大学物理,机械振动16-1-1 简谐振动特征及表达式
简谐振动的特性与公式
简谐振动的特性与公式简谐振动是指物体在回复力的作用下，以一个固定的角频率在平衡位置周围做往复运动的现象。
它是力学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
本文将探讨简谐振动的特性以及相关的公式。
一、简谐振动的特性1. 平衡位置与位移：简谐振动的平衡位置是物体在无外力作用下所处的位置，位移是物体相对于平衡位置的偏移量。
在简谐振动中，物体在平衡位置附近做往复运动，位移大小与方向随时间变化。
位移可以用矢量表示，方向与偏离平衡位置的方向相反。
2. 振动的周期与频率：简谐振动的周期是完成一次完整往复运动所需的时间，用符号T表示。
频率是单位时间内完成的往复运动次数，用符号f表示。
周期和频率之间存在以下关系：f=1/T。
3. 振幅与最大速度：简谐振动的振幅是位移的最大值，表示振动的幅度大小。
最大速度是物体在振动过程中达到的最大速度，与振幅相关。
振幅越大，最大速度越大。
4. 角频率与周期：角频率是简谐振动中角度随时间变化的快慢程度，用符号ω表示。
角频率与周期之间存在以下关系：ω=2πf=2π/T。
二、简谐振动的公式1. 位移与时间的关系：简谐振动的位移随时间的变化可以用正弦函数来描述。
当物体从平衡位置出发向一个方向运动时，位移的函数关系可以表示为：x(t) = A * sin(ωt)，其中x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率。
2. 速度与时间的关系：简谐振动的速度随时间的变化也可以用正弦函数来描述。
速度的函数关系可以表示为：v(t) = A * ω * cos(ωt)，其中v(t)为时间t时刻的速度。
3. 加速度与时间的关系：简谐振动的加速度随时间的变化同样可以用正弦函数来描述。
加速度的函数关系可以表示为：a(t) = -A * ω^2 *sin(ωt)，其中a(t)为时间t时刻的加速度。
以上公式是简谐振动中最基本的公式，通过它们可以计算出简谐振动过程中任意时刻的位移、速度和加速度。
三、应用举例简谐振动的特性与公式在实际应用中有着广泛的应用。
2023高考物理专题冲刺训练--机械振动(一)--简谐运动的特征、表达式、图像的理解与应用
简谐运动的特征、表达式、图像的理解与应用一、简谐运动的基本特征：对简谐运动的理解受力特点回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特点靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒周期性做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T2对称性(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即t PO＝t OP′(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即t OP＝t PO(4)相隔T2或2n＋1T2(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反二、简谐运动的图象1．简谐运动的数学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)2．根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．3．简谐运动的对称性(如图)(1)相隔Δt ＝nT (n ＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt ＝(n ＋12)T (n ＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
简谐振动的特征和表示方法
简谐振动的特征和表示方法简谐振动是物理学中一种重要的振动现象，广泛应用于各个领域。
本文将论述简谐振动的特征和表示方法，以帮助读者更好地理解和应用简谐振动。
一、简谐振动的特征简谐振动是指受力恢复力与物体偏离平衡位置成正比的振动过程。
简谐振动具有以下主要特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，该位置处物体不受力作用，相对于该位置发生振动。
2. 振动频率：简谐振动的频率是指单位时间内完成的振动周期数。
频率与弹性系数、质量有关，表征了振动快慢。
3. 振幅：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离，振幅与振动能量相关。
4. 相位：简谐振动的相位是指物体在振动过程中的状态，用来描述物体与平衡位置的关系。
相位角随时间变化而变化。
二、简谐振动的表示方法简谐振动可以用多种方式表示，常见的表示方法包括：1. 位移-时间表示：用物体的位移随时间的变化来描述简谐振动。
位移随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为x(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角速度，φ为相位角。
2. 速度-时间表示：用物体的速度随时间的变化来描述简谐振动。
速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为v(t) = -Aωsin(ωt + φ)。
3. 加速度-时间表示：用物体的加速度随时间的变化来描述简谐振动。
加速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为a(t) = -Aω^2cos(ωt + φ)。
4. 质点运动轨迹表示：简谐振动的质点运动轨迹可以用二维坐标系中的曲线来表示。
常见的简谐振动运动轨迹有直线、椭圆和圆周等形状。
5. 动能-势能图表示：简谐振动的动能-势能图是一种图形表示方法，用来描述振动系统的能量变化。
动能-势能图呈现周期性交替变化的特点，体现了能量从动能到势能再到动能的转换。
三、简谐振动的应用简谐振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 力学系统中的弹性振动：弹簧振子、单摆等力学系统中的振动往往可以近似看作简谐振动，通过振动频率和振幅等参数来描述振动特性。
大学物理(振动学)
)
(t 1
)
t
t
c) 利用位相差比较两个同方向、同频率简谐振动的步调
x1=A1cos(ωt+1) x2=A2cos(ωt+2)
2
1
当△ =±2kπ (k=0,1,2,…) 两振动步调一致，同相
当△ =±(2k+1)π (k=0,1,2,…) 两振动步调相反，反相
d) 位相也可以用来比较不同物理量的步调
转的矢量 A，在x 轴上的投 （或振动曲线）能画出振
影正好描述了一个简谐振动 幅矢量的位置,从而确定该 时刻位相
15
例1：
t
时刻
1
:
x1
A/
2 , 10t 方法：t时刻2
:
x2
0 , 2
0
（a） 取ox轴（沿振动方向）
1
1.
