简谐振动运动方程的推导
简谐振动运动方程的推导
简谐振动运动方程的推导
在简谐振动中，物体的运动可以用如下的函数描述：
x = A sin(ωt + φ)
其中，x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。
我们可以通过求解物体的运动方程，来推导简谐振动的公式。
假设物体的质量为m，在一个弹簧的作用下，它做简谐振动。
根据牛顿第二定律，可以得到如下的运动方程：
F = ma
其中，F表示作用力，a表示加速度，根据胡克定律，可以得到：
F = -kx
其中，k表示弹簧的劲度系数，x表示物体的位移。
将上述式子代入运动方程中，可以得到：
ma = -kx
化简得：
a = -k/mx
我们可以将上述式子写成如下的形式：
a=−ω∧2x
其中，ω∧2=k/m,表示角频率的平方。
将x的表达式代入上述式子，可以得到：
a = - Aω^2 sin(ωt + φ)
这就是简谐振动的加速度公式。
简谐振动与波动的基本原理
简谐振动与波动的基本原理简谐振动和波动是物理学中非常重要的概念。
它们在自然界和工程中起着极为重要的作用。
本文将介绍简谐振动和波动的基本原理。
一、简谐振动的基本原理简谐振动是指在恢复力作用下，物体沿着特定轴向或平面上周期性地振动的运动形式。
简谐振动的基本原理包括以下几个方面：1. 恢复力与位移的关系当物体偏离平衡位置时，恢复力的大小与偏离平衡位置的距离成正比。
即恢复力 F 和位移 x 满足 F = -kx，其中 k 是恢复力常数。
这表明恢复力与位移呈线性关系。
2. 运动方程和周期由牛顿第二定律和恢复力与位移的关系可以推导出简谐振动的运动方程。
对于简谐振动，其运动方程为 m(d²x/dt²) + kx = 0，其中 m 是物体质量。
简谐振动的周期 T 与振动系统的质量和恢复力常数有关，可以表示为T = 2π√(m/k)。
3. 能量与振幅的关系简谐振动的能量可以分为动能和势能两部分。
动能随着振动速度的平方而变化，势能随着振动位移的平方而变化。
当物体通过平衡位置时，动能达到最大值，势能为零；当物体达到极端位置时，动能为零，势能达到最大值。
振动的总能量保持不变，并与振幅的平方成正比。
二、波动的基本原理波动是指能量以波的形式传播的过程。
波动的基本原理包括以下几个方面：1. 波动方程波动的传播满足波动方程。
对于一维波动，波动方程可以表示为∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x²)，其中 u 表示波函数，t 表示时间，x 表示位置，v表示波速。
波动方程描述了波动在时间和空间上的变化规律。
2. 波的特性波动有许多特性，包括波长、频率、振幅和波速等。
波长λ 表示波的周期性重复结构的长度，频率 f 表示单位时间内波的周期性重复次数，振幅 A 表示波的最大偏离程度，波速 v 表示波动传播的速度。
这些特性之间有一定的关系，如c = λf，其中 c 表示波速。
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法弹簧双振子简谐运动是指两个振子之间存在弹性作用力，且其运动周期相同的振动运动。
其周期的计算方法如下：假设两个振子的质量分别为m1和m2，它们的自由长分别为l1和l2，弹性常数分别为k1和k2，则它们的角动量方程分别为：I1*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0I2θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0其中I1和I2分别表示振子1和振子2的转动惯量，θ1和θ2分别表示振子1和振子2的摆角。
将这两个方程化简后得到：(I1+I2)*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将θ1''和θ2''带入上式，得到：(I1+I2)*((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)(k2θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将两式合并得到：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 -(k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2移项后的结果是：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2化简得到：(I1+I2)*(k1+k2-k2)θ1 = (I1+I2)(k2-k1-k2)*θ2即：(k1+k2-k2)*θ1 = (k2-k1-k2)*θ2化简得到：k1θ1 = k2θ2得到结论：弹簧双振子的运动周期T满足公式：T = 2πsqrt((I1+I2)/(k1m1+k2m2))其中sqrt表示平方根。
