实变函数论文

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实变函数

【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n 维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue 测度和积分的理论，而Lebesgue 外测度是Lebesgue 积分的基础，本文主要论述了Lebesgue 外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。

【关键词】Lebesgue 外测度，测度，可测集，可测函数

1.引言

在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann 积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel 建立了一维Borel 点集的测度，法国数学家Lebesgue 在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue 积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般σ代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory 关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann 积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann 可积函数类之外，Lebesgue 积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设)(x f 在],[b a 上有界，满足M x f m <<)(，任给0>δ，作分割

M y y y m n =<<<= 10

其中，δ<--1i i y y ，并作点集

.,2,1},)(:{1n i b x a y x f y x E i i i =≤≤<≤=-

则对应于上面分割的积分和为||11∑=-n i i i E y

,其中||i E 为点集i E 的长度，这种积分的优点在

于可以取δ很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann 可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类。积分和计算的关键是点集i E 的度量，对于通常的区间i E 的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到

在n

R 中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue 外测度与测度理论。Lebesgue 外测度是对n R 中一般的点集E 给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue 积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue 外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。 2.Lebesgue 外测度

2.1 Lebesgue 外测度定义

Def 1：设n R E ?。若}{k I 是n

R 中的可数个开矩体，具有k k I E 1≥? ，则称}{k I 为E 的一个L —覆盖，我们称}}{|:|inf{

1*覆盖—的为L E I I m k k k ∑≥=为点集E 的Lebesgue 外测

度。 2.2 R n 中点集的外测度性质

（1）非负性：0,0**=?≥）（m E m

（2）单调性：若21E E ?，则)()(2*1*E m E m ≤

（3）次可加性：∑∞

=∞=≤1*1*

)()(k k k k E m E m 证明： 0>?ε，k E ?的L —覆盖}{k I ，使得

l k l k I E ,1∞=? ，k k l l k E m I 2)(||*1

,ε+<∑∞=

∴l k k k k I E ,11∞=∞=? ，∑∑∞=∞=+≤1

*1,,)(||k k l k l k E m I ε 显然，},2,1,:{, =l k I l k 是k k E ∞=1 的L —覆盖，从而有ε+≤∑∞

=∞=1*1*)()(k k

k k E m E m 。由ε的任意性可知结论成立。

（4）距离可加性：设1E ，2E 是n R 中的点集，若它们的距离0)(21>E E d

)()()(2*1*21*E m E m E E m +=

证明： )()()(2*1*21*E m E m E E m +≤ 显然成立

∴只要证明)()()(2*1*21*E m E m E E m +≥ 即可。

设∞<)(21*E E m ，对0>?ε，作21E E 的

L —覆盖}{k I ，使得ε+<∑∞=)(||21*1

E E m I k k ，其中k I 的边长都小于

n E E d )(21，现将}{k I 分为如下两组： （ⅰ）ik k i i J E J J 1121,,≥? （ⅱ）lk k l l J E J J 1221,,≥?

且其中任一矩体皆不同时含有1E 与2E 中的点∴

)()(||||||)(2*1*11121*

E m E m J J I E E m k lk k ik k k +≥+=>+∑∑∑∞

=∞=∞=ε ∴由ε任意性可知)()()(21*2*1*E E m E m E m ≤+

综上知)()()(2*

1*21*E m E m E E m +=

（5）平移不变性：设n R E ?，n R x ∈0，令},{}{00E x x x x E ∈+=+，则 )(}){(*0*E m x E m =+

证明： E 的任一L —覆盖}{k I 经过0x 的平移后，}}{{0x I k +仍是}{0x E +的L —覆盖 ∴)(|||}{|}){(**1100E m I x I x E m k k k k ==+≤+∑∑∞

=∞=，即)(}){(**0E m x E m ≤+

同理若对}{0x E +作向量0x -平移，

则有}){(}){}{(0*00*x E m x x E m +≤-+，即}){()(0*

*x E m E m +≤

综上知)(}){(*0*E m x E m =+ 3.可测集与测度

3.1 可测集与测度定义

Def 2：设n R E ?，若对任意的点集n

R T ?，有)()()(***c E T m E T m T m +=，则称E 为Lebesgue 可测集，简称可测集，其中T 称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为U 。对于可测集E ，其外测度称为测度记为)(E m ，也就是通常所说的n R 上的Lebesgue 测度。

证明：对0>?ε，T ?的L —覆盖}{k I ，使得∑∞=≥+1*||)(k k I

T m ε

ε+≤==+=+≤+=+≤+≤=∴∑∑∑∑∑∞

=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=)(||)())()(()()())

