核函数方法简介(亮亮修正版)
核函数知识点总结初中
核函数知识点总结初中一、核函数的概念核函数是一种将输入空间中的向量映射到一个高维特征空间的函数，它可以将原始的非线性可分问题映射到高维空间中的线性可分问题，从而简化了求解过程。
具体来说，给定一个输入空间中的向量x，核函数K将其映射到高维空间中的向量K(x)，它的数学表达方式可以写为：K(x, y) = φ(x)·φ(y)其中，φ表示映射函数，K(x, y)表示两个输入向量x, y在高维特征空间中的内积。
核函数的作用是在高维特征空间中进行向量之间的内积运算，而不必显式地计算出映射函数φ。
这样就避免了在高维空间中进行复杂的计算，极大地提高了计算效率。
二、核函数的分类核函数可以分为线性核函数、多项式核函数、高斯径向基核函数等多种类型。
不同类型的核函数适用于不同的问题，并且在实际应用中需要根据具体情况选择合适的核函数类型。
以下是对几种常见核函数的介绍：1. 线性核函数：线性核函数是最简单的核函数类型，它直接将输入空间中的向量映射到特征空间中的线性关系，并且不引入额外的参数。
它的表达式为：K(x, y) = x·y其中，K(x, y)表示两个输入向量x, y在特征空间中的内积。
2. 多项式核函数：多项式核函数是一种通过多项式映射将输入空间中的向量映射到高维特征空间的函数。
它的表达式为：K(x, y) = (x·y + c)^d其中，c和d分别为多项式核函数的参数，c表示常数项，d表示多项式的次数。
3. 高斯径向基核函数：高斯径向基核函数是一种通过指数函数将输入空间中的向量映射到高维特征空间的函数。
它的表达式为：K(x, y) = exp(-||x-y||^2 / (2σ^2))其中，||x-y||表示输入向量x, y的欧式距禮，σ表示核函数的宽度参数。
三、核函数的应用核函数在机器学习、模式识别等领域中有着广泛的应用，它可以用来解决各种复杂的非线性问题。
以下是核函数在几种常见机器学习算法中的应用：1. 支持向量机（SVM）：SVM是一种用于分类和回归分析的监督学习算法，它通过构造一个最优的超平面来实现对输入数据的分类。
第四讲 核方法
构造原则—由简单核构造复杂核
(1)k ( x, x ')是X X上的核函数,则下面的函数都是核: k ( x, x ') 1k1 ( x, x ') 2 k2 ( x, x '), 1 , 2 0 k ( x, x ') k1 ( x, x ')k2 ( x, x '); (2)若f ( x)是X R n上的实值函数,则 k ( x, x ') f ( x) f ( x ')是X X上的核函数; (3)若k3 ( , ')是R m R m 上的核函数, 且 ( x)是从X R n到R m的映射,则 k ( x, x ') k3 ( ( x), ( x '))是R n R n 上的核. 特别地,若B是n n半正定对称矩阵,则 k ( x, x ') xT Bx是R n R n 上的核。
常用的核函数
2 2 k ( x , x ') exp( || x x ' || / ) • 高斯径向基核：
• • • •
多项式核： k ( x, x ') (( x, x ') c)d , c 0, d为正整数 B-样条核： 富里叶核： Sigmoid核：
从不同的角度看核函数
第三讲 核方法
• • • • • • 支持向量机中的核方法 相似性度量与内积 核方法的作用与地位 常用的核函数 从不同的角度看核函数 核函数的构造与选择
支持向量机的核方法
支持向量机的核方法
1 min || w ||2 C i w,b ,i 2 i 1 S .T . yi ((w, ( xi )) b) 1 i
核函数方法简介(亮亮修正版)
核函数方法简介（1）核函数发展历史早在1964年Aizermann等在势函数方法的研究中就将该技术引入到机器学习领域，但是直到1992年Vapnik等利用该技术成功地将线性SVMs推广到非线性SVMs时其潜力才得以充分挖掘。
而核函数的理论则更为古老，Mercer定理可以追溯到1909年，再生核希尔伯特空间(Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS)研究是在20世纪40年代开始的。
（2）核函数方法原理核函数方法原理根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。
采用核函数技术可以有效地解决这样问题。
设x,z∈X,X属于R（n）空间,非线性函数Φ实现输入空间X到特征空间F的映射,其中F 属于R（m）,n<<m。