A 2
2
. o
3
2
3 2
Ax
（b）作参考圆：以o为圆心，振幅
A为半径作一圆周
定
判义
义
据式
式 x Acos(t )
6
二点说明
(1）特征方程成立的条件: 坐标原点取在平衡位置 （2）证明一种振动是简谐振动的一般步骤
a）确定研究对象，找平衡位置 b）建立以平衡位置为原点的坐标系 c）进行受力分析
d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的动力学方程
e）根据判据判断该振动是否为简谐振动
m
T f
M
mg
sJddint22,Jgl mMl2,0lm gddt22
g 0 cos( t 0 )
l
f mg sin mg
a
l
l
d 2
简谐振动特征及表达式
1
第1页，共12页。
16.1.1简简谐谐振振动动的特征及表达式
第16章 机械振动
振动：
从狭义上说， 通常把具有时间周期性的运动称为振动。 从广义上说， 任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变 化，都称为振动。
机械振动：物体在一定位置附近作周期性的往复运动。
例如活塞的运动，钟摆的摆动等。
简谐振动是最简单、最基本的振动。
简谐振动
简谐振动的定义：
合成 分解
复杂振动
物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移） 随时间按余弦（或正弦）规律变化。
x Acos(t )
弹簧振子（harmonic Oscillator）的振动
5
第5页，共12页。
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
m
x
x
F kx ma 令 2 k , a 2 x ,
m
d2x dt 2
2
x
0
（简谐运动微分方程或
动力学方程）
解得： x
Acos(t )
（简谐运动的运动学方程
简称振动方程）
积分常数，根据初始条件确定。
8பைடு நூலகம்
第8页，共12页。
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
简谐振动的特征：
弹簧原长
l 0
挂m后伸长
平衡位置
x 0
o
伸长
x
k
受弹力
f
m
某时刻m位置
x
12
第12页，共12页。
2）研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动
以及波动、无线电技术、波动光学的基础。
简谐振动的特性
简谐振动的特性简谐振动是物体在受到一个恢复力作用下，沿着某一直线定点运动的一种运动形式。
它具有周期性、振幅恒定以及频率稳定等特点。
本文将从频率、周期和振幅等几个方面介绍简谐振动的特性。
一、频率简谐振动的频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
频率与振动周期之间有如下关系：频率 = 1 / 周期频率的倒数就等于振动周期。
例如，一个物体的振动周期为0.1秒，则它的频率为1 / 0.1秒 = 10Hz。
二、周期简谐振动的周期是指一个完整的振动所经过的时间。
周期与频率之间的关系已在上一部分中提到。
简谐振动的周期与其运动物体的质量以及弹性系数密切相关。
当质量和弹性系数不变时，周期始终保持不变。
三、振幅振幅是简谐振动中物体在振动过程中离开平衡位置的最大偏移距离。
振幅大小与振动物体的能量有关，而能量的大小与振幅平方成正比。
振幅越大，物体具有的机械能越大。
四、受力特性在简谐振动中，物体受到的恢复力与其偏离平衡位置的距离成正比，且方向相反。
根据胡克定律，恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离呈线性关系。
五、相位简谐振动的相位是指振动物体相对于某一特定时刻的位置关系。
相位用角度或弧度来表示。
相位角正负号表示了物体相对于平衡位置的偏移方向。
相位的变化规律可由三角函数来表示。
六、谐振现象谐振现象指的是当外力的频率与物体自身振动频率相同时，物体表现出的振幅增大的现象。
这是由于外力与物体振动频率的共振效应所引起的。
当共振发生时，外力与物体发生能量传递，使振幅增大。
七、应用范围简谐振动在日常生活和工程领域中得到了广泛的应用。
例如钟表的摆线引入了简谐振动的原理，以实现精准的时间测量。
在机械振动工程中，简谐振动的特性被广泛应用于减振器的设计和振动分析中。
结语简谐振动具有周期性、振幅恒定和频率稳定等特点，在自然界和工程中都有广泛的应用。
通过对简谐振动特性的研究和理解，可以更好地掌握和应用振动学的相关知识。
拓宽对简谐振动的认识，有助于我们更深入地探索振动现象的奥秘。
简谐振动的特点与描述