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导简谐运动是指任一物体在弹性力作用下做往复运动的运动形式。
简谐运动的动力学条件可由牛顿第二定律推导得到，而周期公式可以通过运动方程和周期性的特点得到。
首先，考虑一个质点在弹性力作用下做简谐运动的情况。
设该质点的质量为m，位移为x(t)，加速度为a(t)，弹性力的大小为F，方向与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，可以得到：F = ma将弹性力分解为恢复力和阻尼力两部分，得到：F = -kx - bv其中，k为弹簧的弹性系数，b为阻尼系数，v为该质点的速度。
将上述两个方程整理得到：ma = -kx - bv设该运动的角频率为ω，即ω^2=k/m，则上述方程可以改写为：m(d^2x/dt^2) = -kx - b(dx/dt)将上式变形可得：d^2x/dt^2 + b/m(dx/dt) + k/mx = 0上述方程即为简谐运动的特征方程，通过求解特征方程可以求得x(t)。
设x(t)的解为：x(t) = A cos(ωt + φ)其中，A为振幅，φ为初相位。
将x(t)代入到特征方程中，可以得到：-Aω^2 cos(ωt + φ) + b/m(-Aωsin(ωt + φ)) + (k/m)Acos(ωt + φ) = 0化简上式可以得到：A(ω^2 - (b/m)ω) cos(ωt + φ) + (b/m)Aω sin(ωt + φ) = 0上式左右两边都乘以1/A，可得：(ω^2 - (b/m)ω) cos(ωt + φ) + (b/m)ω sin(ωt + φ) = 0由于振幅A不为零，因此上式中的括号内的内容必须为零，即：ω^2-(b/m)ω=0解上式可以得到两个解ω1=0和ω2=b/m。
显然，ω1=0表示没有振动，因此我们只考虑ω2=b/m的情况。
将ω=b/m代入到x(t)中，可得到：x(t) = A cos((b/m)t + φ)其中，（b/m）t+φ被称为相位角。
简谐振动的概念
简谐振动的概念
简谐运动随时间按余弦（或正弦）规律的振动，或运动。
又称简谐振动。
简谐运动是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
扩展资料
简谐振动位移公式：x=Asinωt
简谐运动恢复力：F=-KX=-md^2x/dt^2=-mω^2x
ω^2=K/m
简谐运动周期公式：T=2π/ω=2π(m/k)^1/2
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；
φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律简谐振动是指物体在一个恢复力作用下，以某一特定频率围绕平衡位置来回振动的现象。
其中，弹簧振子和单摆是两种常见的简谐振动体系。
本文将介绍弹簧振子和单摆的运动规律。
一、弹簧振子弹簧振子是通过连接弹性系数为k的弹簧和质量为m的物体来实现的。
弹簧振子的平衡位置是指物体静止时所处的位置，通常是将弹簧的伸长长度设为平衡位置。
1. 振动方程对于弹簧振子而言，其振动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体距离平衡位置的位移。
2. 运动规律根据振动方程，我们可以推导出弹簧振子的运动规律。
假设物体在t=0时刻的位移为x_0，速度为v_0，则弹簧振子的位移可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；ω是角频率，表示单位时间内物体的振动次数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
利用初条件，我们可以求解振幅和初始相位。
物体的速度可以表示为：v = -A * ω * sin(ωt +φ)由于速度和位移之间存在90°的相位差，我们可以得到速度的初相位：φ_v = φ + π/23. 简谐振动的特点弹簧振子的简谐振动具有以下特点：- 振动周期：T = 2π/ω，表示物体完成一个完整振动所需要的时间。
- 振动频率：f = 1/T，表示单位时间内物体的振动次数。
- 动能和势能：弹簧振子的动能和势能之和保持不变，即E =1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2，其中E为总能量。
二、单摆单摆由一个允许转动的杆和一个挂在杆末端的质点组成。
当质点被拉至一侧并释放时，它将在重力的作用下来回摆动。
1. 振动方程对于单摆而言，其振动方程可以表示为：m * a + mg * sinθ = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，θ是质点与竖直方向的夹角。
简谐波质点的振动方程公式
简谐波质点的振动方程公式在学习物理的旅程中，简谐波质点的振动方程公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解波动现象的大门。
先来说说简谐波质点的振动方程公式到底长啥样。