(())(())(())(()

()())()(()(1*1*

*1*1*1

*1*1*1*1

*****T m I I m E I m E I m E I m E I m E I m E I m E I m E I m E T m E T m E T E T m T m k k k k c

k k k k c k k k c k k k k c k k k k c c

∴由ε任意性知：)()()(***c E T m E T m T m +=

（注意：一般为了证明n R 中任一点集E 是可测集，则只需对任意一点集n R T ?，证明)()()(***c E T m E T m T m +≥成立即可，有时也可利用0)(*=E m ，则U ∈E ）

3.2 可测集的性质

（1）U ∈?；

（2）若U ∈E ，则U ∈c

E ；

（3）若U ∈21,E E ，则U ∈-212121,,E E E E E E 。

（4）若),2,1( =∈i E i U ，则其并集也属于U ；若进一步有)(j i E E j i ≠?= ，则

∑∞=∞==11)()(i i i i E m E m ，即*m 在U 上满足可数可加性（或称为σ-可加性）

。 4.可测函数

4.1可测函数定义

Def 3：设)(x f 是定义在可测集n

R E ?上的广义实值函数，若对于任意的实数t ，点集})(:{t x f E x >∈是可测集，则称)(x f 是E 上的可测函数，或称)(x f 在E 上可测。

4.2可测函数运算性质

（1）若)(x f ，)(x g 是E 上的实值可测函数，则下列函数

①()1)(R c x cf ∈; ②)()(x g x f +; ③)()(x g x f ?都是E 上可测函数

证：①对于1R t ∈?

若0>c ，则由})(:{})(:{c

t x f x t x cf x >=>，可知。)(x cf 在E 上可测。

若0

=>，由)(x f 在E 上可测知})(:{c

t x f x <可测，即)(x cf 在E 上可测。 若0=c ，则0)(=x cf ，即)(x cf 在E 上可测。

②对于1R t ∈?，})(:{})(:({})()(:{1

i i i r t x g x r x f x t x g x f x ->>=>+∞= ，其中}{i

r 是全体有理数，从而可知)()(x g x f +是E 上的可测函数。

③首先，)(2x f 在E 上可测，对于1R t ∈?，

???>-<><=>;0})(:{})(:{;0})(:{2t t x f x t x f x t E t x f x

4

)]()([)]()([)()(2

2x g x f x g x f x g x f --+=∴，其中由上②知)()(x g x f +在E 上可测。 即)()(x g x f ?在E 上可测。

（2）若)}({x f k 是E 上的可测函数列，则下列函数

①)}({sup 1x f k k ≥; ②)}({inf 1x f k k ≥; ③)(lim x f k k ∞→; ④)(lim x f k k ∞

→都是E 上可测函数

（3）若)}({x f k 是E 上的可测函数列，且有)()(lim x f x f k k =∞

→，则)(x f 是E 上的可测函数。 5.Lebesgue 积分

5.1 Lebesgue 积分的定义

Def 4：设)(x f 是()+∞

贝格积分

??≤=E E

n x f x h R x h dx x h dx x f })(,)({sup )()()(上的非负可测简单函数是 这里的积分可以是∞+，若?∞

dx x f )(，则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。设)(x f 是

n R E ?上的可测函数，若积分?+E dx x f )(，?-E dx x f )(至少有一个是有极限值，则称

???-++=E

E E dx x f dx x f x d x f )()()()(为)(x f E 上可积函数的全体记作)(1E L 。 5.2 Lebesgue 积分与Riemann 积分的关系

Th1：设)(x f 是定义在有界闭区间[a,b ]上的有界函数，则)(x f 在[a,b ]上是Riemann 可积的充要条件是)(x f 在[a,b ]上的不连续点集是零测集。

Th2：若)(x f 在有界闭区间[a,b ]上是Riemann 可积的，则)(x f 在[a,b ]上也是Lebesgue 可积的，其积分值相同。

6.小结

Lebesgue 外测度是对n

R 中一般的点集E 给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue 积分的基石，它成功的解决了Riemann 积分只适用于连续函数的的最大缺限，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先，给出了Lebesgue 外测度的定义；接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；然后给出了测度的定义与性质；最后延伸介绍了可测数函数与Lebesgue 积分。 7.参考文献

[1] 胡适耕.实变函数(第二版）[M].北京:高等教育出版社，2014.

[2] 周民强.实变函数论（第二版）[M].北京:北京大学出版社，2008.

[3] 周民强.实变函数解题指南 [M].北京:北京大学出版社，2007.