根据核函数技术有：K(x,z) =<Φ(x),Φ(z) > (1)其中：<, >为内积,K(x,z)为核函数。
从式(1)可以看出，核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，从而为在高维特征空间解决复杂的分类或回归问题奠定了理论基础。
（3）核函数特点核函数方法的广泛应用,与其特点是分不开的：1）核函数的引入避免了“维数灾难”,大大减小了计算量。
而输入空间的维数n对核函数矩阵无影响，因此，核函数方法可以有效处理高维输入。
2）无需知道非线性变换函数Φ的形式和参数.3）核函数的形式和参数的变化会隐式地改变从输入空间到特征空间的映射，进而对特征空间的性质产生影响，最终改变各种核函数方法的性能。
4）核函数方法可以和不同的算法相结合，形成多种不同的基于核函数技术的方法，且这两部分的设计可以单独进行，并可以为不同的应用选择不同的核函数和算法。
核函数模型
核函数模型1. 介绍核函数模型是一种机器学习中常用的非线性分类和回归方法。
它通过映射输入数据到高维空间，从而将线性不可分的问题转化为线性可分的问题。
核函数模型在很多领域都有广泛应用，如图像识别、自然语言处理等。
2. 核函数的概念核函数是核方法的核心。
在SVM（支持向量机）和其他一些机器学习算法中，用到了核函数来解决非线性问题。
核函数实际上是一种将输入数据映射到高维特征空间的函数。
通过这种映射，原本线性不可分的数据在新的空间中变得线性可分。
3. 常用的核函数类型核函数有多种类型，常见的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。
3.1 线性核函数线性核函数是最简单的核函数，它仅进行线性变换。
这种核函数通常适用于数据本身是线性可分的情况。
3.2 多项式核函数多项式核函数通过将数据映射到高维空间来解决非线性问题。
它的形式为K(x, y) = (x * y + c)^d，其中d是多项式的阶数，c是常数。
3.3 高斯核函数高斯核函数也称为径向基函数(RBF)。
它通过将数据映射到无穷维的特征空间来进行非线性转换。
高斯核函数的形式为K(x, y) = exp(-||x - y||^2 / (2 *σ^2))，其中σ是高斯核函数的宽度参数。
3.4 其他核函数除了上述常用的核函数类型，还存在其他类型的核函数，如拉普拉斯核函数、Sigmoid核函数等。
这些核函数在特定的应用场景中可能能够取得更好的效果。
4. 核函数在SVM中的应用SVM是应用核函数最广泛的机器学习算法之一。
它通过最大化样本点到超平面的间隔来进行分类。
核函数在SVM中的应用使得SVM能够处理线性不可分的问题。
4.1 线性核函数在SVM中的应用当数据线性可分时，可以使用线性核函数来构建SVM模型。
线性核函数的性能较好，且计算效率较高。
4.2 非线性核函数在SVM中的应用当数据线性不可分时，需要使用非线性核函数。
非线性核函数能够将数据映射到高维空间，使得原本线性不可分的数据在新的空间中变得线性可分。
核函数基础讲解
出发点
如果我的数据有足够多的可利用的信息，那么我可以直接做我喜欢的事了，但是现在如果没有那么多的信息，我可不可以在数学上进行一些投机呢？
低维（比如我只知道一个人的年龄，性别，那我能对她多了解吗？）
高维（比如我知道他从出生开始，做过哪些事，赚过哪些钱等）
如果我们对数据更好的了解（是机器去了解他们，我们不需要认识啦）
得到的结果不也会更好嘛。
出发点
二维的情况 三维的情况
线性核函数
Linear核函数对数据不做任何变换。
何时来使用呢？
特征已经比较丰富了，样本数据量巨大，需要进行实时得出结果的问题。
不需要设置任何参数，直接就可以用了。
多项式核函数
需要给定3个参数
一般情况下2次的更常见
γ(gama)对内积进行放缩，ζ(zeta)控制常数项，Q控制高次项。
其特例就是线性核函数了
高斯核函数
一维度的高斯 二维的高斯
高斯核函数
公式：
表示什么呢？看起来像是两个样本点之间的距离的度量。
如果X和Y很相似，那结果也就是1了，如果很不相似那就是0了。
高斯核函数
这么做有什么好处呢？能给我做出多少维特征呢？
高斯核函数
看起来不错，但是它对参数是极其敏感的，效果差异也是很大的！
高斯核函数
决策边界会怎么样呢？（σ越小，切分的越厉害，越容易过拟合）。
神经网络-核函数方法
过学习Overfitting and underfitting
Problem: how rich class of classifications q(x;θ) to use.
