简谐振动的运动方程
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简谐振动最基本最重要的运动
当θ角很小时，有： M mgh —— 谐振
单摆：I mL2 h = L I
I
g
L
2 g
L
T 2 L
g
复摆：
2 mgh
I
T 2 I
mgh
振动周期均取决于系统本身。
七.谐振的能量
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin 2 (
2
t
)
1 kA2 sin 2 (
2
t
)
Ep
1k 2
02 2 A、φ由初始条件决定。
若：
2＞
2 0
则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。
2 02
称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。
应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。 二. 受迫振动
1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用 下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐 振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力 的周期，振幅保持不变。
阻尼越小，振幅越大。
定量分析：
dA d (
f
)0
d p
d p
(
2 0
2 p
)2
4
2
2 p
得： 02 2
A Amax
f
Amax
2
02 2
阻力越小，ωp越接近ω0。同时 Aτ也越大。
β
0
ωτ
ω0
Amax
∞
§6. 谐振的合成
一.两个同方向 同频率的合成
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
A = A1－ A2 为最小 二.同方向不同频率的合成 拍
合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
解：(1 )A6 1 2 0 m , /3 ，
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
简谐运动的表达式
求它们的振幅之比、各自的频率，以及它 们的相位差。1
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
简谐振动的概念
简谐振动的概念
简谐运动随时间按余弦（或正弦）规律的振动，或运动。
又称简谐振动。
简谐运动是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
扩展资料
简谐振动位移公式：x=Asinωt
简谐运动恢复力：F=-KX=-md^2x/dt^2=-mω^2x
ω^2=K/m
简谐运动周期公式：T=2π/ω=2π(m/k)^1/2
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；
φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它在自然界和工程领域中都有广泛应用。
简谐振动的运动方程描述了振动物体在平衡位置附近的周期性运动规律，可以用于解释弹簧振子、摆钟、电路中的振荡电流等现象。
简谐振动的运动方程可以表示为x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示振动物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位差。
这个方程描述了振动物体随时间变化的位置情况。
简谐振动的周期是指振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期T与角频率ω之间有关系T = 2π/ω。
振动的频率则是指单位时间内完成的振动次数，可以表示为 f = 1/T = ω/2π。
振动的频率与角频率是相互关联的，它们描述了振动物体的快慢程度。
简谐振动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，振动物体的运动范围就越大。
振动物体的能量也与振幅有关，振幅越大，能量越高。
振幅与振动物体的势能和动能之间也存在着一定的关系。
简谐振动的初相位差是指振动物体在某一时刻与参考点的位移差。
初相位差决定了振动物体的起始位置，它与振动物体的初始条件有关。
初相位差的不同会导致振动物体的运动规律发生变化。
简谐振动的运动方程可以通过牛顿定律和胡克定律推导得到。
牛顿定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，胡克定律则描述了弹簧的弹性特性。
将这两个定律结合起来，可以得到简谐振动的运动方程。
简谐振动在自然界和工程中都有广泛的应用。
在自然界中，摆钟的摆动、弹簧振子的弹动、声波的传播等都是简谐振动。
在工程领域中，简谐振动的原理被应用于建筑物的抗震设计、机械振动的控制、电路中的振荡电流等。
简谐振动还有一些特殊的性质。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度之间存在着一定的相位关系。
位移和速度的相位差是π/2，位移和加速度的相位差是π。
这些相位关系可以通过简谐振动的运动方程进行推导得到。
简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它可以用运动方程来描述振动物体的运动规律。
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
普通物理学 §10-1 简谐振动
是代数值，有正负。 注意: φ有二个解。
如φ=α是解
φ=π+α也是解.
