第十章 工程力学之弯曲应力
O1O2
在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为 中性轴，则距中性层为y的任一纵向纤维ab，变形后的长度为
ab ( y)
其线应变为
ab O1O2 O1O2 ( y ) y
这就是横截面上各点的纵向线应变沿截面高度的变化规律。 它说明梁内任一纵向纤维的线应变ε 与该纤维到中性层的距离 y成正比，与中性层的曲率半径 成反比。
2. 最大弯曲正应力公式 从式（10-5）可知，梁横截面最外边缘处的弯曲正应力最大。 最大弯曲正应力的求解可以分为以下几种情况： •如果横截面对称于中性轴。例如矩形，以ymax表示最外缘 处到中性轴的距离，则横截面上的最大弯曲正应力为 Mymax max IZ Iz WZ 令 ymax M max 则 WZ 式中WZ称为横截面对中性轴z的抗弯截面模量，简称抗弯 截面模量。单位是立方米（m3）或立方毫米（mm3）。
A
ydA yc A 0
积分 A ydA 称为整个横截面对中性轴z的静矩，单位为立方 米（m3）或立方毫米（mm3）。yC为该截面的形心坐标。因 A≠0，则yC=0，即中性轴z必通过横截面的形心。这样中性轴 的位置就确定了。因为y轴是横截面的对称轴，显然也通过横 截面的形心，可见在横截面上所选的坐标原点O就是横截面的 形心。
三、变形的静力学研究 在梁的横截面上任取一微面积 dA ，如图10-4所示，作用在 这微面积上的力为 dA，因为横截面上没有轴向内力，所以作 用在各微面积 dA 上的力 dA 的合力应等于零，即有
FN A dA 0
将式（10－2）代入上式，得
E
A
ydA 0
因为 E 0，所以一定有
如图10-1（a）所示的简支梁，其剪 力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图 10-1（c）所示。可以看出梁中间一段 的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯 弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有 弯矩，为横力弯曲。
一、变形的几何关系 1. 梁的变形特点
如图10-2（a）所示，取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的 外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这 个平面内。
M EI Z
1
该公式称为梁弯曲变形的基本公式。它说明梁轴曲线的曲率 与弯矩M成正比，与EIZ成反比。EIZ称为梁的抗弯刚度。
1
四、梁的弯曲正应力
1. 梁的弯曲正应力 公式将式（10-3）代入式（10-2），得 My IZ
这就是纯弯曲梁横截面上的正应力公式。公式中的负号与 坐标系中y轴的正方向有关。应用式（10-4）时，要将M和y按 规定的正负号代入，求得的弯曲正应力σ 如果是正号，即为 拉应力，如果是负号，即为压应力。但在实际计算中通常用M 和y的绝对值来计算σ 的大小，再根据梁的变形情况，直接判 断是拉应力还是压应力。梁弯曲变形后，凸边的应力为拉应 力，凹边的应力为压应力。这样就可把式（10-4）中的负号 去掉，改写为 My IZ
中性层： 由于变形的连续性，纵向纤维从伸长区到缩短区， 必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，这一长度不变的 过渡层，称为中性层 中性轴： 中性层与横截面的交线。根据梁受力和变形的对 称性，中性轴一定与对称轴垂直。
2. 梁的变形规律 可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b) 中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴 弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表 示中性层 O1O2 的曲率半径，因为中性层的纤维长度 O1O2 不变， 故有
第十章 工程力学之弯曲应力
§10–1 纯弯曲时梁的正应力 §10–2 常用截面的惯性矩、平行移轴公式 §10–3 弯曲正应力的强度条件
§10–4 提高梁弯曲强度的措施
§10-1 纯弯曲时梁的正应力 纯弯曲： 梁内各横截面上的剪力为零、弯矩为常数的受力 状态。 横力弯曲： 弯曲梁横截面上既有剪力、又有弯矩的受力状态。
二、变形的物理关系 梁纯弯曲时，我们设想纵向纤维只产生 简单拉伸或压缩，在正应力没有超过材料 的比例极限时，由虎克定律和式（10-1） 得 y E E
上式即为横截面上弯曲正应力的分布规律。它表明： 梁纯 弯曲时，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正 比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。矩形截面梁横截 面上正应力的分布规律如图10-3所示，显然在中性轴上各点的 正应力为零，而在中性轴的一边是拉应力，另一边是压应力； 横截面上、下边缘各点的正应力最大。
纯弯曲梁横截面上的内力为一力偶，即弯矩。该弯矩就是 横截面上所有微面积的内力的合力，即有
A ( dA) y M
将式（10-2）代入上式，得 E 2 y A dA M
表示。其单位为米4（m4）或毫米4（mm4）。于是上式即为
2 y 式中定积分 A dA 称为横截面对中性轴z的惯性矩，用IZ
加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面； 后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。
在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图 10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下 现象： •两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对 转动，由平行线变为相交线。 •梁上纵线（包括轴线）都变成了圆弧线，近凹边的纵线缩 短，近凸边的纵线伸长。 •横截面的高度不变，而横截面的宽度在纵向纤维的缩短区 有所增加，在纵向纤维的伸长区有所减少，图10-2（c） 所示。
根据上述观察到的现象可作如下两个假设： •梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，并始终垂直 于梁的轴线，这就是梁的平面假设。 •纵向纤维之间没有相互挤压，每根纵向纤维只受到简单拉 伸或压缩。
根据变形和平面假设，经分析得如下两个结论： •纯弯曲梁横截面上没有剪应力，只有正应力。
•纯弯曲梁有一个中性层，每个横截面有一个中性轴。
工程力学-弯曲应力共62页PPT
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
工程力学-弯曲应力4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
梁的弯曲应力
Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
工程力学10弯曲应力
M(x)
Q(x) dx
Q(x)+d Q(x)
图b M(x)+d M(x) z
在梁上取微段如图b；
x 在微段上取一块如图c，平衡 图c
t1
s
18
t
y
s1
X N
2
N1 t1b( dx ) 0
