结构力学(第二章)
1）组装几何不变体系 （1）从基础出发进行组装 把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础和其它构 件组装成一个不变体系。 例2-4： 搭上了5个
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
§2-2 几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式 规律3：三个刚片用三个铰 两两相连，且三个铰不在一 条直线上，则组成几何不变 体系，并且无多余约束。
把规律2中的另1根 链杆也用刚片代替。
以上三条规律实际上可以归纳为一个基本 规律：三角形规律。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
第二章
§2-3
α
平面体系的机动分析
α
瞬变体系
C NCA NCB
例：接近瞬变体系结构的受力分析 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
P
若α 很小，NCA就很大。
因此瞬变体系一般是不能作为结构使用的。
第二章
§2-3
例 1： 5
3 02
平面体系的机动分析
结构力学
淮阴工学院建工学院
第二章
平面体系的机动分析
背景
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。结构是
用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。
几何不变体系
在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形，几何形状和位置均 保持不变的体系
几何可变体系
在任意载荷作用下，即使不考虑材料的变形，几何形状或位置发生改 变的体系
一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束， 因此一个单铰可以用两根链杆来代替，有：
O
虚铰
规律4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连， 则组成几何不变体系，并且无多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体系，
也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行了，也不交于一 点，故体系就变成了不可变系。这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变 体系。
第二章
平面体系的机动分析
§2-3 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况
（1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结（如前 页图所示）。如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
体系是瞬变的。
第二章
§2-3
例：
A a
平面体系的机动分析
瞬变体系
o
C B
2）瞬变体系一般不可作为结构使用
P
X 0
M M
A C
RA RC
0 RB L RC h P a 0 RB L RA h P b
L
b L
由第二式与第三式得：RA RC 与第一式矛盾， 因此无解。这是因为瞬变体系在图示状态是可 变的，因此不能运用平衡原理。
第二章
平面体系的机动分析
Q1:计算自由度与几何稳定的关系？ W>0? 几何可变 W=0? 不定 How to do, next? W<0? 不定 Q2:为什么会出现这样的结局？ 多余约束
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
Ⅰ
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
例2-14:
1 Ⅰ
3
Ⅱ
2
第二章
§2-4
例2-15： 二元体
平面体系的机动分析
结论： 两刚片由3根不交于一点的 链杆连接，因此该体系是 无多余约束的几何不变体 系。 3 O2
例析
Ⅰ Ⅱ 1
1
2
例2-16： O
Ⅰ
O3
Ⅱ
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。 Ⅲ
没有多余约束的几何不变体系
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
2）分析已组成的体系 例2-9：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2-10：
1 2
二元体 结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
第二章
例2-11： o
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
瞬铰
则组成的是可变体系。‘O’称为： 实铰。
O
实铰
第二章
§2-3
平面体系的机动分析
瞬变体系
（3）三刚片用三个在一条直线上的铰两两联结。
在中间铰处两刚片有共同的运动趋势，因此
它们可沿公共切线作微小的运动，但一旦运动以 后，三个铰就不再共线，体系变成了不可变体系。
第二章
§2-3
平面体系的机动分析
瞬变体系
例2-6：
1
刚片1
没有多余约束的 几何不变体系 2 3
刚片2
地基作为刚片3
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
（2）从上部体系出发进行组装 先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不变体系， 然后运用规律4把它与基础相连。 例2-7： 刚片1 3 1 2 刚片2 例2-8：
刚片3
03 6 结论： 铰O1、O2的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。
瞬变体系
4
4
例2:
两组 平行
2
3 1
一组 平行
5
6
结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
第二章
§2-4
例2-13：
平面体系的机动分析
3
例析
1
Ⅱ 2 结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆 两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系 也是瞬变的。若两虚 铰的连线与组成无穷远铰的链杆不平行，体 系是不变的。
第二章
§2-3
平面体系的机动分析
瞬变体系
③ 三对链杆都平行
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆联结。
