人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 条件概率 (2)
2.2.1条件概率
基础梳理
1．条件概率.
条件设A，B为两个事件，且P(A)>0
含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
记作P(B|A)
读作A发生的条件下B发生的概率
计算
公式
①缩小样本空间法：P(B|A)＝
n（AB）
n（A）
②公式法：P(B|A)＝
P（AB）
P（A）
P(B|A)与P(AB)的区别：P(B|A)的值是AB发生相对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是AB 发生相对于原来的总空间而言．
2．条件概率的性质．
(1)有界性：0≤P(B|A)≤1；
(2)可加性：如果B和C是互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
自测自评
1．下列说法中正确的是(B)
A ．P (
B |A )＜P (AB ) B ．P
(B |A )＝
P （B ）
P （A ）
是可能的
C ．0＜P (B |A )＜1
D ．P (A |A )＝0
2．已知P (AB )＝310，P (A )＝3
5，则P (B |A )等于(B )
A.950
B.12
C.910
D.1
4
3．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝(A )
A.13
B. 15
C.16
D.112
解析：出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种， 所以P (B |A )＝1030＝1
3
.故选A.
不注意区分条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )致误
【典例】 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．
解析：记“第一次取到白球” 为事件A ，“第二次取到黄球” 为事件B ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球” 为事件C .
在事件A 已经发生的条件下，袋中只有9个球，其中3个白球，故此时取到黄球的概率为P (C )＝P (B |A )＝69＝2
3或者P (C )＝P (B |A )＝P （AB ）P （A ）
＝4
1525
＝23.
【易错剖析】应注意P (AB )是事件A 和B 同时发生的概率，而P (B |A )是在事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．若混淆这两个概念，就会出现如下错解：
记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事件C ，
∴P (C )＝P (AB )＝4×610×9＝4
15
.
基础巩固
1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝2
5，则P (AB )＝(C )
A. 56
B.910
C.215
D.1
15
解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215
.故选C.
2．把一枚硬币抛掷两次，事件B 为“第一次出现正面”，事件A 为“第二次出现反面”，则P (A |B )等于(B )
A.14
B.12
C.13
D.34
解析：把抛掷硬币两次的结果图示为：“＋＋”、“＋－”、“－＋”、“－－”． 易知P (B )＝12，P (AB )＝1
4，∴P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝1
412
＝12
.
3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(D )
A ．0.02
B ．0.08
C ．0.18
D ．0.72
解析：记P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，则P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72.
4．6位同学参加百米径赛，赛场共6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．
解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法．
故所求概率为P ＝A 44
A 55＝15.
答案：15
能力提升
5.将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于(C )
A.91216
B.5
18 C.6091 D.12
解析：事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.∴P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝6091
.
6．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(C )
A.35
B.110
C.59
D.25
解析：把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59
. 7．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3
10，在事件A 发生的条件下，事件B
发生的概率为1
2
，则事件A 发生的概率为________．
解析：∵P (AB )＝310，P (B |A )＝1
2，
P (B |A )＝P （AB ）
P （A ），
∴P (A )＝P （AB ）P （B |A ）＝3
1012＝3
5
.
答案：35
8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是1
2，现有一个此种元
件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
解析：记满6 000小时未坏为事件A ，满10 000小时未坏为事件B ，则P (A )＝3
4.
∵B
A ，∴P (A
B )＝P (B )＝1
2
.
∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1
234＝2
3
.
答案：23
9．已知箱子中装有10件产品，其中6件正品，现从中不放回地任取两次，每次取一件，求两次都取到正品的概率．
解析：设A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到正品}，AB ＝{两次都取到正品}． 由题意知， P (A )＝610，P (B |A )＝5
9.
故P (AB )＝P (A )P (B |A )＝610×59＝1
3
.
10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 解析：设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝1
4
.
