幂函数图像
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幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质一、相关内容1、形如αx y =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、幂函数的图像0<α10<<α1>α第一象限图像其他象限图像根据定义域和奇偶性判断性质总结1、幂函数的图像一定在第一象限，不在第四象限2、图像过定点（1，1）3、当0=α时，表示与X 轴平行，过（1，1），不过（0，1）的两条射线二、基础练习1、判断下列哪些是幂函数（1）xy 2.0= （2）21x y = （3）x y -=3 （4）1-=x y （5）x y 4= （6）5x y =2、画出下列函数的图像（1）43x y = （2）34x y =（3）76-=x y （4）31x y =（5）x y = （6）98x y =3、若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是_________4、若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5、幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________6、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______7、已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是___________8、在32521,2,,y y x y x x y x x===+=四个函数中，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（ ）A ．1B ． 2C ．12D ．8 10、幂函数y ＝xm 2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或311、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( )A 、一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1) 13、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。
幂函数的图像
幂函数的性质一、正值性质
当α0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；
b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；
c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0lt;αlt;1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
二、负值性质
当αlt;0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都通过点〔1,1〕；
b、图像在区间〔0，+∞〕上是减函数；〔内容补充：假设为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间〔-∞，0〕上单调递增。
其余偶函数亦是如此〕。
c、在第一象限内，有两条渐近线〔即坐标轴〕，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有以下性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点〔0,1〕。
它的图像不是直线。
幂函数图像与性质
一般地，我们把形如 y x 的函数 称为幂函数，
a
其中 x 是自变量， a 是常数； 注意：幂函数与指数函数的区别．
指数函数的自变量在 的位置上
幂函数的自变量在 的位置上 指数函数中参数a的取值范围是 a 0且a 1 幂函数中参数a的取值范围是 a R
yx yx
图像
定义域 值域 单调性
2
yx
3
yx
1 2
R R
增函数
[0, )
先减后增
R
R R
增函数
[0, )
[0, )
增函数
奇偶性
对称性 过定点 象限分布
奇
(0, 0) (1,1)
偶
(0, 0) (1,1)
奇
(0, 0)
(0, 0) (1,1)
无 无
(0, 0) (1,1)
(0, 0)
y轴
一三
一二
Байду номын сангаас一三
一
yx
1
yx
2
yx
3
yx
1 2
图 像
定义域
值域 单调性 奇偶性 对称性 过定点 象限分
y0
x0
奇
(0, 0)
(0, ) (0, )
先增后减
x0
减减
奇
(0, 0)
y0
(0, ) (0, )
减函数
减减
偶
y轴 (1,1) 一二
无 无
(1,1)
一三
(1,1)
一三
(1,1)
一
总结
• 幂函数的一般形式为y=x^a。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无 理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义 域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来 源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的 定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。阅读全文： 606 评论： 0
幂函数图像(课堂PPT)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
12
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
13
( 4 y x 3 ( y x 2
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当α>0时，图象随x增大而- 上升。
- 当α<0时，2 图象随x增大而下降
-3
-4
19
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个
y x 2
定点?
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 0
1 22
3
-4
14
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( - 1
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
15
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
m2
舍去m1
22
例5. 利用单调性判断下列各值的大小。
幂函数图像及性质PPT课件
上述问题中涉及的函数，都是形如
y=xa的函数。
.
3
从而我们归纳出幂函数的一般概念：
一般地，形如 yx(R) 的函数
称为幂函数，其中 x 为自变量，α为
常数．
注意与指数函数的区别: ● 幂函数——底数是自变量、指数是常数。 ● 指数函数——指数是自变量、底数是常数。
.
4
例1 判断下列函数哪几个是幂函数？
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因 为 x 1 x 2 0 , x 1x 2 0 ,
除了作差，还 有没有其它方
法呢？
所 以 f(x 1 )f(x 2 ),即 幂 函 数 f(x )x 在 [0 , )上 是 增 函 数 .
例3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____1.42
解后反思 两个数比较
> (2)0.26 1_____0.27 1
大小，何时 用幂函数模
2
(3)3.9 3
2
__<___3.85
型，何时用 指数函数模 型？
> 2
3
(4)(2.4)5____(1.8)5
.
11
例4 证明幂函数f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
奇
非奇 非偶
{y|y≠0}
奇
单调性
增 x∈[0，+∞)时增 x∈(-∞，0]时减
增
增
定点
(1,1) (0,0)
4.1(2)幂函数的图像与性质
归纳幂函数 y
x
的性质。
① 所有幂函数图象在 (0,) 都有定义，且都经过点 (1,1); ② 当 0 时，幂函数图象都过（0，0），并 且在是增函数；
0,
x ( 0 , 1 ), y x 1 特别，当 时， 的图象都在
y x 图象的下方，图象向下凸，
越大，下凸程度越大.
yx
图
当 0 1 时, x (0,1), y x 的图象都在 象的上方,图象向上凸, 越小,上凸程度越大;
③ 当 0 时,幂函数的图象在 (0,) 上是减函数.
