近代科学家李善兰
“近代科学术语之父”
“近代科学术语之父”作者：邵红能来源：《科学24小时》2013年第11期中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在诸多灿烂的文化瑰宝之中，数学可谓是其中拥有许多耀眼光环的学科。
中国古代算术的许多研究成果就早已孕育了西方数学后来才涉及的思想方法，近代中国也有不少世界领先的数学研究成果。
2011年4月30日-5月4日，第四届数学史与数学教育国际研讨会在华东师范大学举行，“纪念李善兰诞辰200周年”是这次大会的重点报告主题。
笔者谨以此文赏析李善兰先生的数学功力及对祖国的杰出贡献，并对其奋斗、进取的一生深表敬仰。
李善兰（1811-1882年），原名李心兰，浙江海宁人。
他是清代著名的数学家、天文学家、植物学家、翻译家和教育家，近代科学传播的先驱者。
他在数学方面的主要学术成果体现在尖锥术、垛积术和素数论上。
毫无置疑，李善兰造就的知识能级都是19世纪中国数学界向国际数学界呈现的极高礼物。
李善兰1811年1月22日生于浙江省海宁县硖石镇。
他自幼就读于私塾，受到了良好的家庭教育。
海宁是个风光秀丽的地方，著名的海宁钱江潮，吞天沃日，势极雄豪。
当时中国还是一个独立的封建国家。
9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著《九章算术》（该书分为九章，由246个算术命题和解法汇编而成，标志着我国古代数学完整体系的形成）。
李善兰读了这本书，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学。
13岁时，李善兰开始学习古代诗歌并学会了作诗。
14岁时，李善兰又靠自学读懂了由欧几里得系统化整理的《几何原本》中初等几何学部分。
李善兰在研习《九章算术》的基础上，同时吸取《几何原本》的新思想，使他的数学造诣日趋精湛。
清政府在对外关系中实行闭关锁国政策，这种政策保护了国内落后的生产关系，阻碍了资本主义萌芽的发展。
正当中国在黑夜中沉睡的时候，世界上欧美各主要资本主义国家却早已发展起来。
1840年，英国发动鸦片战争后，中国出现了魏源、姚莹、包世臣等地主阶级知识分子的反侵略爱国思想和向西方学习的主张。
数学家的故事
4、李冶
李冶(1192-1279)，中国金元时 期的数学家，天文家。李治在数 学上的主要贡献是天元术（设未 知数并列方程的方法），用以研 究直角三角形内切圆和旁切圆的 性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰 并称为“宋元数学四大家”。
5、秦九韶
秦九韶（1208－1261）南宋官 员、数学家，与李冶、杨辉、朱 世杰并称宋元数学四大家。1247 年完成数学名著《数书九章》发 明“秦九韶算法”推导出“秦九 韶公式”
2、泰勒斯[古希腊]
泰勒斯，古希腊时期的思 想家、科学家、哲学家，希 腊最早的哲学学派——米利 都学派（也称爱奥尼亚学派） 的创始人。希腊七贤之一， 西方思想史上第一个有记载 有名字留下来的思想家。 “科学和哲学之祖”，泰勒 斯是古希腊及西方第一个自 然科学家和哲学家。泰勒斯 的学生有阿那克西曼德、阿 那克西米尼等。
10、拉格朗日[法国]
约瑟夫· 拉格朗日 （1735-1813）法国 数学家、物理学家。 他在数学、力学和天 文学三个学科领域中 都有历史性的贡献， 其中尤以数学方面的 成就最为突出。
11、拉普拉斯[法国]
拉普拉斯，法国数学家、天 文学家，法国科学院院士。 是天体力学的主要奠基人、 天体演化学的创立者之一， 他还是分析概率论的创始人， 因此可以说他是应用数学的 先驱。
12、费马[法国]
皮埃尔· 费马，法国 德·
律师和业余数学家。他 在数学上的成就不比职 业数学家差，他似乎对 数论最有兴趣，亦对现 代微积分的建立有所贡 献。被誉为“业余数学 之王”。
13、柯西[法国]