简谐振动的特点与描述简谐振动是指一个物体在固定位置附近做往复振动的运动，其特点是周期性、均衡运动和振幅恒定。
简谐振动广泛应用于物理、工程等领域，如弹簧振子、摆钟等，具有重要的理论和实际意义。
本文将从简谐振动的描述、特点和应用三个方面进行阐述。
一、简谐振动的描述简谐振动的描述通常使用正弦（sin）函数或余弦（cos）函数，根据时间t表示物体的位置x或速度v。
振动的位置可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x为位置，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
角频率ω与周期T的关系为：ω = 2π/T角频率反映了振动的频率，周期T表示振动从一个位置到达相同位置所需的时间。
初相位φ则是振动的起始点。
速度v可以表示为：v = Aωcos(ωt + φ)根据简谐振动的描述公式，我们可以确定物体的位置和速度随时间的变化规律。
二、简谐振动的特点1. 周期性：简谐振动具有明显的周期性，物体会在一个固定的时间间隔内完成一次完整的振动。
周期性的特征使得我们可以预测振动的未来状态，并对振动进行分析和研究。
2. 均衡运动：简谐振动的均衡位置是振动的中心位置，物体在均衡位置附近的振动是以均衡位置为基准的往复运动。
均衡位置是简谐振动的稳定状态，物体在外力作用下会向均衡位置回复。
3. 振幅恒定：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中达到的最大位移，振幅决定了振动的幅度大小。
简谐振动的特点之一是振幅恒定，即振幅不受时间和频率的影响，保持不变。
4. 无摩擦和阻尼：简谐振动假设在振动过程中没有外界摩擦和阻尼的存在，即物体在振动中不受阻力影响。
这样的假设可以简化振动系统的分析，使得我们可以更好地研究其特性。
三、简谐振动的应用1. 物理实验：简谐振动广泛应用于物理实验中，可通过自由振动的系统来研究和验证振动的规律。
例如，利用弹簧振子实验可以研究简谐振动的周期和相位。
2. 工程应用：简谐振动的理论在工程中有重要的应用，例如建筑物的结构振动分析和振动控制。
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是指物体在恢复力作用下，沿着一条直线或绕一条固定轴线作往复运动的现象。
简谐振动具有以下规律和特点：1. 定义和公式：简谐振动的定义是指物体的振动轨迹可以用正弦或余弦函数表示的振动。
它的数学描述是一个关于时间的周期函数，可以用如下公式表示：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)表示物体在时间t时刻的位移，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位差。
2. 周期性：简谐振动具有周期性，即物体在一定时间间隔内，按照相同的轨迹往复振动。
周期是振动完成一个完整往复运动所需要的时间，用T 表示。
简谐振动的周期与角频率的关系是：T = 2π/ω。
3. 恒定的周期和频率：对于给定的简谐振动体系，周期和频率是恒定不变的。
无论振幅的大小如何变化，简谐振动的周期和频率保持不变。
4. 恢复力和弹性势能：简谐振动的存在是由于恢复力的作用。
恢复力是指当物体偏离平衡位置时，恢复物体回到平衡位置的力。
简谐振动的物体通常具有弹性，当物体受力偏离平衡位置时，会产生弹性势能，而恢复力正是由弹性势能转化而来。
5. 振幅和最大速度：振幅是指振动物体从平衡位置最远的距离，用A表示。
最大速度是指振动物体在振动过程中速度达到最大值的时刻，与振幅有关。
6. 相位差和初相位：相位差是指两个相同频率的简谐振动物体之间的时间差。
初相位是指在某一时刻的相位差。
相位差和初相位的变化会导致振动物体之间的相位关系发生变化。
7. 谐振：当外力与振动频率相同时，振动物体会发生共振现象，这种现象称为谐振。
谐振时，振动物体的振幅会显著增大，甚至可能导致破坏。
8. 能量转换：简谐振动过程中，动能和势能之间会不断转换。
当物体通过平衡位置时，动能最大，势能为零；而当物体达到最大位移时，势能最大，动能为零。
这种能量的转换是循环进行的。
9. 简谐振动的应用：简谐振动在物理学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在钟摆、弹簧振子、电磁振荡电路等系统中都存在着简谐振动现象。
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平衡位置
x0
o x x
谐振动。
伸 长
某时刻m位置
f
m
12