第二章
平面体系的机动分析
O
§2-3 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就会发生
绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动 发生以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可 变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’，
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y
X
第二章
（1）链杆
平面体系的机动分析
约束装置的类型有：
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
第二章
（2）单铰
平面体系的机动分析
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
（3）复铰 复铰——连接两个以上刚片的铰。
机动分析（几何构造分析）
判别结构或其计算简图是否几何不变
第二章
平面体系的机动分析
如何分析一个体系是结构还是机构？
1、几何不变意味着什么？
运动被限制或制约、约束
2、从运动被约束的角度看几何不变 没有运动的自由
平面体系的计算自由度
1、自由度： 体系运动时所具有的独立运动方式数目
2、约束（联系）
限制物体运动的装置。常用的有链杆和较
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
利用规律1，可以组成所需的不变体系：
刚片1 二元体
2）两个刚片之间的联结方式 规律2：两个刚片用一个铰和
刚片
把规律1中的1根链杆用刚片代替。
一根链杆相联结，且三个铰不 在一条直线上，则组成几何不 变体系，并且无多余约束。
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
§2-2 几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式 规律3：三个刚片用三个铰 两两相连，且三个铰不在一 条直线上，则组成几何不变 体系，并且无多余约束。
把规律2中的另1根 链杆也用刚片代替。
以上三条规律实际上可以归纳为一个基本 规律：三角形规律。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
第二章
§2-3
α
平面体系的机动分析
α
瞬变体系
C NCA NCB
例：接近瞬变体系结构的受力分析 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
P
若α 很小，NCA就很大。
因此瞬变体系一般是不能作为结构使用的。
第二章
§2-3
例 1： 5
3 02
平面体系的机动分析
结构力学
淮阴工学院建工学院
第二章
平面体系的机动分析
背景
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。结构是
用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。
几何不变体系
在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形，几何形状和位置均 保持不变的体系
几何可变体系
在任意载荷作用下，即使不考虑材料的变形，几何形状或位置发生改 变的体系
一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束， 因此一个单铰可以用两根链杆来代替，有：
O
虚铰
规律4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连， 则组成几何不变体系，并且无多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体系，
也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行了，也不交于一 点，故体系就变成了不可变系。这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变 体系。
第二章
平面体系的机动分析
§2-3 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况
（1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结（如前 页图所示）。如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
体系是瞬变的。
第二章
§2-3
例：
A a
平面体系的机动分析
瞬变体系
o
C B
2）瞬变体系一般不可作为结构使用
P
X 0
M M
A C
RA RC
0 RB L RC h P a 0 RB L RA h P b
L
b L
由第二式与第三式得：RA RC 与第一式矛盾， 因此无解。这是因为瞬变体系在图示状态是可 变的，因此不能运用平衡原理。
第二章
平面体系的机动分析
Q1:计算自由度与几何稳定的关系？ W>0? 几何可变 W=0? 不定 How to do, next? W<0? 不定 Q2:为什么会出现这样的结局？ 多余约束
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
Ⅰ
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
例2-14:
1 Ⅰ
3
Ⅱ
2
第二章
§2-4
例2-15： 二元体
平面体系的机动分析
结论： 两刚片由3根不交于一点的 链杆连接，因此该体系是 无多余约束的几何不变体 系。 3 O2
例析
Ⅰ Ⅱ 1
1
2
例2-16： O
Ⅰ
O3
Ⅱ
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。 Ⅲ
没有多余约束的几何不变体系
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
2）分析已组成的体系 例2-9：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2-10：
1 2
二元体 结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
第二章
例2-11： o
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
瞬铰
则组成的是可变体系。‘O’称为： 实铰。
O
实铰
第二章
§2-3
平面体系的机动分析
瞬变体系
（3）三刚片用三个在一条直线上的铰两两联结。