柯西（1789-1857），出生于巴 黎，他的父亲路易· 弗朗索瓦· 柯 西是法国波旁王朝的官员，在法 国动荡的政治漩涡中一直担任公 职。由于家庭的原因，柯西本人 属于拥护波旁王朝的正统派，是 一位虔诚的天主教徒。并且在数 学领域，有很高的建树和造诣。 很多数学的定理和公式也都以他 的名字来称呼，如柯西不等式、 柯西积分公式。
李善兰历史教科书上的中国数学家
李善兰历史教科书上的中国数学家李善兰的名气不可谓不大，相信很多人在历史教科书上见到过他的画像，知道他是一个著名的数学家。
《清史稿》载：“李善兰强绝人，其于算，能执理之至简，驭数之繁，故衍之无不可通之数，扶之即无不可穷之理。
”表明他聪慧，精通数学。
最能体现其卓越的数学才能的，当是李善兰通过自学翻译西方近代数学和着书立说，为我们留下了宏丰论著，诸如《几何原本》、《代微积拾级》等。
与《几何原本》的不解之缘李善兰翻译的第一本书，是与著名汉学家伟烈亚力合作翻译的世界数学名著《几何原本》。
《几何原本》原名《原本》，是古希腊著名数学家欧几米得的杰作，对西方思想有深刻的影响，曾被大哲学家罗素视为“古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一”，以致有人认为，在西方文明的所有典籍中，只有《圣经》才能够与《原本》相媲美。
《几何原本》在明万历三十五年（1607）被引入中国，它是由著名科学家徐光启和意大利传教士利玛窦合作翻译的。
但徐光启和利玛窦在翻译前六卷后，因种种原因，后面的九卷一直没有译出。
《几何原本》没有完整地翻译过来，这对中国学术界是件很遗憾的事。
李善兰与《几何原本》可以说有着不解之缘。
他十五岁就开始研读《几何原本》前六卷，“通其义”，“时有心得”。
《几何原理》对李善兰的影响是如此之深，以致他深为徐光启、利玛窦未尽译全书而遗憾。
恰好，李善兰在墨海书馆的合作者伟烈亚力也是个对《几何原本》很感兴趣的学者，到中国后，他一直有意要续译《几何原本》，并特意从英国买来了从拉丁文译成英文的15卷本《几何原本》。
但由于伟烈亚力在数学方面的造诣并不十分的精深，对翻译并无十分的把握，他需要一位精通数学、熟悉《几何原本》的中国学者来合作，而李善兰正是这样一个最为合适的人选。
于是，两人一拍即合，李善兰来到墨海书馆后不久，咸丰二年（1852）的六月上旬，两人开始了续译《几何原本》的工作。
李善兰与伟烈亚力合译的方式是当时流行的一人口译一人笔述。
近代数学家李善兰
近代数学家李善兰近代科学技术及其科学思想是从西方传入的。
1840年的鸦片战争之后,国门被打开,统治阶级中逐渐出现了一批“睁眼看世界的人”。
主张“师夷之长技以制夷”的洋务派曾国藩、李鸿章等十分重视介绍和学习西方数学。
1862年,清政府在北京设立同文馆,在上海、广州、福州、天津等地也设立了专门学堂,学习外语和西方科学知识。
上海江南制造总局也翻译了一批科技书籍。
19世纪后半期,中国涌现出一批科学家。
他们为发展中国近代科学做出了重要贡献,李善兰便是其中的佼佼者。
同文馆算学总教习李善兰(1813～1884),字壬叔,号秋纫,浙江海宁硖石人,是著名的数学家、天文学家、翻译家和教育家,中国近代科学的奠基人之一。
浙江海宁物华天宝,人杰地灵。
李善兰出身于书香世家,自幼就读于私塾,受到了良好的家庭教育。
他天资聪颖,又勤奋好学。
9岁时,李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著《九章算术》。
这本书约成书于东汉前期,由246个算术命题和解法汇编而成,是世界著名的数学著作之一,标志着我国古代数学的完整体系的形成。
李善兰读了这本书,感到十分新奇有趣,从此迷上了数学。
李善兰14岁时,靠自学读懂了古希腊数学家欧几里得的《几何原本》前六卷。
李善兰读的《几何原本》是明末大科学家徐光启和意大利传教士利玛窦翻译的。
李善兰在《九章算术》的基础上,又吸取了《几何原本》的新思想,数学造诣日趋精深。
