2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学押题一

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2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学押题一
数学Ⅰ
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
参考公式：
样本数据12,,,n x x x L 的方差()2
2
11n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑
柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
锥体的体积1
3
V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．
一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合{}
2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________． 2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．
4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．
5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2-4y=0的一条对称轴，则a=________． 6
．函数()f x =________．
7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤
∈--++>⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．
9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，直线:l y =与C 交于A ，B 两
点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线C 的离心率为________．
11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．
12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切，点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________． 13．已知正数ab 满足a+b=1，则
14
11a b
+
--的最小值为________． 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则
2tan tan tan (tan tan )
A B
C A B ⋅=⋅+________．
二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=
+∈ ⎪⎝⎭
． （Ⅰ）求cos2β；
（Ⅱ）求tan()αβ+的值．
16．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC P ，BC=CD=PD=2AD ，
AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．
（Ⅰ）求证：AE P 平面PDC ；
（Ⅱ）求证：AE ⊥BC ．
17．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为8dm （圆心O 在弓形EMF 内），23
EOF π
∠=
．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD （不计损耗），AD BC P ，且点A ，D 在»EF
上，设2AOD α∠=．
（Ⅰ）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于α的函数关系式
（Ⅱ）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos α的值．
18．已知点52,3M ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，12,A A 分别为E 的左、右顶点，直
线A 1M 与A 2M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9
:2
l x =．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B ，C 两点，直线BA 2，CA 2分别与直线l 交于P ，Q
两点，以PQ 为直径的圆过定点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭，求直线m 的方程．
19．已知函数(1)
()ln 1
a x f x x x -=-
+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当x>1时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，若*
n a N ∈，且1
, (1,2,3,)23,n
n n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩
L 是偶数是奇数，则称{}n a 为“J 数列”．设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为S n ． （Ⅰ）若a 1=10，求S 3n 的值； （Ⅱ）若S 3=17，求a 1的值；
（Ⅲ）证明：{}n a 中总有一项为1或3．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一
数学Ⅰ答案
15解：（Ⅰ）由2
24
cos 212sin 125ββ=-=-⨯=⎝⎭
． （Ⅱ）由in 0,2s πββ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，得：cos β=． 由sin )ααβ+得 sin[()])αββαβ+-=
+
sin()cos())αβαβαβ⇒++=+
))αβαβ+=+ tan()2αβ⇒+=-．
16．解：（Ⅰ）
取PC 的中点F ，连接EF ，FD ∵E 是PB 的中点
∴1
,2
EF BC EF BC =P
又1,2
AD BC AD BC =
Q P ∴EF AD P ，EF=AD ．即四边形ADFE 为平行四边形． 又∵AE DF P ，DF ⊂平面 PCD ，AE ⊄平面PCD ∴AE P 平面PCD （Ⅱ）∵PD=DC ，显然DF ⊥PC ． 又∵ PD ABCD
PD BC BC ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨
⊂⎩
平面平面， 又∵CD ⊥BC ，CD∩PD=D ∴BC ⊥平面PCD 又∵DF ⊂平面PCD ∴BC ⊥DF 又∵BC∩PC=C ∴DF ⊥平面PBC 又∵AE//DF ∴AE ⊥平面PBC 又∵BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥BC ． 17．解：（Ⅰ）
设矩形ABCD 的面积为S ，AOM α∠=． 当03
π
α<<
时（图1），8cos 8cos
8cos 4,28sin 16sin 3
AB AD π
αααα=+=+=⨯=
此时，16sin (8cos 4)64(sin 2sin cos )S AB AD ααααα=⋅=⨯+=+.
当
233
π
π
α≤<
时（图2），28cos 16cos ,28sin 16sin AB AD αααα=⨯==⨯=
此时，16sin 16cos 128sin2S AB AD ααα=⋅=⨯=． 故矩形ABCD 的面积为64(sin 2sin cos ),03
2128sin 2,33S πααααππαα⎧
+<<⎪⎪=⎨⎪≤<
⎪⎩
（Ⅱ）当03
π
α<<
时，()()
222'64cos 2cos 2sin 644cos cos 2S ααααα=+-=+-．
令'0S =
，得cos α=
，此时对应的角为0α． 当()00,αα∈，0S '>，此时S 单调递增；
当0,3παα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，0S '<，此时S 单调递减；
故当0αα=时，S 取极大值． 当
23
3
π
π
α≤<
时，128sin2S α=是单调递减． 故当0αα=
时，即cos α=
18．解：（Ⅰ）由题意知，224251
955
533229a b a a
⎧+=⎪⎪
⎨⎪⋅=-⎪
+-⎩，得：2295a b ⎧=⎨=⎩． 所求椭圆方程22
195a y +=．
（Ⅱ）设()()11222,,,,(3,0)B x y C x y A BC 直线方程：x=ky+2，与抛物线方程联立 2
2
2
19
5x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()
225920250k y ky ++-= 由韦达定理，1221222059
2559k y y k y y k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-
⎪+⎩
由条件，BA 2直线方程：1(3)y k x =-， 令92x =
，得：132P k y =，139,22k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．。