underfitting
good fit
overfitting
Problem of generalization: a small emprical risk Remp does not
函数估计模型
• 学习样本的函数:
– 产生器 (G) generates observations x (typically in Rn), independently drawn from some fixed distribution F(x) – 训练器Supervisor (S) labels each input x with an output value y according to some fixed distribution F(y|x) – 学习机Learning Machine (LM) “learns” from an i.i.d. l-sample of (x,y)-pairs output from G and S, by choosing a function that best approximates S from a parameterised function class f(x,), where is in the parameter set • 关键概念: F(x,y), an i.i.d. l-sample on F, functions f(x,) and the equivalent representation of each f using its index
核函数
SVM 小结理论基础：机器学习有三类基本的问题，即模式识别、函数逼近和概率密度估计．SVM 有着严格的理论基础，建立了一套较好的有限训练样本下机器学习的理论框架和通用方法。
他与机器学习是密切相关的，很多理论甚至解决了机器学习领域的其他的问题，所以学习SVM 和机器学习是相辅相成的，两者可以互相促进，有助于机器学习理论本质的理解。
VC 维理论：对一个指示函数集，如果存在h 个样本能够被函数集中的函数按所有可能的2h 种形式分开，则称函数集能够把h 个样本打散；函数集的VC 维就是它能打散的最大样本数目。
VC 维反映了函数集的学习能力，VC 维越太则学习机器越复杂(容量越太)。
期望风险：其公式为[](,,(,))(,)y R f c y f y dP y χχχχ⨯=⎰，其中(,,(,))c y f y χχ为损失函数，(,)P y χ为概率分布，期望风险的大小可以直观的理解为，当我们用()f χ进行预测时，“平均”的损失程度，或“平均”犯错误的程度。
经验风险最小化（ERM 准则）归纳原则：但是，只有样本却无法计算期望风险，因此，传统的学习方法用样本定义经验风险[]emp R f 作为对期望风险的估计，并设计学习算法使之最小化。
即所谓的经验风险最小化（ERM 准则）归纳原则。
经验风险是用损失函数来计算的。
对于模式识别问题的损失函数来说，经验风险就是训练样本错误率；对于函数逼近问题的损失函数来说，就是平方训练误差；而对于概率密度估计问题的损失函数来说，ERM 准则就等价于最大似然法。
但是，经验风险最小不一定意味着期望风险最小。
其实，只有样本数目趋近于无穷大时，经验风险才有可能趋近于期望风险。
但是很多问题中样本数目离无穷大很远，那么在有限样本下ERM 准则就不一定能使真实风险较小。
ERM 准则不成功的一个例子就是神经网络和决策树的过学习问题（某些情况下，训练误差过小反而导致推广能力下降，或者说是训练误差过小导致了预测错误率的增加，即真实风险的增加）。
核函数知识点
核函数知识点核函数是机器学习领域中一种重要的数学工具，用于处理非线性问题。
它在支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）等算法中广泛应用。
本文将介绍核函数的基本概念、常见类型以及其在机器学习中的应用。
一、核函数概述核函数是一种将低维特征空间映射到高维空间的函数。
通过核函数的转换，可以将线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分，从而使得SVM等机器学习算法能够处理非线性分类问题。
核函数的基本思想是通过非线性映射将数据从原始空间转换到一个新的空间，在新的空间中进行线性操作。
这种转换可以将原来无法线性划分的数据变得线性可分。
二、常见核函数类型1. 线性核函数（Linear Kernel）线性核函数是最简单的核函数，它不进行任何映射，仅仅计算原始特征空间中的内积。
其数学表示形式为K(x, y) = x·y，其中x和y表示原始特征空间中的两个向量。
2. 多项式核函数（Polynomial Kernel）多项式核函数通过将特征空间映射到更高维度的空间，使得原始数据在新的空间中变得线性可分。