1840年,鸦片战争爆发。
外国列强入侵中国的行径激发了李善兰科学救国的思想。
他说:“呜呼!今欧罗巴各国日益强盛,为中国边患。
推原其故,制器精也,推原制器之精,算学明也。
”“异日(中国)人人习算,制器日精,以威海外各国,令震慑,奉朝贡。
”李善兰生性落拓不羁。
年轻时,他曾去杭州参加过一次乡试,因八股文做得不好,落第而归,但他毫不介意。
自云:“于辞章训诂之学,虽皆涉猎,然好之总不及算学,故于算学用心极深。
”1867年,北京的京师同文馆添设了算学、化学、天文、物理等课程,广东巡抚郭嵩焘上疏举荐李善兰为算学总教习(1868年),从此他完全转向数学教育和研究工作,直至去世。
中国历史故事-李善兰是谁？李善兰是怎么死的？
中国历史故事-李善兰是谁？李善兰是怎么死的？李善兰，原名李心兰，是中国近代著名的数学家、天文学家、力学家和植物学家，是一位非常著名的学者，创立了二次平方根的幂级数展开式。
他对于正反三角函数以及对数函数和幂级数展开式的研究，不仅是他本人的最高成就，同时也是十九世纪中国数学界最重大的成就。
公元1811年。
李善兰在浙江海宁一个读书世家出生。
他的家族世代读书，最早的可以追述至南宋时期的著名学者李伯翼。
李善兰也就是李心兰是虚谷先生李祖烈和崔景远之女崔氏的长子，字竟芳，号秋纫，别号壬叔，从小就受到祖辈的期望。
李善兰生长在读书世家，又是家中长子，自然受到了非常好的脚。
他自幼开始就入私塾跟随师傅读书，据说他天资聪颖，过目即能成诵。
这么一个优秀的读书苗子，为什么没有科举取士，反而一心钻到了数学领域中去了呢？说起来这也是一个巧合，李善兰九岁的时候，偶然的在他父亲的书架上发现了一本中国古代数学名著《九章算术》。
读了这本书之后，李善兰一下子被数学公式，复杂的称号数字深深吸引，从此之后就迷上了数学。
“方年十龄，读书家塾，架上有古九章，窃取阅之，以为可不学而能，从此遂好算。
”十三岁的时候，李善兰开始学习作诗，十四岁的时候靠自学学会了欧几里得的《几何原本》前六卷。
中国的《九章算术》和西方的《几何原本》，大大丰富了李善兰在数学领域中的学识，使得他的数学造诣得到了长足的进步。
几年之后，李善兰在前往杭州府参加乡试的时候，买回了《测圆海镜》与《勾股割圆记》两本书，使得他的数学水平再次得到了提高。
“三十后，所造渐深。
”从1840年开始，李善兰开始发表他的数学心得，这些都是他在数学领域中的所得。
包括：《天算或问》（1840年），《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》（1845年），《四元解》2卷（1846年），《麟德历解》3卷（1848年）。
1852年。
李善兰来到上海，此后开始从事西方数学和天文学等科学著作的翻译工作，八年来共翻译八十多卷书籍，成果颇丰，包括了对《几何原本》后9卷的翻译。
中国近代科学的杰出传播者-李善兰
■
李善兰在 《 谈天》序中 ，大力表彰哥 白尼 、开 普 勒 、牛顿 等 人 不 断 探索 真 理 、
苟求 其故 的科 学 态度 ，勇于批 判 阮元 对哥 白尼 学说 的攻 击 和钱 大 昕对开 普 勒定律 的
实用主义观点 ，说阮元 、钱大昕 “ 未尝精 心 考察 ，而 拘牵 经义 ，妄 生议 论 ，甚无 谓
时 ，李 善 兰 义靠 Ｆ ｛ 学 凑懂 了欧几 里 得 《 几 何 原 本 》 巾初 等 几 何 学 部 分 。 ｌ ８ ４ ０ 年 ，鸦 片 战 争爆 发 。帝 国 主义 列
强 入侵 巾 闫的 现 实激 发 了李 善 兰科 学 救 闻的 决 心 。 他感 慨 道 ： “ 呜 呼 ！今
善！ ！ 发 现 父 亲 的 书架 上 有 一本 ｜ ｝ １ 同 代数学名著 《 九 章算 术 》 ，全 书 分 为 ， Ｌ 章 ，ｍ ２ ４ ６ 个 算 术命 题 和 解 法 汇 编
Ｉ 成 。李 善 兰 渎 了这 本 书 ，感 到 十 分 新 奇 有 趣 ，从 此 迷 上 ＿ ｒ数 学 。 ｌ ４岁
