【精准解析】海南省海南中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

海南中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.函数1()2sin 126f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】D 【解析】 【分析】正弦（型）函数()sin y A x k ωϕ=++的最小正周期2T ωπ=，即得答案.【详解】函数1()2sin 126f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小正周期2412T ππ==.故选：D【点睛】本题考查三角函数的最小正周期，属于基础题.2.已知复数134z i =+，252z i =-所对应的点分别是1Z ，2Z ，那么向量12Z Z 对应的复数是( ) A. 34i + B. 52i -C. 26i -D. 26i -+【答案】C 【解析】 【分析】根据复数减法的几何意义直接求解即可.【详解】根据复数减法的几何意义可知向量12Z Z 对应的复数等于终点对应的复数减去起点对应的复数，即1221Z Z OZ OZ =-，所以向量12Z Z 对应的复数是26i -. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.3.在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则（ ） A. 四边形ABCD 一定是平行四边形B. 四边形ABCD 一定是菱形C. 四边形ABCD 一定是正方形D. 四边形ABCD 一定是矩形【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量相等可知，对应的线段平行且相等.即可. 【详解】由题意得AB BC AB AD +=+，即BC AD =，//BC AD ∴，且BC AD =，∴四边形ABCD 一定是平行四边形.【点睛】本题考查向量的加法，以及相等向量.属于较易题. 4.已知m n ，为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β、l αβ=，则l （ ）A. 与m n ，都相交B. 与m n ，至少一条相交C. 与m n ，都不相交D. 至多与m n ，中的一条相交【答案】B 【解析】 【分析】 由题意画出满足条件的图象，结合异面直线的定义，得到正确选项.【详解】若l 与,m n 都不相交，则//l m ，//l n ，则//m n ，这与,m n 是异面直线矛盾；故C 不正确；如图，l 与,m n 中的一条相交，另一条不相交，也可以与两条都相交，但不交于同一点，如图综上：l 与,m n 中的至少一条相交. 故选：B【点睛】本题考查判断直线与直线的位置关系，意在考查空间想象能力，属于基础题型.5.已知两个复数1i 22α=-+，122i β=--，则33αβ+的值是( ) A. 1 B. 2C. -2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】直接用复数的乘法公式计算.【详解】由1i 2α=-+,则2122α=--，31α=； 同理31β=，则332αβ+=. 故选：B【点睛】本题考查了复数乘法运算，属于容易题.6.在ABC 中，90B ∠=︒，1AB BC ==.点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅=( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据90B ∠=︒，建立坐标系，利用坐标求向量的数量积 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系2BM AM =， ∴点A 是BM 的中点，在ABC 中，90B ∠=︒，1AB BC ==，∴(0,0)B ，(1,0)C ，(0,1)A ，(0,2)M ， ∴(1,1)CA =-，(1,2)CM =-， ∴(1)(1)123CA CM =-⨯-+⨯=故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，属基础题。

7.在直角梯形ABCD 中，AD CD ⊥，//AD BC ，222BC AD CD ===，若将直角梯形绕AD 边旋转一周，则所得几何体的表面积为( )A. (32)π+B. (52)π+C. (32)πD.(52)π-【答案】B 【解析】【分析】判断出旋转后的几何体的结构，由此计算出几何体的表面积.【详解】画出旋转后的几何体如下图所示，由图可知，几何体是由一个圆柱挖掉一个圆锥所得.所以表面包括圆锥的侧面、圆柱的侧面和圆柱的一个底面. 圆锥的侧面积为()221112122ππ⨯+⨯⨯=， 圆柱的侧面积为()2124ππ⨯⨯=， 圆柱的一个底面面积为21ππ⨯=，所以几何体的表面积为()2452ππππ++=+. 故选：B【点睛】本小题主要考查旋转体表面积计算，属于中档题. 8.已知函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴是3x π=-，则函数()sin cos Asin()(0,0)g x x a x x A ωϕω=+=+>>的一个初相是( )A. 3π-B. 6π-C.3π D.23π 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=-，可得2(0)()3πf f =-，从而可求出3a =-进而可得()sin 32sin()3πg x x x x ==-，由此可求出()g x 的初相.【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴是3x π=-，所以2(0)()3πf f =-，即221sin()cos()33ππa =-+-，所以112=-，所以a =所以1()sin 2(sin cos )2sin()223πg x x x x x x =-=-=-， 所以函数()g x 的一个初相为3π-. 