实际问题与二次函数(3)课件
实际问题与二次函数(3)——抛物线形实际问题+课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
解得x＝9或x＝－1(不符合题意，舍去)．
∴小明这次投掷的成绩为9 m.
课堂导学
多维导学案九年级全一册数学(RJ)
【变式1】足球训练中，小军从球门正前方8 m的A处射门，球射向
球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2 m时，球达到最高
点，此时球离地面3 m ，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系.
的高度为1.8 m，当铅球飞行的水平距离为4 m时距离地面最高为5
m ． 铅 球 飞 行 的 高 度 y(m) 与 水 平 距 离 x(m) 之 间 的 函 数 图 象 如 图 所
示．求： (2)小明这次投掷的成绩．
1
(2)由(1)知y＝－ (x－4)2＋5，
5
1
当y＝0时，0＝－ (x－4)2＋5，
25
课堂导学
多维导学案九年级全一册数学(RJ)
【变式2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线
段OE表示水平的路面，以点O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过
点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE
＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所
解决抛物线形问题的步骤
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，由x求y或由y求x，要弄清题意．
重难导学
1．跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线，如图所
1 2 1
3
示，抛物线的函数表达式为y＝－ x ＋ x＋ (单位：m)，绳子甩到最高
6
3
2
1.5
处时刚好通过站在x＝2处跳绳的小明的头顶，则小明身高为________m.
九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十二章 二次函数 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题
新课导入
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 4 m. 水面下降1 m，水面宽度增加多少？
猎豹图书
学习目标
(1)能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与 抛物线相关的实际问题. (2)进一步巩固二次函数的性质与图象特征.
解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2.
将点(-2，-2)代入解析式，
可得-2=a ·(-2)2. 解得a - 1 .
2
所以抛物线解析式为y 1 x2.
y
2
水面下降一米，即此时y=-3.
O
则-3=-
1 2
x2
,
解得x=
6.
故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m.
猎豹图书
推进新课
探究 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水
面下降1m时，水面宽度增加多少？
分析： (1) 建立合适的直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解
析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。
(-2,-2)
y
O
x
(2,-2)
2.某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示， 以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式 为__y＝__－_13__x_2 __.
综合运用
3.如图，杂技团在表演杂技，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅
子 B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y＝－3 x2＋3x＋1 的一部分． 5
实际问题与二次函数_第三课时-课件
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析 式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。 正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小 孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米， 把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系 式为__y_____21_5__x_2 __85__x__ 。
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
重点知识★
活动2 自学互研，生成能力。
完成下列填空：
1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直 角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_____y____a_x_2。
2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为___y____a_x_2_，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
n 4
解得
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴ 当x=3时，y 1 9 25 9 （ 4） 3.6 25
人教版26.3实际问题与二次函数(3)课件PPT
甲
A 1m
丙
丁
D
乙
o 1m 2.5m
4m
解：由题意，设抛物线解析式为 y =ax2+bx+1, 把 B（1，1.5），D（4，1）代入得: 1 a 6 , y 1 x 2 2 x 1 1.5 a b 1, 解得 6 3 1 16 a 4b 1. 2 b . 3 把x=2.5代入得y=1.625 ∴C点的坐标为(2.5, 1.625) ∴丁的身高是1.625米 y
具有二次函数的图象抛物线的特征
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相 同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路 线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米. 试建立适当的坐标系,表示该抛物线的解析式 为 y= －(x-1)2 +2.25,如果不考虑其他因素，那么水池的 半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外。 y
1 B(1,2.25 ） B
.A A(0,1.25)
1.25 2.25 C
． .
O
x
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
y
y
0
x
0
X
注意:
在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标 系.
探究2：
0
(-2,-2)
0.7
E x D
CO
0.4
解 ：如图，以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立
则 直角坐标系， B（0.8, 2.2），F（- 0.4, 0.7） 设 y = ax 2 + k ,从而有 25 a= 0.64a + k = 2.2 解得： 8 0.16a + k = 0.7 K = 0.2 所以，y = 25 x 2 + 0.2
最新人教版九年级全一册数学培优课件第27课时 实际问题与二次函数(3)——实物抛物线
解得a=
∴水柱所在抛物线的函数关系式为y=
(x－3)2+5(0<x<8)．
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（2）当y=1.8时，有
(x－3)2+5=1.8.
解得x1=－1（不符题意，舍去），x2=7.
∴为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7
m以内．
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C组
8. 如图1-22-27-10，一座隧道的截面由抛物线和长方形组成
，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标
系.
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）由于隧道较长，在抛物线型拱壁
上需要安装两排灯，使它们到地面的高
度相同.如果灯离地面的高度是8 m，求
两排灯的水平距离.
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解：（1）根据题意，得顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标
为（0，4）.