江 海 宁人 。 是 清代 著 名 的数 学 家 、天 文 学 家 、植 物 学 家 、 翻 译 家 和 教 育 家 ，近代科 学传播 的 先驱 者 。
数 展 开式 ，各 种 ＝ 角 函数 、反 ｉ 角 函数 和对 数 函数 的幂 级 数展 开 式 ，这 是 李 善 兰也 是 １ ９世 纪 中 图数学 界 最重 大 的成 就
ｌ ８ ４ ２ 年５ 月 ，英 军攻 陷 江浙 海 防重 镇
“ 小 学 略通术 数 ，大隐 不在 Ｌ ｌ ｊ 林 ” 张贴 门上 ，表 明他 仍 然 以 在野 的 隐士 自居 ，而 不 与 贪官污吏 者 同流合 污 。 可以说 ，鸦 片战争大炮轰 开国门 ，掀起西方数学进入我
清朝晚期的文化(一)
冯 如 著名飞机设计师，1910年飞行大会创世界纪录。
中国近代著名数学家 李善兰（1813--1884）
曾任同文馆天 文算学总教习， 著有《方圆阐 幽》。他第一 次把牛顿力学 三大定律介绍 到中国。
中国近代著名化学家 徐寿（1818---1884）
徐寿与英国人傅兰雅合译 的《化学鉴原续编》
第19课
清朝晚期的文化（一）
——自然科学技术的成就
自然科学技术的成就
科学家 科 技 成 就
王锡阐
吴其浚
清代著名天文学家，著有《晓庵新法》一书。
植物学家，编写《植物名实图考》一书。
李善兰 数学家、翻译家，《方圆阐幽》阐发了微积分初步概念。 徐 寿
化学家、翻译家，翻译出版《化学鉴原》等著作。
华衡芳 与徐寿合作制成中国第一台蒸汽机和木壳轮船“黄鹄号”
徐寿、徐建寅父子和华蘅芳在 江南制造詹天佑 （1861-1919）及 自述简历
京张铁路青龙桥一段“人”字型铁路
冯如是中国第一 位飞机设计师、 制造家和飞行家。 1910年在国际飞 行大会上，冯如 驾驶自制的飞机 创当时世界纪录。
李善兰简介
李善兰简介
李善兰
(1810～1882) 清代家。
字壬叔，号秋纫。
浙江海宁人。
自幼喜好数学，后以诸生应试杭州，得元代著名数学家李冶撰。
《测圆海镜》，据以钻研，造诣日深。
道光间，曾向经学家陈奂问学，拟著《群经数学》未成，后陆续撰成《四元解》、《麟德术解》、《弧矢启秘》、《万圆阐幽》及《对数探源》等，声名大起。
咸丰初，旅居上海，与英人伟烈亚力合译《几何原本》后九卷，完成明末徐光启、利玛窦未竟之业。
又与伟烈亚力、艾约瑟等合译《代微积拾级》、《重学》、《谈天》等多种西方数学及自然书籍。
咸同之际，先后入江苏巡抚徐有壬、两江总督幕，以精于数学，深得倚重。
同治七年(1868)，经巡抚郭嵩焘举荐，入京任同文馆算学息教习，历授户部郎中、总理衙门章京等职，加官三品衔，迄于逝世。
李善兰以《测圆海镜》为基本教材，培养人才甚多。
他学通古今，融中西数学于一堂。
著有《则古昔斋算学》十三种二十四卷，其中对尖锥求积术的探讨，已初具积分思想，于三角函数与对数的幂级数展开式、高阶等差级数求和等题解的研究，皆卓然有得，达到中国传统数学的很高水平。
继梅文鼎之后，成为清代数学史上的又一杰出代表。
他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。
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近代科学家李善兰李善兰（1811—1882），原名心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔①。
浙江海宁县人。
中国微积分学的先驱，近代科学的先行者。
①《张季子九录·诗录》。
第一节雅志说算术，心志穷专一浙江省海宁县，位于钱塘江口，杭州湾北岸。
这里气候温和，土地肥沃，雨量充沛，物产丰富，是一个山清水秀的鱼米之乡。
县境内东北部的硖石镇，沿河两岸有审山、紫微山之胜，俗呼东山、西山，灵秀所钟，代有传人。
山下有一李姓读书世家，溯其先祖，乃南宋末年京都汴梁（今河南开封）人李伯翼，他一生读书谈道，不乐仕进。
元初，因其子李衎举贤良方正，授朝请大夫嘉兴路总管府同知，迎养来浙，旋即定居硖石。