它一般可以写成y = A sin(ωt + φ) 或者y = A cos(ωt + φ) 。
这里的 A 表示振幅，就是质点振动的最大位移；ω 是角频率，和周期、频率有关系；t 是时间；φ是初相位，决定了振动的初始状态。
就拿咱们生活中的例子来说吧，想象一下你在湖边看到水波荡漾。
那些水粒子就像是一个个简谐波中的质点，它们上下振动着。
假如我们仔细观察其中一个质点的运动，就可以用这个振动方程公式来描述它的位置随时间的变化。
还记得有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式的时候，有个调皮的小家伙举手问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，从讲台上拿起一根绳子，一端系在桌子腿上，另一端握在手里上下抖动。
“同学们，看这根绳子上的波动，每个点的运动是不是有规律的？”大家都睁大眼睛看着。
我接着说：“这就像简谐波呀，我们用这个公式就能算出每个点在不同时刻的位置。
”然后我又在黑板上画出了几个不同参数下的振动图像，让大家对比着看。
“你们看，当振幅 A 变大时，振动的幅度就更大；角频率ω 变大，振动就变得更急促。
” 同学们开始交头接耳，讨论着这些变化。
在解题的时候，这个公式也是大有用处。
比如已知一个质点的振幅是 5 厘米，角频率是2π 弧度每秒，初相位是π/4 ，要我们求在 t = 2 秒时质点的位置。
这时候，我们把数值代入公式：y = 5 sin(2π×2 + π/4) ，经过计算就能得出答案。
其实，不仅仅是水波，声音的传播也可以用简谐波质点的振动方程公式来描述。
当我们听到美妙的音乐时，声音的波动也是符合这个规律的。
还有地震波，虽然它带来的可能是灾难，但从物理的角度看，也是可以用这个公式来分析的。
总之，简谐波质点的振动方程公式虽然看起来有点复杂，但它就像是一个隐藏在物理世界中的密码，只要我们掌握了它，就能揭开很多波动现象的神秘面纱，更好地理解这个奇妙的世界。
推导弹簧振子简谐振动的动力学方程。
推导弹簧振子简谐振动的动力学方程。
在我们的生活中，弹簧随处可见。
你想啊，弹簧压缩一下，然后又“嗖”的一下弹回来，那种感觉真是妙不可言。
今天我们就来聊聊弹簧振子的简谐振动，看看它背后那一套复杂又简单的动力学方程，听起来是不是有点高大上？其实啊，听我慢慢道来，你会觉得其实没那么难。
想象一下你手里有一个弹簧。
你抓着它的一端，另一端固定在桌子上，接着你用力把它压缩。
瞬间，弹簧就开始积蓄能量。
就像你平常储蓄一样，把钱攒到银行里，待会儿再花出去。
这个时候，弹簧里的弹性势能就开始发威了，它准备把储蓄的能量一股脑儿释放出去，像是捉摸不定的小精灵，随时准备冒出来。
然后你松开手，哇哦，弹簧就像是一个冲刺的小跑者，开始向外伸展，毫不留情。
这种迅速的运动就是我们说的“简谐振动”。
它的速度、方向，都是由这个神奇的力量决定的，弹簧也开始来回摇摆，就像是在追逐自己的梦想。
要知道，这种运动是非常规律的，简直就是在跳一支精美的舞蹈。
我们就得说说这个运动是怎么被数学化的。
你看，弹簧的恢复力与位移成正比。
简单点说，你把弹簧压得越深，它反弹的力就越大。
于是，咱们用个公式来表示这个关系：( F = kx )。
这个公式里的 ( F ) 是弹簧的恢复力，( k ) 是弹簧常数，( x ) 是位移。
负号表示恢复力总是与位移方向相反，哦，这不就是像一段情感的纠葛吗？然后，我们得从力的角度继续探索这个现象。
根据牛顿的第二定律，力等于质量乘以加速度。
所以，咱们可以把这个公式结合起来：( ma = kx )。
这里的 ( m ) 是弹簧的质量，( a ) 是加速度。
哎呀，这时候你就发现，运动的方程出来了，简直是神奇得让人想尖叫。
现在，我们再把它整理一下，得出：( a = frac{k{mx )。
这就是我们心心念念的动力学方程了！从这个方程中，你可以看出，加速度和位移之间存在着一种奇妙的关系。
它们之间的联系就像是一对老朋友，互相牵挂，时刻关注着对方的变化。
简 谐 振 动
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
简谐运动公式范文
简谐运动公式范文简谐运动是物理学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
其公式是描述简谐运动的基本方程，通过该方程可以了解到物体在简谐运动中的各种特性。
简谐运动是指物体在受到一个恒定的力作用下，其位移随时间变化呈正弦或余弦函数规律的运动。
在简谐运动中，物体的振幅、周期和频率等都是其重要特性。
简谐运动的公式可以通过牛顿第二定律推导得到。
根据牛顿第二定律，我们知道物体所受的力与物体运动的加速度成正比。
在简谐运动中，物体受到的恢复力是与其位移成正比的，即 F = -kx，其中 F 是恢复力，k是恢复力系数，x 是位移。
根据力与加速度的关系 F = ma，我们可以将恢复力与物体的加速度关联起来。
将 F = -kx 代入上述方程中，得到 -kx = ma，将加速度 a用位移 x 对时间 t 的导数表示，即 a = d^2x/dt^2，可以得到关于位移x 的二阶微分方程 -kx = m(d^2x/dt^2)。