设函数解析式为y=a（x-6）2+10.
把点B（0，4）代入，得36a+10=4.
解得a=
∴所求的函数解析式为y=
（x-6）2+10.
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（2）把y=8代入y=
（x-6）2+10，得
（x-6）2+10=8.
解得x1=6+2
x2=6-2
∴所求的距离为x1-x2=4
答：两排灯的水平距离是4
(m).
坐标是
（1）求这个二次函数的解析式；
（2（1）设二次函数的解析式是y=a(x-4)2+
将(0,2)代入，得
a·(0-4)2+
=2.
解得a=
∴二次函数的解析式是y=
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（2）令y=0,得
22.3 实际问题与二次函数正式稿3
y O
C A
h 20 m
D B
x
y 1 92 3.24 25
（2）由题意可得D点的横坐标为9 上升的高度 4 3.24 0.76m
∴此时水深= 2+0.76= 2.76m
答：水深超过2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行
例3 如图，一名运动员在距篮圈下4m跳起投篮，篮球运行的路 线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心距离地面3.05m，若 该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m出手，问球出手时， 他跳离地面的高度是多少米？
∴3.05= a×1.52 +3.5
C
出手处
D
篮A圈
？E 3.05
解得a 1
P
5
抛物线的解析式为y 1 x2 3.5
2.5 O 1.5
Q
5
n 1 (2.5)2 3.5 2.25 5
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2
（2， 2）
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2 k
（0，2） （2，0）
①
③
②
④
对比一下，哪种建系方式最为简单？
（1）求宽度增加多 少需要什么数据？ （2）表示水面宽的 线段的端点在哪条 曲线上？
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
22.3实际问题与二次函数第3课时 课件-2021-2022学年人教版数学九年级上册
突破难点，解决问题
3、如何进一步利用抛物线解析式 计算得出实际问题的解？
总结归纳，形成思路 归纳 解决同类问题的步骤：
1、建立合适的平面直角坐标系 2.1 设抛物线解析式
2、求抛物线解析式 2.2 把题中线段长度 转化为特殊点的坐标
2.3 求出抛物线解析式
3、进一步计算其它特殊点的坐标、有关线段的长， 得出实际问题的解
探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，
水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
1、如何建立合适的平面直角坐标系？
（学生代表 用几何画板演示）
y
A
B
C
D
O
x
不同建系，分别求解
列举具有代表性的几种建系方法。
D
y
o
x
不同建系，分别求解
2、同学们可按照不同的建系， 求出对应的抛物线解析式。
22.3 实际问题 与 二次函数
（第3课时）
从形入手，探究问题
探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时， 水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
可以分几步来解题？
1、建立平面直角坐标系
2、求物线解析式
A
B
3、进一步计算有关线段
C
D
的长，得出实际问题的解
适当建系，优化解题
巩固训练，拓展思维
如图是某公园草坪抛物线形的防护栏，为了牢固起见，护栏中需 要间距5分米加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5分 米，则防护栏需要不锈钢支柱的总长度为（ B ）
A、10.5分米 B、12.5分米 C、17.5分米 D、25分米
5
5 20
当堂检测，乘风破浪
人教版九年级数学上册 22-3实际问题与二次函数课时3 教学课件PPT初三公开课
22.3第3课时RJ利用函数解决实际问题的一般步骤：：选取适当的点建立直角坐标系.：设自变量和因变量.：找函数关系.：列出函数关系式.：根据题意进行解答.：根据题目要求进行作答.1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策．1m 面下降1m， 水面的宽度么计算呢？水 怎探究图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水水面宽度增加多少？面宽4 m．水面下降1 m，知识点1图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便， 以拋物线的顶点为原点， 以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图) ．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.由抛物线经过点(2 ，－2) ，可得－2＝a×22，a＝－ . 这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x2.当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3. 当y = -3时，- x2= -3 ，解得 x1= 6 ，x2= - 6 ， 所以当水面下降1 m 时，水面宽度为2 6 m. 水面下降1 m ，水面宽度增加 (2 6-4) m.除了这种建坐标系的方式外，还有其他建 坐标系的方式吗？P (0,2)A (2,0)OxP ( 2,2) B (4,0)My A (4,0)P (2,2)M x xA (2,2)O M O x ①③②O y y注意： 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种， 建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知 点在坐标轴上.解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步 骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物 线的解析式;(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到 实际问题的解.一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB=8 m ，隧道的最高点 C到公路的距离为 6 m. ( 1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；解： ( 1) 答案不唯一.如以 AB所在直线为 x轴， 以 AB的中点为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，则 A( -4,0) ，B(4,0) ，C(0,6).设这条抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4).一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB=8 m ，隧道的最高点 C到公路的距离为 6 m. ( 1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；将 C(0,6)的坐标代入，得 - 16a=6，所以抛物线的解析式为y= − x2+ 6(−4 ≤ x ≤ 4).一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB =8 m ，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6 m.(2)现有一辆货车的高度是 4.4 m ，货车的宽度是 2 m.为 了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5 m ，通过计算 说明这辆货车能否安全通过这条隧道.解：(2) 由(1)知抛物线的解析式为 4.4m 当 x = 1时，y = . 因为4.4+0.5=4.9< ，所以这辆货车能安全通过这条隧道.845845y = − 8 x 2 + 6(−4 ≤ x ≤ 4). 2m 3甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一 部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛 球飞行的高度y (m) 与水平距离 x (m) 之间满足函数解析式y =a (x -4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度 为 1.55 m.