16.1.1 简谐振动的特征及表达式 证明： 找出平衡位置
第16章 机械振动
kx0 mg
mg x0 k
以平衡位置O为原点
l0
k
F mg k ( x 0因此，此振动为简谐运动。
机械振动：物体在一定位置附近作周期性的往复运动。 例如活塞的运动，钟摆的摆动等。 机械振动的特点： （1）具有周期性。 （2）有平衡点。
x ( t ) x ( t T )
2
16.1.1 简谐振动的特征及表达式 16.1 简谐振动 研究机械振动的意义：
第16章 机械振动
1）不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动 量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而 不同的振动有相同的描述方法。 2）研究机械振动的规律是学习和研究其它形式 的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。
8
A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定。
16.1.1 简谐振动的特征及表达式 简谐振动的特征： 1）受力（动力学特征）
2
第16章 机械振动
F kx （线性回复力）
2）动力学方程或微分方程（动力学特征）
d x 2 x 0 （二阶线性常微分方程） 2 dt
3）运动学方程（运动学特征） x 以上三条都可以作为简谐运动的定义。
A cos( t )
说明： 要证明一个物体是否作简谐运动， • 只要证明上面三个式子中的一个即可； • 最简单的方法就是受力方析。 • 研究简谐振动时，坐标原点只能取在平衡位置。 9
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
简谐运动的运动学特征 简谐振动的位移： x A cos( t )
16.1.1 简谐振动的特征及表达式 16.1 简谐振动
第16章 机械振动
16.1 简谐振动
1
16.1.1 简谐振动的特征及表达式 16.1 简谐振动
第16章 机械振动
振动： 从狭义上说， 通常把具有时间周期性的运动称为振动。 从广义上说， 任何一个物理量在某一数值附近作周期性 的变化，都称为振动。
x0
o x x
f
m
13
简谐振动的速度：
v A sin( t ) π π A cos( t ) m cos( t ) 2 2
2
t ) 简谐振动的加速度： a A cos(
t π) A cos( t π) am cos(
第16章 机械振动
l0
k
m x0 F 0
A
o
A
x
7
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
F
第16章 机械振动
m
o
k F kx ma 令 , m
2
x
x
2
a x ,
d x 2 x 0 2 dt
解得： x
2
（简谐运动微分方程 或动力学方程） （简谐运动的运动学方 程 简称振动方程）
3
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
16.1.1
简谐振动的特征
及表达式
4
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
一、简谐振动（Simple Harmonic Vibration） 简谐振动是最简单、最基本的振动。
简谐振动 简谐振动的定义： 物体运动时，离开平衡位置的位移（或角 位移）随时间按余弦（或正弦）规律变化。 合成 分解 复杂振动
a A 2 cos(t )
2
A
a t图
T
11
A 2
A cos(t π ) A 2
o
t
16.1.1 简谐振动的特征及表达式 例：一个轻质弹簧
第16章 机械振动
竖直悬挂，下端挂
一质量为m的物体。 今将物体向下拉一
弹簧原长
k
l0
受弹力
挂m后伸长
段距离后再放开。
x A cos(t )
弹簧振子（harmonic Oscillator）的振动
5
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
物体作简谐运动的条件： 作用在物体上的弹性力 —— 驱使物体回复到平衡位置 物体的惯性 —— 阻止物体停留在平衡位置
6
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
2
简谐振动的位移、速度及加速度随时间周期性变化。 10
16.1.1 简谐振动的特征及表达式
第16章 机械振动
x A cos(t )
T 2π
取 0
A
o o
A
x
x t 图
T
t
t
v A sin(t )
A
v
a
v t 图
T
π A cos( t ) 2