故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，两角差的正弦公式的逆用及初相的概念，属于中档题.二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求9.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60A =︒，2b =，1c =，则下列说法正确的是( ) A. 75C =°或105C =︒ B. 45B =︒C. a =D.【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求得a ，利用正弦定理求得sin B ，由此求得B ，进而求得C .利用三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积.从而确定正确选项.【详解】由余弦定理得)22212cos 4422162a b c bc A =+-=++⨯⨯⨯=，所以a =由正弦定理得sin sin a b A B=，所以2sin sin 2b A B a ===， 由于0120B <<︒，所以45B =︒.所以18075C B A =--=︒. 三角形ABC的面积为)113sin 212223bc A +=⨯⨯⨯=. 故BC 选项正确，AD 选项错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.10.下列推理正确的是( )A. ∈A l ，A α∈，B l ∈，B l αα∈⇒⊂B. l α⊄，A l A α∈⇒∉C. A α∈，A β∈，B α∈，B AB βαβ∈⇒=D. A ，B ，C α∈；A ，B ，C β∈，且A ，B ，C 三点不共线α⇒，β重合 【答案】AD 【解析】 【分析】根据公理1判断A 选项的正确性；根据线面关系判断B 选项的正确性；根据面面的位置关系判断C 选项的正确性；根据公理2判断D 选项的正确性.【详解】对于A 选项，根据公理1，直线上有两个点在平面内，则这条直线在平面内，故A 选项正确.对于B 选项，由于l α⊄，可能lA α=，故B 选项错误.对于C 选项，,αβ两个平面可能重合，故C 选项错误.对于D 选项，由于A ，B ，C 三点不共线，根据公理2可知，过不同在一条直线上的三个点，有且仅有一个平面，所以,αβ重合，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】本小题主要考查空间点、线、面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题. 11.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A. 是偶函数B. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 最大值为2D. 其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AD 【解析】【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误； 选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误.故选：AD【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 12.若ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A. 90BOC ∠=° B. 90AOB ∠=︒ C. 45OB CA ⋅=- D. 15OC AB ⋅=-【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件求得,,OA OB OA OC OB OC ⋅⋅⋅，由此判断出正确选项.【详解】由于ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=， 所以345OA OB OC +=-，两边平方并化简得2524250OA OB OA OB +⋅=⇒⋅=，354OA OC OB +=-，两边平方并化简得33430165OA OC OA OC +⋅=⇒⋅=-， 453OB OC OA +=-，两边平方并化简得4414095OB OC OB OC +⋅=⇒⋅=-.所以90BOC ∠≠°，A 选项错误；90AOB ∠=︒，B 选项正确.()45OB CA OB OA OC OB OA OB OC ⋅=⋅-=⋅-⋅=，C 选项错误. ()431555OC AB OC OB OA OC OB OC OA ⎛⎫⋅=⋅-=⋅-⋅=---=- ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：BD【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，属于中档题. 三、填空题 13.复数3412ii-+的虚部是________. 【答案】2- 【解析】 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简即可.【详解】因为34(34)(12)5101212(12)(12)5i i i ii i i i -----===--++-，所以其虚部为2-. 故答案为：2-【点睛】本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题. 14.已知向量a 与b 的夹角为3π，1a b ==，且()a ab λ⊥-，则实数λ=______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据()0a a b λ⋅-=，化简计算得到答案.【详解】()a a b λ⊥-，则()22cos1032a ab aa b a a b πλλλλ⋅-=-⋅=-⋅=-=，故2λ=.故答案为：2.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.15.