( 1)当a =- 时， ①求 h 的值；解：( 1) ① 当a= − 时，y = − (x -4)2+h ，0,11.55m 将点P (0 ，1)的坐标代入， 得− × 16+h =1 ，解得h = . 5m甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一 部分，如图所示，甲在 O点正上方 1 m 的 P处发出一球，羽毛 球飞行的高度y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度为 1.55 m.( 1)当a=- 时，②通过计算判断此球能否过网；② 把x=5代入y= − (x-4)2+ ，得y= − ×(5-4)2+ = 1.625，∵1.625＞1.55 ， ∴此球能过网.0,1 1.55m5m甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部 分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球 飞行的高度y (m) 与水平距离 x (m) 之间满足函数解析式y =a (x - 4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度为1.55 m. (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m ， 离地面的高度为 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值.解： (2) 由题意得，16a + ℎ = 1，9a + ℎ = 125 ，∴a = − 1 a = − 1ℎ = 215 ，5 ，5.1.如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正 常水位 AB时，宽为 20 m ，若水位上升 3 m ，水面就会 达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.( 1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；解： (答案不唯一) ( 1) 建立如图所示的平面直角坐标 系，设所求抛物线的解析式为y =ax 2 ，点D 的坐标为 D (5 ，b ) ，则B ( 10 ，b -3)，把D ，B 的坐标分别代入，得{ 10 ，3 ，解得 ，，∴抛物线的解析式为y = - x 2 .251ba如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正 常水位 AB时，宽为 20 m ，若水位上升 3 m ，水面就会 达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.(2) 若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升， 从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？解：(2) ∵b= - 1，∴拱桥顶O到CD的距离为1 m.∵ =5 ， ∴再持续5小时到达拱桥的拱顶．2. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时t(单 位：s)的函数解析式是y=60t- 1.5t2.在飞机着陆滑行中， 最后 4 s滑行的距离是24m.解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t- 1.5t2=- 1.5(t-20)2+600，当t=20时，y取得最大值，即飞机着陆后滑行20 s时， 滑行距离为600米．因此 t的取值范围是0≤t≤20，当t=16时，y=576，所以最后 4 s滑行的距离是600-576=24(m)．实际问题 数学模型 归化回转能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；选择简便的运算方法.(实物中的抛物线形问题) (二次函数的图象和性质)运动中的抛物线形 问题建立恰当的直角坐标系转化的 关键拱桥问题A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒解： ∵x 取6和14时y 的值相等，∴抛物线y =ax 2+bx 的对称轴为直线x = = 10，即炮弹达到最大高度的时刻是第10 秒．1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为y 米，x ，y 满足y =ax 2+bx ，其中 a ，b 是常数，且 a ≠0.若此炮弹在 第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度 的时刻是( B)2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m处起 跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m ，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m ，在如图所 示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( A) A.此抛物线的解析式是y=- x2+3.5B.篮圈中心的坐标是 (4 ，3.05)C.此抛物线的顶点坐标是 (3.5 ，0)D.篮球出手时离地面的高度是 2 m解：选项A中， ∵抛物线的顶点坐标为(0 ，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y=ax2+3.5.∵篮圈中心( 1.5 ，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入得 3.05=a× 1.52+3.5 ， ∴a=-0.2 ， ∴y=-0.2x2+3.5 ，故 本选项正确；选项B中，由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5 ，3.05)，故本选项错误；选项C中，由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误；选项D中，设这次跳投时，球出手处离地面h m ，∵由选项A可知y=-0.2x2+3.5 ， ∴当x=-2.5时，h= -0.2×(-2.5)2+3.5=2.25．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误．!。
人教版数学九年级上册课件：22.3 实际问题与二次函数 第3课时 拱桥问题与运动中的抛物线
13．(阿凡题：1070561)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O 点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距 离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度 为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
练习：有一拱桥呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是4 m，跨度为20 m，
现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线的解析式为
__y_＝__－__2_15_x_2_＋__45_x_______．
知识点 1：二次函数在桥梁中的应用 1．图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以 点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形近似 看成抛物线 y＝－4100(x－80)2＋16，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面， 有 AC⊥x 轴，若 OA＝10 米，则桥面离水面的高度 AC 为( B )
4．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面的高度为4.4 m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门， 货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请判断这辆汽车能否顺利通过 大门．
解：以AB为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系，则可设抛物线 解析式为y＝ax2＋4.4，把(2，0)代入得0＝4a＋4.4，解得a＝－1.1，∴抛物 线解析式为y＝－1.1x2＋4.4.当x＝1.2时，y＝2.816＞2.8，∴这辆汽车能顺 利通过大门
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y
（4，4）
4
20 0, 9 2
（8，3） 20 8, 9
