【精品习题】高二数学人教A必修5练习：3.3.2 简单的线性规划问题(一) Word版含解析

3．3.2 简单的线性规划问题(一)
课时目标
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －y ＋1≥0，
则x ＋y 的最大值为( )
A ．9 B.157 C ．1 D.7
15
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，
则x 2＋y 2
的最大值为( )
A.10 B ．8 C ．16 D ．10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，
C (1,3)，|OC |＝10.
∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2
＝10.
3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩
⎨
⎧
⎭
⎬⎫
x ，y |⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0y ≤x
y ≤2－x
，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )
的表达式为( )
A ．－t 2＋t ＋12
B ．－2t 2
＋2t
C ．1－12t 2 D.12(t －2)2
答案 A 解析
作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0y ≤x
y ≤2－x
所表示的平面区域．
由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得
f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC
＝1－12t 2－12
(1－t )2
＝－t 2
＋t ＋12
.
4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0，
则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和
最小值分别为( )
A ．3，－11
B ．－3，－11
C ．11，－3
D ．11,3 答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经
过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.
5设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x －2y ＋3≥0
y ≥x
，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直
线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )
A.285 B ．4 C.12
5 D ．2 答案 B
解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．
要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|
5
＝2最小，∴|AB |min
＝4.
二、填空题
6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3.
则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为
________．
答案 7
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.
7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)
答案 (3,8)
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
－1<x ＋y <4，
2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－2.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝1.
∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，
即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．
8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，
y ≥0，
x ＋2y －3≥0，
则y
x
的最大值为________．
答案 2
解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －5≤0，x ≥1，
y ≥0，
x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝
y －0
x －0
表示平面区域
Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤y
x
≤2.
三、解答题
9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≥12x ＋y ≤10
3x ＋y ≥12
下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交
于点A (3,3)，
x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，
作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，
即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.
∴z max ＝17，z min ＝－7.
10．已知⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －5≥03x －y －5≤0
x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2
的最小值和最大值．
解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0
的可行域如图所示，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0
，得B (3,4)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －5＝02x ＋y －5＝0
，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2
，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．
故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2
＝5. 能力提升
11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋6
x ＋y －60
1≤x ≤4
，求x 2＋y 2
－2的取值范围．
解 作出可行域如图，
由x 2
＋y 2
＝(x －0)2
＋(y －0)2
，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，
即|OP |2，最大值为|OA |2
，
其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12
＝6
2
＝32， |OA |＝42＋102
＝116，
∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2
－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2
－2＝116－2＝114，
∴16≤x 2＋y 2
－2≤114.
即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2
－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0
3x －y －3≤0，试求z ＝
y ＋1
x ＋1
的最大值和最小值． 解 由于z ＝
y ＋1x ＋1＝y
1
x
1
， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，
因此y ＋1x ＋1
的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；
z min ＝k MC ＝1
2
，此时x ＝1，y ＝0.
∴z 的最大值为3，最小值为1
2
.
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。