阿基米德（公元前287年——公元前212年）的墓碑上刻有“圆柱容球”（如图）这一几何图形，这是因为阿基米德在他的许许多多的科学发现中，以“圆柱容球”定理最为满意，“圆柱容球”是指圆柱的底面直径与高都等于球的直径，对圆柱与球的体积与面积而言，写出你推出的两个结论________.（指相等关系）.（注：用文字或者符号表示均可）【答案】圆柱的内切球体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱表面积的23【解析】【分析】根据球和圆柱的表面积和体积公式分别证明.【详解】设圆柱底面半径为r，那么圆柱的体积23122V r r rππ=⨯=，内切球的体积3243V rπ=，则323142323rVV rππ==，圆柱的表面积2212226S r r r rπππ=+⨯=，内切球的表面积224S rπ=，则22214263S rS rππ==.故答案为：圆柱的内切球体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱表面积的23【点睛】本题考查组合体的体积和表面积，还考查了对数学史的了解，属于基础题型. 16.如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．【答案】（62-，6+2） 【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，且4AB AC ==，侧棱15AA =.（1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）；（2）求该三棱柱111ABC A B C -的表面积. 【答案】（1）见解析；（2）56202+. 【解析】 【分析】（1）三棱柱的直观图见解析；（2）直三棱柱111ABC A B C -的表面积等于上下底面的面积与3个侧面的面积和. 【详解】（1）如图所示（2）三角形ABC 是等腰直角三角形，且4AB AC ==，42BC ∴=又15AA =，∴直三棱柱111ABC A B C -的表面积1244245425562022S =⨯⨯⨯+⨯⨯+=+【点睛】本题考查用斜二测画法画几何体的直观图，考查几何体的表面积，属于基础题. 18.已知向量()1,2a =，()3,b x =，()2,c y =，且//a b ，a c ⊥． （1）求b 与c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m ，n 的夹角的大小． 【答案】（1）()3,6b =，()2,1c =-；（2）34π． 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和向量垂直的坐标表示即可求出答案；（2）进行向量加法和数乘坐标运算即可得出()()1231m n =--=，，，，然后再根据向量数量积的定义及其坐标表示即可求出答案．【详解】解：（1）由//a b 得230x -⨯=，解得6x =， 由a c ⊥得1220y ⨯+=，解得1y =-， ∴()3,6b =，()2,1c =-；（2）由（1）知，()212m a b =-=--，，()31n a c =+=，，∴cos ,m n m n m n⋅=13212-⨯+-⨯==-， ∴向量m ，n 的夹角为34π． 【点睛】本题主要考查平面向量平行与垂直的坐标表示，考查平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．19.在ABC 中，内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=. （1）求sin A ； （2）若3sin sin c A B =，且c =ABC 的周长. 【答案】（1）1sin 3A =；（23+【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得cos A 的值，进而求得sin A 的值.（2）利用正弦定理化简已知条件求得b ，结合余弦定理求得a，由此求得ABC 的周长. 【详解】（1）依题意，222333b c a +-=，所以2223b c a+-=，所以2223cos 223b c a A bc bc +-===，由于()0,A π∈，所以1sin 3A==. （2）依题意3sinsin c AB =，由正弦定理得3,3,3ac c b ====，由余弦定理得222222cos 922321183a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=-=，所以3a =. 所以三角形ABC 的周长为332a b c ++=++.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题. 20.已知函数()sin()(0,)f x A x ωϕωπϕπ=+>-<<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式.（2）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间. 【答案】（1）()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.【解析】 【分析】（1）通过图形求出T ，利用周期公式求出ω，利用1106f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求ϕ，又由()02f =，得A 的值，进而得到函数的解析式；（2）根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律得到()g x 的解析式，由正弦函数的性质可得结果.