梁横截面上的剪应力
* M MSz * N1 * sdA A* ydA I z A Iz * ( M + dM )S z N2 Iz *
B 木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，
L=3m
qL 2
试求最大正应力和最大剪应力之比,
Q
并校核梁的强度。
– 解：画内力图求危面内力 x
qL 2
+
Qmax
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
M =0 F 1.4=5 0.4+31.2+31.7=10.7 F =7.64kN F =0 F +F ＝5+3+3=11 F =11-7.64=3.36kN
A RB RB
y RA RB RA
M C =3.36kN 0.4m=1.344kN m (下沿受拉) M B =3kN 0.3m=0.9kN m ( 上沿受拉)
s B=
MB 900N m = =62.1MPa 3 4 WB 0.06 0.045 1 32 0.06 4
s max=s C =63.2MPa
17
梁横截面上的剪应力
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 x y
弯曲应力计算公式圆柱
弯曲应力计算公式圆柱在工程力学中，弯曲应力是指在受力作用下，材料内部产生的应力状态。
在工程设计和结构分析中，对于圆柱体的弯曲应力计算是非常重要的。
本文将介绍圆柱体的弯曲应力计算公式，并对其进行详细解析。
首先，我们来看一下圆柱体的弯曲应力计算公式。
对于圆柱体的弯曲应力，其计算公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为圆柱体在受力作用下的弯曲应力，M为作用力矩，c为圆柱体截面内部的距离，I为截面惯性矩。
在这个公式中，作用力矩M是指作用在圆柱体上的力矩，它是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
圆柱体截面内部的距离c是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
而截面惯性矩I则是描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
接下来，我们将对圆柱体弯曲应力计算公式进行详细解析。
首先，我们来看一下作用力矩M。
作用力矩M是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
在实际工程中，作用力矩可以通过外部作用力乘以作用点到圆柱体重心的距离来计算。
作用力矩的大小和方向对于圆柱体的弯曲应力具有重要影响。
其次，我们来看一下截面内部的距离c。
对于圆柱体截面内部的距离c，它是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
在实际计算中，我们需要根据具体的受力情况来确定截面内部的距离c。
通常情况下，我们可以通过几何分析或者实验测量来确定截面内部的距离c。
最后，我们来看一下截面惯性矩I。
截面惯性矩I描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
在实际计算中，我们可以通过几何分析或者使用相关的公式来计算圆柱体截面的惯性矩。
在工程设计和结构分析中，截面惯性矩是一个非常重要的参数，它直接影响着圆柱体的弯曲应力大小。
综上所述，圆柱体的弯曲应力计算公式是一个非常重要的工程力学公式。
通过对该公式的详细解析，我们可以更好地理解圆柱体在受力作用下的弯曲应力状态，并且可以在工程设计和结构分析中更好地应用该公式。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
工程力学：弯曲应力
Q 的4 A3
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
max
2
Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的2倍。
4. 剪应力强度条件
梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴
上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若以
S
* z
m
a
x
表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴
的静矩，则梁的剪应力强度条件为：
m axQ m aI xz S b z *m ax 79
拉应力强度足够。
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
MA y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M Ay2M Cy1，最大压应力发生在A截面的下边缘
m a x A m a x M I A z y 2 6 9 M P a 1 0 0 M P a
2
max
3Q 2bh
3Q 2A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的 1.5倍。
2. 工字型截面梁的剪应力 主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。
可按照矩形截面梁的剪应力公式计算：
Q
S
* z
I zd
式中：d —腹板宽度
S
* z
—图中因阴影部分面积对中性轴之
静矩。
图 7-5
IQ zdb 2(h 42h 4 12)d 2(h 4 12y2)
二、纯弯曲时的正应力
（由实验观察得如下现象：）
a. 变形后，所有横向线仍保持为直 线，只是相对倾斜了一个角度。
b. 变形后，所有纵向线变成曲线， 仍保持平行;上、下部分的纵向线分 别缩短和伸长 。
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
工程力学-弯曲应力PPT文档62页
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
材料力学-弯曲应力
对于宽为b高为h的矩形截面：
W
bh3 12
bh2
h
6
2
对于直径为d的圆形截面：
W d 4 64 d 3
d
32
2
限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：
max
M max W
设σt 表示拉应力，σc 表示压应力，则：
t max t
cmax c
塑性材料， [σt]= [σc]= [σ]；
所以由（1）式：
A
d
A
A E
y
d
A
E
A y d
A
E
Sz
0
由（2）式：
说明中性轴过形心
A z
d
A
A zE
y
d
A
E
A
yz d
A
E
I yz
0
由于y轴是对称轴，此 式自然满足。
由（3）式：
A
y
d
A
A
yE
y
d
A
E
A
y2
d
A
E
Iz
M
1 M
EI z
1 为梁轴线变形后的曲率 ；
由变形几何关系得到 y
由物理关系得到
bh2 2b3 W
63
故： b 121.6 mm
h 2b 243.2 mm
选取截面为： 125 250 mm 2
e.g.3 已知：l=1.2m，[σ]=170MPa， 18号工字钢，不计自重。
求：P 的最大许可值。
P A
解：作弯矩图， 由图可得：
M
| M |max Pl 1.2P N m
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。