(2)法1 要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝
415
. 法2 P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝1
10，
∴P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝4
15
.。
人教A版数学高二选修2-3第二章《概率》测试题(武汉市二十三中)
18、某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为10
1
，路段CD 发生堵车事件的概率为
).15
1
请你为其选择一条由A 到B 的路线，
使得途中发生堵车事件的概率最小；
19 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
20某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为
2
3
，科目B 每次考试成绩合格的。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3 条件概率 课时作业
课时作业(十一) 一、选择题1．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)＝()A.950 B.12C.910 D.14解析：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.答案：B2．在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是()A.35 B.25C.12 D.13解析：设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，则P(A)＝3 5，P(AB)＝3×25×4＝310，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12.答案：C3．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为()A.35 B.25C.110 D.59解析：方法一：设A＝{第一次摸到红球}，B＝{第二次摸到红球}，AB＝{两次摸出都是红球}，则由古典概型知P(A)＝610＝35，P(AB)＝C26C210＝13，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1335＝59.方法二：第一次摸出红球后，9个球中有5个红球，此时第二次也摸出红球的概率为59.答案：D4．一个盒子中有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是()A.56 B.34C.23 D.13解析：记A：取的球不是红球，B：取的球是绿球．则P(A)＝1520＝34，P(AB)＝10 20＝12，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝23.答案：C5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是() A．0.72 B．0.8C.89D．0.9解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.答案：A6．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18 B.14C.25 D.12解析：∵P(A)＝C22＋C23C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1 4.答案：B二、填空题7．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是__________．解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A55种排法，乙排在第二跑道共有A44种排法，所以所求概率为A44A55＝1 5.答案：1 58．设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于________．解析：∵P(B|A)＝P(AB) P(A)，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝12×13＝16，∴P(B)＝P(AB)P(A|B)＝1612＝13.答案：1 39.如图，△BCD是以O为圆心、半径为1的圆的内接正三角形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正三角形BCD内”，B表示事件“豆子落在扇形OCD(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝______.(2)P(B|A)＝_______.解析：由题意知，圆的面积为π，由正弦定理BCsin∠BDC＝2R⇒BC＝2×32＝3，故正三角形BCD面积为34(3)2＝334，三角形OCD面积为334×13＝34，所以P(A)＝334π，P(AB)＝34π＝34π，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.答案：(1)334π(2)13三、解答题10．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解：由题意得球的分布如下：玻璃木质总计红23 5蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝141116＝411.11．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求：(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率． 