对于简谐运动而言，其位移x随时间t变化的动力学方程是一个二阶常微分方程，解这个方程可以得到简谐运动的公式。
解这个微分方程得到的公式是：x = A*sin(ωt + φ)，其中 A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
其中振幅A表示物体在简谐运动中的最大位移，角频率ω表示物体在单位时间内完成的周期个数。
根据物体的周期T，我们可以得到角频率与周期的关系式ω=2π/T，频率f是周期的倒数，即f=1/T。
初相位φ描述了在t=0时刻物体的位移。
初相位的取值范围在0到2π之间。
当φ=0时，物体的位移最大；当φ=π/2时，物体的位移为0；当φ=π时，物体的位移最小，且与振幅方向相反；当φ=3π/2时，物体的位移再次为0；当φ=2π时，物体的位移回到最大值。
通过简谐运动的公式，我们可以得到物体在任意时刻的位移、速度和加速度。
速度 v 是位移 x 对时间 t的导数，即 v = dx/dt =Aω*cos(ωt + φ)；加速度 a 是速度 v 对时间 t的导数，即 a =dv/dt = -Aω^2*sin(ωt + φ)。
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1 2
kx2 =
E( v
表示物体的振
动速度, x 表示物体离开平衡位置的位移) 变形
图
( 2) 式两边平方有: 2kEx2= Cos2U, ,( 3) ( 2) 式微分 dx= 2kESinUdU,,( 4) ( 3) ( 4) 两式代入( 1) 式后化简:
X 收稿日期: 2000- 11- 05 作者简介: 蔡群( 1963- ) , 女, 浙江温州人, 副教授, 主要从事物理教学及研究
k m
,
可得二阶常系数线性齐次微分方程
dd2tx2 + X2x= 0 , ,( 1)
方程( 1) 的特征方 程为: r2 + X2 = 0 它有两
个复根 r= ? iX
方程( 1) 式的两个特解为
x1= e+ iXt , x2= = e- iXt
其通解 为: x = C1e+ iXt + C2e- iXt , ,( 2)
第 3卷
=
A21+ A22(
A1 A 21+
A22 CosXt
+ A2 SinXt) , ,( 3) A21+ A22
( A1= C1+ C2, A2= C1- C2 为常数)
令 A=
A 21+ A22 CosU0=
A1 A21+ A22
SinU0
=
A2 A21+ A22
代入( 3) 式得
x= A( CosU0CosXt+ SinU0SinXt ) 根据三角函数和角公式, 同样得到弹 簧振
( C1, C2 为常数)
根据欧拉公式
e(A? iB) x= ( CosBx ? iSinBx) eAx
有 e ? iXx= CosXt ? iSinXt 代入( 2) 式
x= ( C1+ C2) CosXt+ C1- C2) iSinXt
= A1CosXt + A2iSinXt
6
蒙自师范高等专科学校学 报
2E mgL
Cos (
g L
t+
U0)
令 A= m2gEL, X= 单摆的运动方程
g L
代入(
13
)
式可得到
H= ACos( Xt + U0) 的形式.
2 应用牛顿第二运动定律
2. 1 弹簧振子:
物体 m 总是受到 回复力 f 的作用, 根据胡
克定律及牛顿第二运动定律得-
kx=
m
d2x dt2
,
并
设 X2=
参考文献: [ 1] 梁绍荣. 刘昌年. 盛正 华. 普 通物理学[ M ] . 第 一分
册. 力学. 北京: 高等教育出版社, 1995. 299- 303. [ 2] 顾 建 中. 力学 教 程[ M] . 北 京: 高 等 教育 出 版社,
1985. 150- 162. [ 3] 孙庆元. 力学 [ M] . 青岛: 海 洋出 版社, 1992. 197-
第3卷 第2期 2001 年 4 月
蒙自师范高等专科学校学报 Journal of Mengzi T eachers. College
Vol. 3 No. 2 Apr. 2001
简谐振动运动方程的推导X
蔡 群1 刘 燕2
( 1) 蒙自师范高等专科学校物理系, 云南 蒙自 661100; 2) 云南师范大学物理系, 云南 昆明 650031)
ddHt )
2+
1 2
mgLH2=
E , ,( 6)
( 6) 式变形后
ddHt = m2EL2( 1- m2gELH2) , ,( 7)
令 m2gELH= - CosU, ,( 8) ( 8) 式平方m2gELH2= Cos2U, ,( 9)
( 8) 式微分 dH=
2E mgL
SinUdU,
,(
10)
社, 1988. 381- 385. [ 7] 四川大学数学系. 高等数学教研组编. 高等数学第
一册[ M] . 北京: 人民教育出版社, 1978. 228- 232. [ 8] 赵 凯 华. 罗蔚 茵. 力 学 [ M ] . 北 京: 高 等 教育 出 版
社, 1995. 125- 129.