五百年来，传至十七世孙，名曰李祖烈，号虚谷先生，乃经学名儒。
李祖烈初娶望海县知县许季溪的孙女为妻，不幸许氏早逝；继娶妻妹填房，又病故。
后续弦崔氏，系名儒崔景远之女，知书达理，性情贤淑。
婚后二人感情甚笃，相敬如宾。
1811 年1 月2 日凌晨子时，崔氏生下一子。
斯时，李祖烈已年逾40，中年得子，欣喜若狂。
他捋着唇边不多的几根胡须，一眼瞥见案头平素最心爱的一盆兰花，正早早地开出了几朵淡红色的花星星儿，竞吐芬芳，于是给刚刚呱呱下地的胖儿子取名叫心兰，字竟芳。
这个孩子，就是日后成为我国近代科学先驱者的李善兰。
心兰自幼就读于私塾，改取庠名善兰。
他资禀颖异，勤奋好学，于所读之诗书，过目即能成诵。
9 岁那年，有一天他从父亲的书架上取下来一本古书，一看封面，“九章算术”四个大字赫然映入眼帘。
他平时接触的都是四书五经，还从来没有见过数学书呢。
打开书本一看，没有“子曰”，没有“之乎者也”，却有什么“方田”、“粟米”、“方程”、“勾股”之类的词儿，令他感到十分新奇有趣。
从此他便迷上了数学。
到他14 岁的时候，又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前6 卷。
这是明末徐光启（1562—1633）和利玛窦（M.Ricci，1552—1610）合作翻译的古希腊数学名著。
书中欧氏几何学严密的逻辑体系、清晰的演绎推理，与偏重实用解法和计算技巧的中国古代传统数学异其旨趣，自有它的特色与长处。
李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新鲜血液和养料，这使它的数学造诣日趋精深。
又过了几年，作为州县的生员，李善兰到省城杭州参加乡试，结果因做不好八股文章，未曾中举。
虽落第而归，但却在杭州的书坊摊头买到了金元数学家李冶关于“天元术”的名著《测圆海镜》以及清初学者戴震的《勾股割圆记》，带回家来，仔细研读，数学水平有了更大的提高。
海盐人吴兆圻《读畴人书有感示李壬叔》诗中说：“众流汇一壑，雅志说算术。
中西有派别，圆径穷密率。
”“三统探汉法，余者难具悉。
余方好兹学，心志穷专一。
”①李善兰很重视从实践中学习数学和天文知识，他的经学老师陈奂说他“熟习九数之术，常立表线，用长短式依节候以测日景，便于稽考”①。
①《海宁州志稿》、《清史稿》、《畴人传》及其后诸书均误作“李善兰，字壬叔，号秋纫”，今据原始资料《苞溪李氏家乘》（祠堂藏版，1890）卷六改。
①《硖川诗续钞》卷五。
有一次，李善兰与学友们同游东山。
有人问他东山有多高？他立即从地上拾起一根草芥，平伸手臂，眯着眼睛，沿着草芥顶端对准东山一瞄，随即脱口而出：“二十六丈！”同行者无不惊讶。
原来他是用相似勾股形对应边成比例的原理目测心算算出了东山的高度。
李善兰结婚那天的晚上，要拜堂了，却不见了新郎，大家都很着急。
他的二弟心梅和小弟心葵却心中有数，他们跑上二楼的阁楼上一看，大哥正猫着身子，探头于窗外，聚精会神地看着天上的星星呢！原来李善兰为了研究数学和天文历法，平时经常独自上东山，观测象纬■次。
当晚，他来不及上山去了，只好跑到阁楼的窗台上进行每天例行的天象观测。
第二节朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉1840 年，李善兰29 岁的时候，鸦片战争爆发了。
帝国主义侵略者用鸦片和大炮轰开了中国的大门。
从此，中国由一个独立的封建帝国，一步一步地沦为半封建半殖民地的国家。
1842 年5 月，英军攻陷江浙海防重镇乍浦。
乍浦离李善兰的家乡硖石只有几十里的路程。
他耳闻目睹了侵略者烧杀淫掠的血腥罪行，满怀悲愤，奋笔疾书《乍浦行》一诗：“壬寅四月夷船来，海塘不守城门开。
官兵畏死作鼠窜，百姓号哭声如雷。
夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。
..饱惊十日扬帆去，满城尸骨如山堆。
朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？”②鲜明地表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，对清政府临敌不战的强烈谴责，以及他对敌主战的坚决态度。
人民群众不堪忍受侵略者的凌辱。
当时有一个名叫刘七姑的女子，在敌人的淫威面前，宁死不屈，投井自尽。
李善兰写了一首民歌体裁的《刘烈女》诗①：夷船海上来，将军不敢守。
炮声一震魂魄丧，骑马掩耳出城走。
呜呼！将军性命重如此，烈女乃于井中死。
用通俗明白的语言对比描绘“将军”和“烈女”的形象，褒贬爱憎的感情色彩何其鲜明！李善兰还在《汉奸谣》②一诗中痛斥那些“割民首级争献功”的民族败类，对于“街头义勇捉汉奸”、“为尔良民一雪仇”的举动则表示欢欣鼓舞，拍手称快！鸦片战争血淋淋的事实，激发了李善兰忧国忧民和科学救国的进步思想。
他说：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。
推原其故，制器精也；推原其制器之精，算学明也。
”③为了国家的强盛，他希望“异日人人习算，制器日精，以威海外各国”④。
从此，他自己便身体力行，在家乡刻苦从事数学研究工作。
②陈奂：《师友渊源记》。
①李善兰：《听雪轩诗存》，汲修斋校本，北京图书馆藏。
②李善兰：《听雪轩诗存》，汲修斋校本，北京图书馆藏。
③李善兰：《听雪轩诗存》，汲修斋校本，北京图书馆藏。
④李善兰：《重学》序，1866 年。
第三节步算中西独绝伦，小李将军算法奇1845 年前后，李善兰在嘉兴陆费家设馆授徒，得以与江浙一带的学者（主要是数学家）顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。
此间，李善兰有关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。
李善兰的尖锥术，可以说是具有中国传统数学特色的解析几何和微积分。
由于清政府长期奉行闭关自守政策，包括微积分学在内的西方近代科学一直未能传入中国。
当时的中国数学界，除了见到零星几个由传教士带进来的三角函数无穷级数表达式和对数计算方法之外，其余则一概不知。
就是这些公式和方法，也只有结论，没有推导的过程和计算的原理。
在这种情况下，李善兰异军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，在中国传统数学中垛积术和无穷小极限方法的基础上，发明尖锥术，不仅创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式，而且还具备了解析几何思想和一些重要定积分公式的雏型。
这是非常了不起的成就。
首先，李善兰所创立的尖锥概念，是一种处理代数问题的几何模型。
它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所组成，并且在考虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向上的底和高，这样的底和高具有平面直角坐标系中纵、横两个坐标的作用。
其次，这种尖锥是由乘方数渐增渐迭而得，尖锥曲线是由随同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。
由于李善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，实际上他给出了直线（长方、平尖锥）、抛物线（立尖锥）、立方抛物线（二乘尖锥）..的方程。
他的对数合尖锥还相当于给出了等轴双曲线的方程。
再次，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式和逐项积分的运算法则。