解：设第i 次接通电话为事件A i (i ＝1,2,3)，则A ＝A 1∪(A 1A 2)∪(A 1 A 2A 3)表示不超过3次就接通电话．(1)因为事件A 1与事件A 1A 2，A 1 A 2A 3彼此互斥， 所以P (A )＝110＋910×19＋910×89×18＝310. (2)用B 表示最后一位是奇数的事件，则 P (A |B )＝P (A 1|B )＋P (A 1A 2|B )＋P (A 1 A 2A 3|B ) ＝15＋4×15×4＋4×3×15×4×3＝35.12．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79，(1)求白球的个数．(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球数为x 个．则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，故x ＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15C 110·C 15C 19＝2590＝518， P (B )＝C 15·C 15＋C 15·C 14C 110·C 19＝25＋2090＝12.故P (C |B )＝P (BC )P (B )＝51812＝59.。
人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.22.2.1条件概率(20210717215202)
[ 课时作业 ][A 组 基础稳固 ]121．已知 P( B|A)＝ 3， P(A)＝ 5，则 P(AB )等于 ()5 9 A.6 B.102 1 C.15D.15分析： 由 P(B|A)＝ P AB1 2 ＝ 2PA得 P(AB)＝ P(B|A) ·P(A)＝ ×.3 5 15答案： C2．投掷一枚质地平均的骰子所得点数的样本空间为 Ω＝ {1,2,3,4,5,6} ，令事件 A ＝ {2,3,5} ，B ＝ {1,2,4,5,6} ，则 P(A|B)等于 ()2 1 A. 5B.23 4 C.5D.5分析： ∵ A ∩B ＝ {2,5} ，∴ n(AB)＝ 2.又∵ n(B)＝ 5，∴ P(A|B) ＝nAB ＝ 2.n B5答案： A3．为观察某种药物预防疾病的成效，科研人员进行了动物试验，结果以下表：生病未生病总计服用药 10 45 55 未服药 20 30 50总计30 75105在服药的前提下，未生病的概率为()3 3A. 5B.7 9 11C.11D.15分析： 在服药的前提下，未生病的概率P ＝45＝95511.答案： C4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数相关．某品牌的电视机的显像管开关了 10 000 次 后还可以持续使用的概率是0.80，开关了 1 5 000 次后还可以持续使用的概率是 0.60，则已经开 关了 10 000 次的电视机显像管还可以持续使用到 15 000 次的概率是 ()A ． 0.75B ． 0.60C ． 0.48D ．0.20分析：记 “开关了 10 000 次后还可以持续使用 ”为事件 A ，记 “开关了 15 000 次后还可以持续使用 ” 为事件 B ，依据题意，易得 P(A)＝ 0.80，P(B)＝ 0.60，则 P(AB )＝ 0.60，由条件概率的计算方法，可得 P(B|A)＝ PAB ＝0.60＝ 0.75. P A 0.80答案： A5．某种动物活到 20 岁的概率是 0.8，活到 25 岁的概率是0.4，则现龄 20 岁的这类动物活到25 岁的概率是 ( )A ． 0.32B ．0.5C ． 0.4D ．0.8分析： 记事件 A 表示 “该动物活到 20 岁 ”，事件 B 表示 “该动物活到 25 岁 ”，因为该动物只有 活到 20 岁才有活到 25 岁的可能，故事件 A 包括事件 B ，进而有 P(AB)＝ P(B)＝ 0.4，因此现 龄 20 岁的这类动物活到25 岁的概率为 P(B|A)＝PAB ＝0.4＝ 0.5.P A 0.8答案： B36．设 A ，B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概率为10，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为 1，则事件 A 发生的概率为 ________． 2分析： ∵ P(AB)＝ 103， P(B|A)＝ 12，∴ P (B|A)＝P AB.P A3∴P(A)＝ .5答案：357.如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件 “豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件 “豆子落在扇形 OHE (暗影部分 )内”，则 P(B|A)＝ ________.分析： 因为 P(A)表示事件 “豆子落在正方形 EFGH 内 ”的概率，为几何概型，因此 P(A)＝ S正方形EFGH2S 圆O＝ .π1×1×1 1P(AB )＝22 ＝ 2＝1.π×1π 2π1由条件概率计算公式，得P(B|A)＝P AB 2π 1 . PA＝ ＝2 4 π答案：148．从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中随意抽出 2 张，将此中 1 张放在验钞机上查验发现是假钞，则第 2 张也是假钞的概率为________．分析：设事件 A 表示 “抽到 2 张都是假钞 ”，事件 B 为 “2 张中起码有一张假钞 ”．因此为 P(A|B)．2 2 11C 5C 5＋C 5C 15而 P(AB)＝C 202， P(B)＝C 202 ，∴P(A|B)＝P AB＝2P B17.答案：2179．设某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8，能活到 25 岁的概率为 0.4，现有一只 20 岁的这类动物，问它能活到25 岁的概率是多少？