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下， 则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起 投篮也能将篮球投入篮圈？ y
6
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9
B
甲
A 1m
丙
丁
D
乙
o 1m 2.5m
4m
解：由题意，设抛物线解析式为 y =ax2+bx+1, 把 B（1，1.5），D（4，1）代入得: 1 a 6 , y 1 x 2 2 x 1 1.5 a b 1, 解得 6 3 1 16a 4b 1. 2 b . 3 把x=2.5代入得y=1.625 ∴C点的坐标为(2.5, 1.625) ∴丁的身高是1.625米 y
丙
A
(0,1)
B
(1,1.5)
C
丁
2.5m 4m
D
(4,1)
1m
甲 o 1m
乙
x
探究3:投篮问题
y
20 9
（4，4）
1 a 9
8
3
4
0
x
1 2 y x 4 4 (0≤x≤8) 9
如图，建立平面 直角坐标系， 点（4，4）是图中这段抛物 ∵篮圈中心距离地面3米 线的顶点，因此可设这段抛 ∴此球不能投中 物线对应的函数为：
1
（2）卡车可以通过.
O
1 3
－3
－1 －1 －3
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
a
所以，这条抛物线的二次函数为： 1 2 y x 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为
1 2
y 3
抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 当 y 3 时，x 6 面下降1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的宽 度为 2 6m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
x 所以，这条抛物线的二次函数为：
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
所以，水面下降1m，水面的 宽度为2 6 m.
y
y
0x0XFra bibliotek注意:
在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标 系.
用抛物线的知识解决生活中的一些实 际问题的一般步骤： 建立直角坐标系
二次函数 问题求解
注意变量的取值范围
CO
0.4
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱 之间的距离为1.6米，将一根绳子的
A O y
1.6
B x
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
F
2.2
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。
0.7
E D
C
0.4
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱
找出实际问题的答案
有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下 河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过 往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小 于18m，求水面在正常水位基础上上涨多 少米时，就会影响过往船只航行。
例3:你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高 处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳 的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、 2.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶， 已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身 高。 C
8
y A
1.6
B
顶点 E（0, 0.2）
2.2
所以，绳子最低点到地面 的距离为 0.2米.
0.7
F E O D x
C
0.4
小结反思
解二次函数应用题的一般步骤： 1 . 审题,弄清已知和未知。 2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适 当的平面直角坐标系(初中阶段不要求)
3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式。分析图象(并注意变量的取值范 围), 解决实际问题。 4 .返回实际背景检验。
y
(2,2)
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a( x 2)2 2
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
●
(0,0)
●
a
1 2
0
1 y ( x 2) 2 2 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 抛物线形拱桥，当水面在 l 时， y 1 拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 面下降1m，水面宽度增加多少？ 当 y 1 时， x 6 2
y
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
A
1.6
B
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
F
2.2
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。
0.7
E O D x
C
0.4
解 ：如图，以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立
则 直角坐标系， B（0.8, 2.2），F（- 0.4, 0.7） 设 y = ax 2 + k ,从而有 25 a= 0.64a + k = 2.2 解得： 8 0.16a + k = 0.7 K = 0.2 所以，y = 25 x 2 + 0.2
具有二次函数的图象抛物线的特征
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相 同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路 线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米. 试建立适当的坐标系,表示该抛物线的解析式 为 y= －(x-1)2 +2.25,如果不考虑其他因素，那么水池的 半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外。 y
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 1 y x2 4 是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示. 4 （1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可
以通过？ （1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
2
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱
y
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
A
1.6
B
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
F
2.2
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。
0.7
E x D
1 B(1,2.25 ） B
.A A(0,1.25)
1.25 2.25 C
． .
O
x
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
探究2：
0
(-2,-2)
●
y
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y ax
x
(2,-2)
●
2
由抛物线经过点（2，-2），可得
20 当x 8时， y 9
y ax 4 4
2
(0≤x≤8)
20 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
探究延伸:
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手 高度为多少时能将篮球投入篮圈?