【详解】（1）由图得：31134632T πππ=-=，∴2T π=， ∴21Tπω==， 又1106f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得：1sin 610A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴6112k πϕπ+=，1126k πϕπ=-，k Z ∈， ∵02πϕ<<，∴当1k =时，6π=ϕ，又由()02f =，得：sin 26A π=，4A =，∴()4sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）将()4sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变得到4sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再将图象向右平移6π个单位得到()4sin 24sin 2666y g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈得：63k x k ππππ，k Z ∈，∴()g x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.【点睛】本题主要考查了由()sin y A ωx φ=+的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数图象变换规律，正弦函数的图象的单调性的应用，属于中档题.21.如图，正方体ABCD A B C D ''''-中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB '，CC '上，且DP ，RQ 相交于点O .（1）求证：DP ，RQ ，BC 三线共点.（2）若正方体的棱长为2，且P ，R 分别是线段AB ，CC '的中点，求三棱锥O PB R '-的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）由条件可得点O 是平面ABCD 与平面BCC B ''的公共点，然后平面ABCD平面BCC B BC ''=，然后得到OBC 即可；（2）由条件可得3,2,12QB OB BC PB '====，然后利用13O PB R P OB R OB R V V S PB '''--==⋅⋅△计算即可.【详解】（1）DP ，RQ 相交于点O ，即O DP ∈，O RQ ∈因为DP ⊂平面ABCD ，RQ ⊂平面BCC B ''，所以O ∈平面ABCD ，O ∈平面BCC B '' 即点O 是平面ABCD 与平面BCC B ''的公共点，因为平面ABCD 平面BCC B BC ''=所以OBC ，所以DP ，RQ ，BC 三线共点（2）因为P ，R 分别是线段AB ，CC '的中点，//,//BP DC BQ CC '所以1,2OB BC QB CR ==，因为正方体的棱长为2 所以3,2,12QB OB BC PB '====，所以11343222B R S B Q OC ''=⋅⋅=⋅⋅=△O所以1131133O PB R P OB R OB R V V S PB '''--==⋅⋅=⋅⋅=△【点睛】本题考查的是三线共点的证明和三棱锥体积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.22.已知在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2a B c b =-. （1）若cos()14A C +=-，求cos C 的值. （2）若O 是ABC 外接圆的圆心，且cos cos sin sin B CAB AC mAO C B+=，求m 的值. 【答案】（1）cos 14C =；（2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos A 进而求得A ，结合cos()A C +=求得cos B 进而求得sin B ，利用两角差的余弦公式球儿cos C .（2）利用向量数量积的运算化简已知条件，结合圆的几何性质、正弦定理求得m 的值. 【详解】（1）依题意2cos 2a B c b =-，由正弦定理得2sin cos 2sin sin A B C B =-，()2sin cos 2sin sin A B A B B =+-,2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =+-， 2cos sin sin A B B =，由于02B π<<，所以sin 0B >，所以1cos 2A =， 由于02A π<<，所以3A π=.cos()cos cos A C B B +=-=⇒=，所以11sin 14B ==. 所以222cos cos cos cos sin sin 333C B B B πππ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭. （2）由于cos cos sin sin B CAB AC mAO C B +=， 所以cos cos sin sin B CAB AO AC AO mAO AO C B⋅+⋅=⋅①. 由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，所以211cos 22AB AO AB AO BAO AB AB AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=， 211cos 22AC AO AC AO CAO AC AC AC ⋅=⋅⋅∠=⋅=，由正弦定理得2sin 2sin a aAO AO A A=⇒=， 由①得2222cos 1cos 1sin 2sin 24sin B C a c b m C B A ⋅+⋅=⋅， 2222cos cos sin sin 2sin B C a c b m C B A⋅+⋅=⋅， 由正弦定理得2222cos cos sin sin sin sin sin 2sin 2B C A m C B m C B A ⋅+⋅=⋅=，即()sin cos cos sin sin sin 2m C B C B B C A +=+==所以2sin 2m A ===. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.。