同时，李善兰用这种积分的方法，配合还原（级数回求）、商除等代数运算方法，卓有成效地展开了许多超越函数的研究，这也是属于微积分学早期阶段的工作。
特别值得一提的是李善兰的对数论，它建立在尖锥术的基础上，独具特色，受到了中外学者的一致赞誉。
伟烈亚力（A.Wylie，1815—1887）说：“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，达到了如同圣文森特的J.格雷戈里（Gregory，1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。
”“倘若李善兰生于J.纳皮尔（Napier，1550—1617）、H.布里格斯（Briggs，1556—1631）之时，则只此一端即可名闻于世。
”⑤顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法简捷、高明，认为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰“中土李（善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，大声疾呼“以告中土之受欺而不悟者”①。
⑤李善兰：《重学》序，1866 年。
① A.Wylie，Chinese Researches，Shanghai，1897。
在李善兰尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根长叶、开花结果的。
从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方式走上近代数学的道路。
只是几年以后，到了1852 年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分介绍进中国的翻译工作。
从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学的发展洪流之中。
清初有两位天算大师王锡阐（字寅旭，号晓庵，1628—1682）、梅文鼎（字定九，号勿庵，1633—1721），当时号称“二庵”。
蒋学坚说：“李先生算学为中外所共仰，国初王晓庵、梅勿庵二先生后，当首屈一指。
”②又有诗称李善兰“步算中西独绝伦”、“王梅而后此传人”，“二庵之后更推谁，小李将军算法奇”①。
②顾观光：《■賸余稿》卷下，《武陵山人遗书》，1883 年。
①蒋学坚：《李壬叔先生〈则古昔斋遗诗〉跋》，《怀亭文录》。
第四节朝译几何，暮译重学1852 年夏天，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给主持书馆的英国传教士W.H.麦都思（Medhurst，1796—1857）展阅，其时住于墨海书馆的伟烈亚力见之甚悦，出了几道数学难题请教李善兰，李善兰一一作了正确的解答。
于是伟烈亚力便请他留在上海合作翻译西方数学书籍。
李善兰和伟烈亚力合作翻译的数学书有《几何原本》后9 卷、《代数学》13 卷和《代微积拾级》18 卷等。
据伟烈亚力说，古希腊欧几里得《几何原本》的英文版本“校勘未精，语讹字误，毫厘千里，所失匪轻”，而“（李善兰）君固精于算学，于几何之术，心领神悟，能言其故。
于是相与翻译，余口之，君笔之。
删芜正讹，反复详审，使其无有疵病，则李君之力居多。
余得以借手告成而已”②。
看来，这并非谦虚之词。
因为翻译的过程是伟烈亚力口述，李善兰笔录。
这种笔录，是对口述的再翻译，整理、加工、乃至创造的比重是很大的。
李善兰自己也说：“当笔受时，辄以意匡补”，如此“屡作屡辍，凡四历寒暑，始卒业”，“伟烈亚力君言，异日西士欲求是书善本，当反访诸中国矣”①。
该书于1856年译毕，1857 年出版发行。
英国数学家A.棣么甘（De Morgan，1806—1871）的《代数学》（1835）内容包括代数方程、方程组、指数函数、对数函数及其幂级数展开式等。