121214

y y x x y y +=--

由0=+PB PA k k 得

241+y +0242=+y 。所以AB k 2

121214

y y x x y y +=--==-1。

练习：

1、椭圆14162

2=+y x 的一条以M(1，１)为中点的弦ＡＢ所在直线的方程为 ｘ+4ｙ=5 。 2、椭圆14

162

2=+y x 的过定点A （２,５）的弦的中点轨迹方程为 x （ｘ-2）+4y （y －5）=０(内)。

3、双曲线13

2

2

=-y x 的斜率为2的弦的中点轨迹方程为 ２y=3x （内） 。 4、椭圆13

42

2=+y x 上存在不同的两点A 、Ｂ关于直线m x y +=4对称,则实数m 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-13132,13132。

5、双曲线2ｘ2

－3y 2

=6的一条不过原点的弦ＡB 恰被直线y=2ｘ平分，则=

AB k 3

1

。 ６、已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点,

ＭN 中点的横坐标为,3

2

-则此双曲线的方程是＿＿15222=-y x ___＿。 7、已知,,A B P 是双曲线22

221x y a b

-=上不同的三点,且,A B 连线经过坐标原点,若直线

,PA PB 的斜率乘积2PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率为_＿3__＿__。

8、已知A 、Ｂ是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>长轴的两个端点，M,N 是椭圆上关于ｘ轴对称的

两点，直线AM ，BN 的斜率分别为ｋ1,k 2，且k １k ２≠０,若|ｋ1|+|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为__＿

2

2

____。 9、定长为3的线段AB 的两端点Ａ、B 在2

y x =上运动时,求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的轨迹方程。

()()⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=-+-=+=+==9

222

2122121212222

11y y x x y y y x x x y x y x ﻩ由()()()()()()212212221212

21212122122121221221244y y y y y y x x y y x x y y y y y y x x x x x x -+=+=+=-+=--+=-

代入得：()

()x

y y x y x

--+--=222

22

2442449

化简可得：()

4

5

14491

449

42

2224≥++

=++

+=

y y y y y x 。 １0、已知点A （1，２）和抛物线x y 42

=上两点B 、Ｃ，使得AB ⊥ＢＣ,求点Ｃ的纵坐标的取值范围。

由1-=BC AB k k 得

241+y 14

2

1-=+⋅y y 。 所以()()[)+∞⋃-∞-∈±≠-+-=

,106,22

16

1112y y y y 。