其数学表示形式为K(x, y) = (x·y + c)^d，其中c表示常数，d表示多项式的次数。
3. 高斯核函数（Gaussian Kernel）高斯核函数是最常用的核函数之一，也称为径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF）。
高斯核函数能够将原始特征空间映射到无限维的特征空间，使得数据在新的空间中呈现出非线性特征。
其数学表示形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||^2)，其中γ表示高斯核函数的带宽参数。
4. 拉普拉斯核函数（Laplacian Kernel）拉普拉斯核函数是一种基于拉普拉斯分布的核函数。
与高斯核函数类似，它也能够将数据映射到无限维的特征空间，实现对非线性数据的线性分类。
其数学表示形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||)，其中γ表示拉普拉斯核函数的带宽参数。
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核函数方法简介
（1）核函数发展历史
早在1964年Aizermann等在势函数方法的研究中就将该技术引入到机器学习领域，但是直到1992年Vapnik等利用该技术成功地将线性SVMs推广到非线性SVMs时其潜力才得以充分挖掘。
而核函数的理论则更为古老，Mercer定理可以追溯到1909年，再生核希尔伯特空间(Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS)研究是在20世纪40年代开始的。
（2）核函数方法原理
核函数方法原理
根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。
采用核函数技术可以有效地解决这样问题。
设x,z∈X,X属于R（n）空间,非线性函数Φ实现输入空间X到特征空间F的映射,其中F 属于R（m）,n<<m。
根据核函数技术有：
K(x,z) =<Φ(x),Φ(z) > (1)
其中：<, >为内积,K(x,z)为核函数。
从式(1)可以看出，核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，从而为在高维特征空间解决复杂的分类或回归问题奠定了理论基础。
（3）核函数特点
核函数方法的广泛应用,与其特点是分不开的：
1）核函数的引入避免了“维数灾难”,大大减小了计算量。
而输入空间的维数n对核函数矩阵无影响，因此，核函数方法可以有效处理高维输入。
2）无需知道非线性变换函数Φ的形式和参数.
3）核函数的形式和参数的变化会隐式地改变从输入空间到特征空间的映射，进而对特征空间的性质产生影响，最终改变各种核函数方法的性能。
4）核函数方法可以和不同的算法相结合，形成多种不同的基于核函数技术的方法，且这两部分的设计可以单独进行，并可以为不同的应用选择不同的核函数和算法。
（4）常见核函数
核函数的确定并不困难,满足Mercer定理的函数都可以作为核函数。
常用的核函数可分为两类，即内积核函数和平移不变核函数，如：
1）高斯核函数K(x,xi) =exp(-||x-xi||2/2σ2；
2）多项式核函数K(x,xi)=(x·xi+1)^d, d=1,2,…,N；
3）感知器核函数K(x,xi) =tanh(βxi+b)；
4）样条核函数K(x,xi) = B2n+1(x-xi)。
（5）核函数方法实施步骤
核函数方法是一种模块化(Modularity)方法，它可分为核函数设计和算法设计两个部分，具体为：
1）收集和整理样本,并进行标准化；
2）选择或构造核函数；
3）用核函数将样本变换成为核函数矩阵,这一步相当于将输入数据通过非线性函数映射到高维特征空间；
4）在特征空间对核函数矩阵实施各种线性算法；
5）得到输入空间中的非线性模型。
显然,将样本数据核化成核函数矩阵是核函数方法中的关键。
注意到核函数矩阵是l×l的对称矩阵，其中l为样本数。
（6）核函数在模式识别中的应用
1）新方法。
主要用在基于结构风险最小化(Structural Risk Minimization, SRM)的SVM中。
2）传统方法改造。
如核主元分析(kernel PCA)、核主元回归(kernel PCR)、核部分最小二乘法(kernel PLS)、核Fisher判别分析(Kernel Fisher Discriminator, KFD)、核独立主元分析(Kernel Independent Component Analysis, KICA)等，这些方法在模式识别等不同领域的应用中都表现了很好的性能。