Derivation of Simple Harmonic Motion Equation
CAI qun1 LIU Yan2
( Department of Physics, Mengzi T echers. College, Mengzi 661100 China; 2) Department of Physics, Yunnan Normal University, Kunming 650031 China)
后得
v=
dx dt
=
2mE-
k m
x2
=
2E m
(
1-
2kEx2)
dx = 1- 2kEx2
2E m
dt
,,(
1)
令: 2kEx= - CosU,,( 2)
1 应用机械能守恒定律
1. 1 弹簧振子: 对于 弹簧振 子是忽 略任何 阻力的 理想 情
况, 在整个运动过程中机械能守恒, 其势能曲线
如图. 图中 E= Ek+ Ep E 表示总机械能, Ek 表 示振动动能, Ep 表示弹性势能.
第 2期
蔡 群: 简谐振动运动方程的 推导
5
dU=
k m
dt
,,(
5)
设初始条件 t = 0, U= U0+ P, ( 5) 式求 定积
U
t
分 Q dU= Q
U0+ P
0
k m
dt,
U=
将 U值代入( 2) 式
k m
t+
U0+
P
x= -
2kECos(
k m
t+
U0+
P)
=
2kECos(
k m
t+
U0)
子的运动方程 x= ACos( Xt + U0)
2. 2 单摆
物体 m 受重力 mg 及拉力 T 作用在平衡位
置附近振动. 根据牛顿第二运动定律有:
-
mgSinH=
mL
d2H dt2
SinH用泰勒级数 展开, 因 H[ 5b, 忽略高 次
项 SinH= H代入上式
dd2tH2 = -
g L
H
令 X2=
( 9) ( 10) 两式代入( 7) 式后化简
dU=
g L
dt
,
,(
11)
设初始条件 to= 0, U= U0+ P, ( 11) 式求定积
分
U
t
Q dU= Q
U0+ P
0
g L
dt
U=
g L
t+
U0+
P,,(
12 )
( 12) 式代入( 8) 式
H= -
2E mgL
Cos(
g L
t+
U0+
P)
=
Ek=
1 2
mv2=
1 2
mL(
ddHt )
2
,
,(
2)
Ep= mgL ( 1- CosH) , ,( 3)
CosH用泰勒级数展开, H角很小, 可忽略高
次项,
CosH=
1-
H2 2
,,( 4)
( 4)
式代入( 3) 式
Ep=
mgL
H2 2
,,(
5)
( 2) ( 5) 两式代入( 1) 式
1 2
mL2(
摘 要: 本文从不同的物理角度, 导出了简谐振动的运动方程. 关 键 词: 简谐振动; 弹簧振子; 单摆; 微分方程 中图分类号: O32 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9128( 2001) 02- 0004- 03
关于简谐振动, 许多文献[ 1] ~ [ 6] 总是直接给 出简谐振动的运动方程, 如: 弹簧振子直接 给 出 x= ACos( Xt+ U0) ; 单摆直接给出 H= ACos( Xt + U0) 等. 本文根据简谐振动的物理意义应用机 械能守恒定律及牛顿第二运动定律, 分别 推出 以上两个运动方程式, 希望以此与同行共讨.
g L
有dd2tH2 + X2H= 0
同 2. 1 中解此微分方程可得单摆运动方程
H= ACos( Xt + U0)
3 结束语
本文从机械能守恒定律和牛顿第二运动定 律出发, 分别讨论了弹簧振子及单摆两种简谐 振动的运动方程, 两种方法各有千秋, 但均有普 适性, 所以其它简谐振动( 如: 复摆、扭摆) 的运 动方程也可用同样方法获得.
210. [ 4] 马文蔚. 柯 景凤. 物 理学[ M] . 下册. 北 京: 高等 教
育出版社, 1982. 1- 18. [ 5] 刘克哲. 普通物理学[ M] . 北京: 高等教育 出版社,
1994. 114- 124. [ 6] 祝 之 光. 物理 学 [ M ] . 下 册. 北 京: 高 等 教育 出 版
,,( 6)
令 A=
2E k
X=
k m
代入(
6)
式
可得到弹簧振子的运动方程:
x= ACos( Xt+ U0) 的形式.
1. 2 单摆: 对于单摆也是在忽略阻力的理想情况, 整
个实验过程机械能守恒. 其势能曲线与 1. 1 中
图相同. 同样 Ep+ Ek= E ,,( 1) 用 H表示摆角, L 表示摆长.