④图像分布的象限： 为什么幂函数幂函数图像一定不在第四象限？
如果函数
f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函
数，且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足 条件的实数m的值。
4.1幂函数的图像与性质（2）
例1 、 1 1 x 1 , h( x) （1）研究函数 f ( x) , g ( x) x x2 x2 之间的关系； （2）在同一坐标中作上述函数的图像；
的图像
例2、作函数
1 y | x | 1
的大致图像.
x 变式：作函数 y | x | 1 的大致图像.
例2、作出下列函数的大致图像.
1y x
2 y
2
2x
x 2x
2
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
幂函数
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；
（3）log0.4 3 0.60.2 50.3 (4)0.70.6 0.60.7 1.40.2
例2： .证明幂函数f ( x) 例1
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
∴ m ＝2或 m ＝－1.
2 1． 已知幂函数 y＝f(x)的图象过点 2， ， f(x) 则 2 ＝________.
2 2 解：设f ( x) x , 则由图象过点（2， ），可得2 = , 2 2 1 1 1 即2 =2 2 , 所以 = ，即f ( x) x 2 2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
1）
1.3
0.5
＜
1.5
0.5
5.1 ＜ 5.092 2）
3）
0.5
1 4
2
＞ 0.4
2 3
1 4
4）
0.7
＞
0.8
2 3
练习（5）比较下列各值的大小
(4) y x
1 2
(5) y x
幂函数与函数图像-课件
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
图10－5
│ 要点探究
[思路] 从图象在坐标轴上的特殊点入手， 由于 f(x)＝axx2＋＋cb是奇函数，所以只研究 x＞0 时的变化情况．
│ 要点探究
B [解析] f(0)＝bc＝0，∴b＝0.f(1)＝1， ∴1＋a c＝1，∴a＝c＋1. 由图象看出 x＞0 时，f(x)＞0，即 x＞0 时，有x2a＋x c＞0， ∴a＞0. 又 f(x)＝x＋a xc，当 x＞0 时，要使 f(x)在 x＝1 时取最大值 1， 需 x＋xc≥2 c，当且仅当 x＝ c＝1 时成立，∴c＝1.此时应有 f(x) ＝a2＝1，∴a＝2.∴a＞c＞的图像
│ 知识梳理
知识梳理
1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _y_＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
│ 知识梳理
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
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-4
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当 >0时，图象随x增大而上升。 当 <0时，图象随x增大而下降
1
0
1
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
1
0
0 1
在 (1,) 上 任取一 点作 x 轴 的垂线， 与幂函数 的图象交 点越高， 的值就越 大。
0 1
1
0
练习．如图，图中曲线是幂函数 y＝x 在第一象限的 1 1 大致图象，已知 α 取－2，－ ， ，2 四个值，则相应于曲 2 2 线 C1，C2，C3，C4 的 α 的值依次为(
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1 :已知f ( x) m m 1 x
2
2 m 3
是幂函数，
求m的值。
例2：已知函数 f (x) m 3m 3x 是幂函数,并且是偶函数， 求m的值。
1 1 A．－2，－ ， ，2 2 2 1 1 C．－ ，－2,2， 2 2
α
)
1 1 B．2， ，－ ，－2 2 2 1 1 D．2， ，－2，－ 2 2
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
1）
1.3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1y=x-1
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0
a=1
成功始于方法 巩固才能提高
幂函数的性质与图象
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报 yx 纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx １：以上各题目的函数关系分别是什么？
２：以上问题中的函数具有什么共同特征？
yx
一、幂函数的定义
Ｋ 一般地，函数yy= x x 叫做幂函数，其中x
是自变量， k是常数。
注 意
1、幂函数的解析式必须是yy= 项． 2、定义域与 的值有关系.
Ｋ ｘ
x
的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１
二、幂函数与指数函数比较
1 2
3 2m
1 2
1 2
,
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
-2
-3
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x
0
1 2
1
2
4
-3
yx
0
1
2
2
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 1 2 3 y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
不管指数是多少, (-2,4) 图象都经过哪个 定点?
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x0
6
y=x-1
4
-1
(-1,-1)
-2
-3
在第一象限内， 当 >0时，图象随x增大而上升。 当 <0时，图象随x增大而下降。 图象都经过点（1，1） >0时,图象还都过点(0,0)点
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
2
0.5＜
1.5
0.5
2 ＜ 5.1 2） 5.09
1 4
3） 1.79 ＞ 1.81 4）
1 4
(2 a )
2 2 3 ≤
2
2 3
比较各组数的大小
1 2 1 2 1 3 2 3
(1)1.1 ,1.4 ,1.1
1 4 1 4
(2)2.5 ,2.6 ,0.8
例3
若 m 4
2
m2 2
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9