分析： 设事件 A 为 “能活到 20 岁 ”，事件 B 为 “能活到 25 岁 ”，则 P(A)＝ 0.8， P(B)＝ 0.4，而所求概率为 P(B|A)，因为 B? A ，故 AB ＝ B ，于是 P(B|A)＝PAB＝PB ＝0.4＝0.5，P AP A0.8因此一只 20 岁的这类动物能活到25 岁的概率是 0.5.10．随意愿 x 轴上 (0,1) 这一区间内掷一个点，问：(1) 该点落在区间 0，13 内的概率是多少？(2) 在 (1)的条件下，求该点落在1，1 内的概率．5分析： 由题意知，随意愿 (0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个地点是等可能的，令1A ＝ x|0<x< 3 ，由几何概率的计算公式可知1 3 1(1)P(A)＝ ＝ .1 3111 ，(2) 令 B ＝ x 5<x<1，则 AB ＝ 5<x<31 13－5＝ 2P(AB )＝ 1 15.故在 A 的条件下 B 发生的概率为2P(B|A)＝PAB ＝ 15＝ 2.P A1 53[B能力提高 ]1．分 用会合M ＝ { 2， 4，5， 6， 7， 8， 11， 12} 中的随意两个元素作分子与分母组成真分数，已知拿出的一个元素是12， 拿出的另一个元素与之组成可 分数的概率是( )7 5 A. 12 B.124 1C.7D.12分析：“拿出的两个元素中有一个是12” 事件 A ，“拿出的两个元素组成可 分数 ” 事件B. n(A)＝ 7， n(AB)＝ 4，因此 P( B|A)＝nAB ＝4.nA 7答案： C2．盒中装有 10 只 球，此中 6 只新球， 4 只旧球，不放回地挨次拿出 2 个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率()31A. 5B.1052 C.9D.5分析： A ＝ { 第一次获得新球 } ， B ＝{ 第二次取到新球1 111} ， n( A)＝ C 6C 9， n(AB )＝ C 6C 5.P AB 1 1∴P(B|A)＝ ＝ C 6C 5 5P A 1 1＝ .C 6C 9 9 答案： C3．从 号 1,2，⋯ ，10 的 10 个大小同样的球中任取 4 个，已知 出4 号球的条件下，出球的最大号6 的概率 ________．分析： 令事件 A ＝ { 出的 4 个球中含 4 号球 } ，B ＝ { 出的 4 个球中最大号 6} ．依 意知 n(A)＝C 93＝ 84，n(AB)＝ C 42＝ 6， ∴P(B|A)＝nAB ＝6＝1nA84 14.答案：1144．1 号箱中有 2 个白球和 4 个 球， 2 号箱中有 5 个白球和 3 个 球， 随机地从 1 号箱中 拿出一球放入 2 号箱，而后从 2 号箱随机拿出一球， 从 2 号箱拿出 球的概率是 ________．分析： A ＝ {从 2号箱中拿出的是 球 } ，B ＝ { 从 1 号箱中拿出的是 球} ， P(B)＝4 ＝2＋ 42，P( B )＝ 1－P(B)＝1，P(A|B)＝3＋1＝4，P(A| B )＝ 3 ＝1，P(A)＝P(AB∪ A B )＝ P( AB)338＋ 198＋ 1342 11 11＋P(A B )＝ P(A|B)P(B)＋ P(A| B )P( B ) ＝×＋×＝.93 33 2711答案：5．在某次考试中，要从20 道题中随机地抽出 6 道题，考生能答对此中的 4 道题即可经过；能答对此中 5 道题就获取优异．已知某考生能答对此中的10 道题，而且知道他在此次考试中已经经过，求他获取优异成绩的概率．分析：记事件 A 为“该考生 6 道题全答对”，事件 B 为“该考生答对了此中5 道题，另一道答错”，事件 C 为“该考生答对了此中 4 道题”，而另 2 道题答错，事件 D 为“该考生在此次考试中经过”，事件E 为“该考生获取优异”，则A，B，C两两互斥，且D＝ A∪ B∪C， E＝ A ∪B.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D )＝ P(A∪ B∪C)＝ P(A)＋P(B)＋ P(C)＝C106C105C101C104C10212 180，6 ＋ 6 ＋6＝6C20C20C20C20P(AD )＝P(A)， P(BD)＝ P(B)，P(E|D )＝ P(A∪ B|D )＝ P(A|D)＋ P(B|D )＝ P A＋P210 2 520＝ 13 B＝ C206＋ C206P D P D12 18012 18058.C206C206故所求的概率为1358.6．设 b 和 c 分别是先后投掷一枚骰子获取的点数，用随机变量ξ表示方程 x2＋ bx＋c＝ 0 实根的个数 (重根按一个计 ) ．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程 x2＋ bx＋ c＝0 有实根的概率．分析：记“先后两次出现的点数中有5”为事件 M，基本领件总数为 6×6＝ 36，此中先后两次出现的点数中有5，共有11 种．进而 P(M)＝1136.记“方程 x2＋ bx＋ c＝ 0 有实根”为事件 N，2则＝ b2－ 4c≥0，即 b≥2 c.因为 b， c 分别是先后投掷一枚骰子获取的点数．当先后两次出现的点数中有 5 时，若 b＝5，则 c＝1,2,3,4,5,6；若 c＝ 5，则 b＝ 5,6，进而 P( MN) ＝7 . 36因此在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程x2＋ bx＋ c＝ 0 有实根的概率为P MN7P(N|M)＝P M＝11.。
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.1 条件概率
例3.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象纪录，知道甲、乙两地 一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？
解：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”
Hale Waihona Puke 课堂练习 1.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点条件下，问“掷出点数之和不小于10”的 概率是多少?