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2 A x0 ( v0 ) 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完整振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
4
T
2
3T
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
第一次回到平衡位置所需时间：
△t = （ π/3 + π/2） /ω = (5π/6) /π = 5/6 秒 =0.83s
B’ O 0.06
●
ω
φ B C
x (m
A(t=0)
例2一谐振动的振动曲线如图所示。 φ 求：ω 、 以及振动方程。 x x A
A 2
A
A x0 = 2 t = 0时 { ...φ = π 3 v0 ＞0 A x1 = 0 2π ..Φ 1= π . t =1时 { dx 2 v1 = x dt ＜ 0 π =π ..ω = 5 π . Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1
M P
A
简谐振动方程
简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
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) )
合振动
x
x1
x2
2Acos 2
1
2
t cos 2
1
2
t
包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子
当两个振动的频率非常接近时
2
1
1 2
2
1或2
6
合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍频---只与振幅的大小有关，
简谐振动的运动方程 x Acos(t )
x
周期 T 2
A
频率 1/ T
2
角频率
振幅 A
相位 t
初相位
t
4
§7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成
一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ) 合振动 x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
1 3
sin
3t
20
非周期性振动的傅里叶分解
非周期性的振动，可理解成T →ω的周期振动，基频ω→0， 分解出的简谐振动频率间距ω→0 ，对应的振动频谱是连续谱。
简谐振动的复数表示法 Acos(t ) Aei(t)
傅里叶变换
x(t)
A()
1
2
1
A( )eit d
x(t)eit dt
2
23
§7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述
A A1 A2
简谐振动的矢量图象法
简谐振动用旋转矢量表示
A2
x Acos(t ) A
x Ai
x x1 x2 ( A1 A2 ) i
A1
2 1
24
简谐振动的复数表示
x Aei(t0 ) x Aei(t0 ) A cos(t 0 ) iAsin(t 0 )
当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。
当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段
这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）
10
x、y两垂直方向的简谐振动
x Ax cos(xt x )
非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 第二类可以作傅里叶（Fourier）变换 因而非简谐振动都可分解为简谐振动
设振动的周期为T，周期函数满足 x(t T ) x(t)
引入 2
T
称为基频率，简称基频
n n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）
14
16
例6 方波
1, nT t nT T / 2 x(t) 1, nT T / 2 t (n 1)T
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt 0
0
x 1
O
T
t
Bn
2 T
T
x(t)sin ntdt
4
,
0
(2m 1)
n 2m 1, m为正整数
17
x(t)
2
A() 构成连续的傅里叶频谱
21
例8 δ函数
定义
(t)
0, ,
(t 0) (t 0)
性质
b a
(t)dt
10,,
(a,b 0或a, (a 0 b)
b
0)
另一种形式的δ函数
(t)
lim k
1
sin t
kt
A( ) 1 (t)eitdt 1
2
2
22
(t) 1 eitd
例如从零再变到零。
拍 1 2
拍 2 1
拍是一个重要的现象，有许多应用。
7
§7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成
如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向
x Ax cos(t x )
y
Ay
cos(t
y
)
这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程
x2 Ax2
y2 Ay2
第七章 振动和波
1
振动与波无所不在
振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。
2
§7.1 简谐振动的运动学描述
§7.1.1 运动方程
振动：物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动
x
t
3
m)
15
一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开
x(t)
A0 2
An
n1
cosnt
Bn
sin nt
2 T
A0 T
x(t)dt
0
An
2 T
T
x(t) cos ntdt
0
2 Bn T
T
x(t)sin ntdt
0
x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 nω的一系列简谐振动 ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅
傅里叶级数： 1, cost, sint, cos2t, sin 2t, cosnt, sin nt,
它们都具有周期 T，且有正交性和完备性
正交性
T
0 sin nt cosmtdt 0
T 0
c os nt
c os mtdt
0(n m) T / 2(n
m)
T 0
sin
nt
sin
mtdt
0(n m) T / 2(n
Acos(t )
合振动的振幅与相位差有关 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
5
§7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成
考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动
xx21
A cos(1t A cos( 2t
2xy Ax Ax
cos(x
y)
sin
2 (x
y)
为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动
8
特例1
x y 2k
xy Ax Ay
特例2
x y (2k 1)
x y
Ax
Ay
特例3
x y (k 1/ 2)
x2 Ax2
y2 Ay2
1
其它情况为斜椭圆
9
§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成
y
Ay
cos(yt
y
)
x : y 1: 2 时，对应不同初相位差的李萨如图形
y
O
x
相邻的李萨如图形初相位差为12°
11
x :y 2:3
x :y 3: 4
相邻的李萨如图形初相位差为12°
12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ :y 3:5
x :y 5:8
相邻的李萨如图形初相位差为12°
13
§7.1.6 非简谐振动的简谐分解
4
sin t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
18
例7 锯齿波
x(t) 1 2 t, nT t (n 1)T T
x
A0
2 T
T
x(t)dt 0
0
1
O
T
t
2
An T
T
x(t) cos ntdt 0
0
Bn
2 T
T
x(t)sin ntdt
2
0
n
19
x(t)
2
sin
t
1 2
sin
2t