在中间铰处两刚片有共同的运动趋势，因此
它们可沿公共切线作微小的运动，但一旦运动以 后，三个铰就不再共线，体系变成了不可变体系。
第二章
§2-3
平面体系的机动分析
瞬变体系
例2-6：
1
刚片1
没有多余约束的 几何不变体系 2 3
刚片2
地基作为刚片3
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
（2）从上部体系出发进行组装 先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不变体系， 然后运用规律4把它与基础相连。 例2-7： 刚片1 3 1 2 刚片2 例2-8：
刚片3
03 6 结论： 铰O1、O2的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。
瞬变体系
4
4
例2:
两组 平行
2
3 1
一组 平行
5
6
结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
第二章
§2-4
例2-13：
平面体系的机动分析
3
例析
1
Ⅱ 2 结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆 两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系 也是瞬变的。若两虚 铰的连线与组成无穷远铰的链杆不平行，体 系是不变的。
第二章
§2-3
平面体系的机动分析
瞬变体系
③ 三对链杆都平行
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆联结。
第二章
平面体系的机动分析
O
§2-3 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就会发生
绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动 发生以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可 变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’，
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y
X
第二章
（1）链杆
平面体系的机动分析
约束装置的类型有：
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
第二章
（2）单铰
平面体系的机动分析
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
（3）复铰 复铰——连接两个以上刚片的铰。
机动分析（几何构造分析）
判别结构或其计算简图是否几何不变
第二章
平面体系的机动分析
如何分析一个体系是结构还是机构？
1、几何不变意味着什么？
运动被限制或制约、约束
2、从运动被约束的角度看几何不变 没有运动的自由
平面体系的计算自由度
1、自由度： 体系运动时所具有的独立运动方式数目
2、约束（联系）
限制物体运动的装置。常用的有链杆和较
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
利用规律1，可以组成所需的不变体系：
刚片1 二元体
2）两个刚片之间的联结方式 规律2：两个刚片用一个铰和
刚片
把规律1中的1根链杆用刚片代替。
一根链杆相联结，且三个铰不 在一条直线上，则组成几何不 变体系，并且无多余约束。
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《结构力学第2章》课件
《结构力学第2章》PPT 课件
结构力学是研究物体在外力作用下产生的应力和应变的学科。在建筑设计和 工程中，弹性力学有着广泛应用，本课件将带您深入了解弹性力学的基本理 论和应用。
弹性力学的基本概念
线弹性力学和平面弹性力学
介绍弹性力学研究的两个主要领域，涵盖了结 构力学的基础知识。
应力和应变的概念
引入应力和应变的概念，介绍了它们在弹性力 学中的重要性和计算方法。
应变-应力关系
介绍了弹性体中应变和应力之间的基本方 程，揭示了它们之间的关联。
平面弹性力学的基本理论
平面应力和平面应变 的基本方程
解释了平面弹性力学中应力和 应变的基本方程，为进一步的 研究提供基础。
平面问题的求解方法
介绍了平面问题的求解方法， 如解析法和数值计算方法，为 工程实践提供指导。
平面问题的应用
总结了弹性力学的核心概念和研究领域，强调 了它在物体力学研究中的重要性。
弹性力学在建筑设计和工程中有着广 泛应用
强调了弹性力学在建筑设计和工程实践中的重 要性，以及其对结构稳定性和变形控制的影响。
探讨了平面弹性力学在工程中 的应用，如桥梁设计和建筑物 承重分析。
建筑物中的弹性力学问题
弹性力学在建筑设计中的应用
探索了弹性力学在建筑物设计中的重要性，如结构 稳定性和变形控制。
建筑物的弹性问题和偏心受力
分析了建筑物中的弹性问题，以及由偏心受力引起 的应力分布和变形。
结论
弹性力学是研究物体在外力作用下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 生的应力和应变的学科
弹性行为的特征
深入探讨物体在受力作用下的弹性变形，解释 了弹性体的特点和规律。
本构关系的定义和表示
讲解了本构关系的概念，以及在弹性力学中如 何表示不同物体的本构关系。
结构力学是研究物体在外力作用下产生的应力和应变的学科。在建筑设计和 工程中，弹性力学有着广泛应用，本课件将带您深入了解弹性力学的基本理 论和应用。
弹性力学的基本概念
线弹性力学和平面弹性力学
介绍弹性力学研究的两个主要领域，涵盖了结 构力学的基础知识。
应力和应变的概念
引入应力和应变的概念，介绍了它们在弹性力 学中的重要性和计算方法。
应变-应力关系
介绍了弹性体中应变和应力之间的基本方 程，揭示了它们之间的关联。
平面弹性力学的基本理论
平面应力和平面应变 的基本方程
解释了平面弹性力学中应力和 应变的基本方程，为进一步的 研究提供基础。
平面问题的求解方法
介绍了平面问题的求解方法， 如解析法和数值计算方法，为 工程实践提供指导。
平面问题的应用
总结了弹性力学的核心概念和研究领域，强调 了它在物体力学研究中的重要性。
弹性力学在建筑设计和工程中有着广 泛应用
强调了弹性力学在建筑设计和工程实践中的重 要性，以及其对结构稳定性和变形控制的影响。
探讨了平面弹性力学在工程中 的应用，如桥梁设计和建筑物 承重分析。
建筑物中的弹性力学问题
弹性力学在建筑设计中的应用
探索了弹性力学在建筑物设计中的重要性，如结构 稳定性和变形控制。
建筑物的弹性问题和偏心受力
分析了建筑物中的弹性问题，以及由偏心受力引起 的应力分布和变形。
结论