解法1：设A={出现的点数不超过3}＝｛1,2,3｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛1,3,5｝ 只需求事件A发生的条件下，事件B的概率即P（B｜A）
解法一（减缩样本空间法）
解法2：设A={出现的点数不超过3}＝｛1,2,3｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛1,3,5｝
只需求事件A发生的条件下，事件B的概率即P（B｜A）
谢谢大家！
第二章 随机变量及其分布
2.2.1 条件概率
问题1：如果一个家庭中有两个孩子，问这时第二个小孩是女孩的概率为 多大？
问题探究 问题2：如果一个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问这时另一 个孩子也是女孩的概率为多大？
有一个女孩的条件下，第二个也是女孩的概率记为P(B|A）
内涵理解 为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？ 样本空间不一样
在原样本空间的 概率
P(B∪C|A)= P(B|A)+ P(C|A)
例题解析 例1.在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时
对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条
件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理， 假如你在现场，你会如何抉择？
P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A
人教A版高中数学选修2-3课件《2.2.1条件概率(二)》
（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
1
1
3、设P(A|B)=P(B|A)=,P2(A)=,求P3(B).
例1一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—
9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了 密码的最后一位数字，求：
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例6如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正
方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设 投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上面 3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求P(A|B)。
例7盒中有球如表.任取一球
例3某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到
25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25 岁的概率。
解设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活 到25岁”(即≥25)
则 P( A) 0.7, P(B) 0.56
由于B A故A B B，
所求概率为
P(B A) P( AB) P(B) 0.8
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
例4设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定
一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品
的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概
率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100件产品中有70件一等品， P(B) 70 0.7 100
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人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3【基础达标】2.2.1条件概率
1．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，P (B )＝34，则P (B |A )＝( ) A.950B.12C.25D.910解析：选B.由条件概率的定义知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12. 2．抛掷红、蓝两个骰子，事件A ＝“红骰子出现4点”，B ＝“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P (A |B )为( )A.12B.135C.112D.16 解析：选D.∵P (B )＝12，P (AB )＝112， ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝16. 3．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A.15B.310C.12D.35 解析：选A.设A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝15.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为15. 4．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＝P (AB )B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0解析：选B.∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，1P (A )≥1，∴P (B |A )≥P (AB )，则A 不正确；当P (A )＝1时，P (B )＝P (AB )，则P (B |A )＝P (B )＝P (B )P (A )，所以B 正确；而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C 、D 不正确．5．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D.设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子成长为幼苗”为事件AB ，“这粒水稻种子发芽后又能成长为幼苗”为事件B |A ，由P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.6．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 答案：167．由长期统计资料可知，某地区在4月份下雨(记为事件A )的概率为415，刮五级以上风(记为事件B )的概率为715，既刮五级以上风又下雨的概率为110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝110715＝314， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38. 答案：314 388．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}，依题意可知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C24＝6，∴P(B|A)＝n(AB)n(A)＝684＝114.答案：1149．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)掷两颗骰子共有36种不同的情况，它们是等可能的．故P(A)＝26＝13，P(B)＝1036＝518，P(AB)＝536，(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝53613＝512.10．任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问(1)该点落在区间⎝⎛⎭⎫0，12内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在⎝⎛⎭⎫14，1内的概率．解：由题意可知，任意向(0,1)这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪0＜x＜12，由几何概率的计算公式可知．(1)P (A )＝121＝12.(2)令B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14＜x ＜1，则AB ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14＜x ＜12，故在A 的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12－1412＝12.。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
高中数学人教A版选修2-3第二章2.2.1条件概率
4. P(B|A) ∈〔0,1〕 .
5．如果B 和C 是两个互斥事件，则P(（B∪C）|A )
＝ P(B|A)＋P(C|A) .
C
B Ａ∩C Ａ∩Ｂ
A
例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 的依次抽取2道题. （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率.
PB PA
0.4 0.8
0.5，
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
条件概率的计算公式及性质
1．利用定义计算：P(B|A)＝P（AB）/P（A）
2．利用缩小样本空间的观点计算： P(B|A)＝n(AB)/n(A)
3．P(B|A) ≥P(AB) ．
4. P(B|A) ∈〔0,1〕
5．如果B 和C 是两个互斥事件，则 P(（B∪C）|A )＝ P(B|A)＋P(C|A)
已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是1/2，在第
一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯
的概率是1/3，求两次闭合都出现红灯的概率．
解：记第一次闭合出现红灯为事件A， 第二次闭合出现红灯为事件B， 则P(A)＝1/2，P(B|A)＝1/3 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝2/3.
例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
就按对的概率。
例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 条件概率与事件的相互独立性(练)
2．2．1条件概率与事件的相互独立性 一、选择题 1．100件产品中有6件次品，现在从中不放回的任取3件产品，在前两次抽取为正品的条件下，第三次抽取为次品的概率是( )A.C 16C 294C 198B.C 294C 16C 3100C.C 294C 16C 294C 198D.C 198C 294C 16解析：选C.设事件A 为“前两次抽取为正品”，事件B 为“第三次抽取为次品”，则P (A )＝C 294C 198C 3100，P (AB )＝C 294C 16C 3100，则P (B |A )＝P AB P A ＝C 294C 16C 294C 198. 2．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为( )A.112B.13C.8384D.184解析：选B.设事件A 为“第一支抽取为好的”，事件B 为“第二支是坏的”，则P (A )＝C 17C 19C 210，P (AB )＝C 17·C 13C 210，所以P (B |A )＝13. 3．盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，连取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )A.310B.35C.12D.25解析：选C.设事件A 表示：“第一次取得的是二等品”，B 表示：“第二次取得一等品”．则P (AB )＝25×34＝310，P (B )＝35. 由条件概率公式P (A |B )＝P AB P B ＝31035＝12. 4．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于( )A.25B.12C.35D.45解析：选A.∵A ∩B ＝{2,5}，∴n (AB )＝2.又∵n (B )＝5，故P (A |B )＝n AB n B ＝25. 5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是( ) A.13B.118C.16D.19解析：选A.设“至少有一枚出现6点”为事件A ，“两枚骰子的点数不同”为事件B .则n (B )＝6×5＝30，n (AB )＝10，所以P (A |B )＝n AB n B ＝13. 6．某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D.设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件B |A ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件AB ，且P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.二、填空题7．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．解析：设事件A 表示：“点数不超过3”，事件B 表示：“点数为奇数”，则n (A )＝3，n (AB )＝2，所以P (B |A )＝n AB n A ＝23. 答案：238．袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球，红球中有2只木球，1只塑料球，现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同，若已知取到的球是白球，则它是木球的概率是________．解析：设A 表示“取到的球是白球”；B 表示“取到的球是木球”．则n (A )＝7，n (AB )＝4，所以P (B |A )＝n AB n A ＝47. 答案：479．6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是________．解析：甲同学排在第一跑道后，还剩5个跑道，则乙排在第二跑道的概率为15. 答案：15三、解答题10．某班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．现在要在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一小组的概率．解：设在班内任选一名学生，该学生是共青团员为事件A ，在班内任选一名学生，该学生恰好在第一小组为事件B ，则所求概率为P (B |A )．又P (B |A )＝P AB P A ＝4401540＝415. 所以所求概率为415. 11．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？解：设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ，于是P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.40.8＝0.5， 所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.12．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )．解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”则P (C )＝C 34C 36＝420＝15， ∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45. (3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.。
人教A版高中数学选修2-3课件条件概率2
球 , 从中先后随意各取一球 ( 不放回 ) , 求第二次取 到的是黑球的概率 .
解 记 Ai 为事件 “ 第 i 次取到的是黑球 ” ( i 1, 2 ) .
则有
P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ).
§1.4 条件概率
一、引例
二、 条件概率的数学定义
三、乘法公式四、全概率公式 五、 Nhomakorabea叶斯公式
一、引例
例1.18 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品 结构如下表：
数量 等级 厂别
甲厂
475 25 500
乙厂
644 56 700
合计
1 119
合格品
次
合
品
计
81
1 200
从这批产品中随意地取一件，
则这件产品为次品的概率为
i 1
i 1
P ( Ai A ) .
例 1.19 一袋中装有 10 个球 , 其中 3 个 黑球 , 7 个
白球 , 先后两次从袋中各取一 球 ( 不放回 ) . ( 1 ) 已知第一 次取出的是黑球 , 求第二次取出 的仍是黑球的概率 ； ( 2 ) 已知第二 次取出的是黑球 , 求第一次取出 的也是黑球的概率 .
式（1.3）和（1.4）通常称为两个事件交的概率的 乘法公式.
例 1.20 某批产品中, 甲长生产的产品占 60% , 已知
甲厂的产品的次品率为 10% , 从这批产品中随意地 抽取一件 , 求该件产品是甲厂生产的次品的概率 .
解
记 A 表示事件 “ 产品是甲厂生产的 ” ,