弹性力学是研究物体在外力作用下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 生的应力和应变的学科
弹性行为的特征
深入探讨物体在受力作用下的弹性变形，解释 了弹性体的特点和规律。
本构关系的定义和表示
讲解了本构关系的概念，以及在弹性力学中如 何表示不同物体的本构关系。
结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
返回
§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
返回
例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
返回
例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
结构力学第2章 结构的几何构造分析
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；
经微小位移后又成为几何不变体系；
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移
可变体系
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I
可发生以O为中心的微小转动， O点
称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片I与基础相
连接， 则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起的作用。
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束 例 2-4 试计算图示体系的W。 方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0 方法二： j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10
第2章
§2-1 §2-2
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学电子版很直观
MCB=MCA
结点处若无外力偶，则该结点处两杆端弯矩等值， 并画在同一侧（内侧或外侧）
静定构造弯矩图练习2
q
C
B
L
qL2/2
qL2/2 qL2/8
A
L
XA YA MA
XA=0
M图
MB=0
MCB=MCA=-qL2/2
MA=qL2/2
静定构造弯矩图练习3
3F
C
B D
L
F
A
L
L
FL FL
3FL/2
M图
q
qL
B
C
L
RB
A
XA YA L
D
L
XA=-qL YA=qL/2 RB= 3qL/2
qL/2 N图
NBC= 0 NCA= -YA = -qL/2
静定构造内力图练习1 （M图） qL2/2
q
qL2/8
C
B
qL2/2
qL2/8
L
XAA
L
YA MA
∑X= XA =0 ∑Y= YA– qL=0, mA(F)=qL·L/2 – mA =0
三刚片规则练习2
D
B
A
C
三刚片AD、DC、基础 由铰A、D和B、 C处两链杆（虚铰）两两相连且不共线
为无多出约束旳几何不变体系
三刚片规则练习3
BC
D
A
E
三刚片AC、CE、基础 由铰A、C和D、 E处两链杆（虚铰）两两相连 B处链杆为一多出约束
为有一种多出约束旳几何不变体系
二. 两刚片规则
两个刚片用一种铰和一根不经过该铰旳链杆相连， 为无多出约束旳几何不变体系
F
F
结构力学-几何组成分析
复铰 等于多少个 单铰？
1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
体系的计算自由度：
结 构 力 学 第 二 章
bicea
计算自由度等于刚片总自由度数 减总联系数
W = 3m-(2h+b) m---刚片数（不包括地基） h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
结 构 力 学 第 二 章
bicea
结 构 力 学 第 二 章
bicea
除去联系后，体系的自由度并不 改变，这类联系称为多余联系。
图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的联系。 下部正方形中任意 一根杆，除去都不增 加自由度，都可看作 多余的联系。
结 构 力 学 第 二 章
bicea
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
W=0,但 布置不当 几何可变。 上部有多 余联系， 下部缺少 联系。
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
结 构 力 学 第 二 章
bicea
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
23
Ⅲ
Ⅰ
O13
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
结 构 力 学 第 二 章
bicea
F
G
E
D
找刚片 无多几何不变
结 构 力 学 第 二 章
bicea
F
G E
D
如何变静定？ 唯一吗？
C
结 构 力 学 第 二 章
bicea
结 构 力 学 第 二 章
bicea
可选小论文题之一 “体系组成分析的计 算机方法” 做这一小论文的 找我要参考资料
结 构 力 学 第 二 章
bicea
可选小论文题之一 “论三刚片六杆 连接体系的可变性” 或 “体系组成分析的计 算机方法”
结构力学第二章
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
结构力学二(第二章)
A a
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
郑州大学土木工程学院
5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
郑州大学土木工程学院
2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
郑州大学土木工程学院
8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
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5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
郑州大学土木工程学院
2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
郑州大学土木工程学院
8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系