12《完全平方公式》第二课时课件

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完全平方公式第二课时课件2021—2022学年北师大版七年级数学下册

复习巩固你能根据图1和图2中的面积解释平方差公式吗?
S2
S1
由图可得：S2=a2－b2 S1=(a+b)(a－b) ∵S1=S2 ∴ (a+b)(a－b)=a2－b2
想一想: 你能根据图1大正方形的面积解释完全平方公式吗?
b
∵S大正方形=（a+b）2
a
ab 图1
S大正方形=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
∴a2+2ab+b2=（a+b）2
想一想: 你能根据图2蓝色小正方形的面积解释完全平方公式吗?
b
a
a
ab 图2
∵S小正方形=（a－b）2 S大正方形=a2－ab－b（a－b） =a2－2ab+b2 ∴a2－2ab+b2=（a－b）2
简单应用：
例2 利用完全平方公式计算
(1) 1022 ;
巩固练习：
式的项数及各项系数的有关规律如下，
后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）3第三项的系数3=1+2
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）4第三项的系数6=1+2+3
则x2 y2 公 _式__变__形__的_。应用三
（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16, 则xy ________。

《完全平方公式》第二课时参考课件北师版七年级下册

$(5x - 7)^2$
进阶练习
进阶练习1：利用完全平方公式因式分解 $a^2 - 6ab + 9b^2$
$x^2 - 10x + 25$
进阶练习
$9a^2 - 6ab + b^2$ 进阶练习2：利用完全平方公式证明
$x^2 + 10x + 25$ $a^2 + b^2 - 2a + 1$ 是完全平方公式。
证明方法三
总结词
利用归纳法证明
详细描述
通过归纳法，对完全平方公式进行归纳推理，从简单的情况入手，逐步推导到一般情况，从而证明完全平方公式的正确性。
04
完全平方公式的扩展应用
代数式简化
总结词
利用完全平方公式对复杂代数式进行简化
详细描述
完全平方公式可以用于简化复杂的代数式，将多项式表示为更简单的形式，便于计算和理解。例如，$(a+b)^2$可以展开为 $a^2+2ab+b^2$，这样可以更容易地处理多项式中的项。
基础练习
$a^2 + 2ab + b^2$ $a^2 - ab + b^2$
$4a^2 + 4ab + b^2$
基础练习
$a^2 + 2ab + frac{b^2}{4}$ 基础练习2：利用完全平方公式计算
基础练习
01
$(x + 3)^2$
02
$(x - 5)^2$
03
$(3x + 2)^2$
《完全平方公式》第二课时参考课件
• 引言 • 完全平方公式的基本概念 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的扩展应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾

1.完全平方公式(第二课时)PPT课件(华师大版)

∴无论x、y取何值，原式的值都是正数。
例6：1.如果x2-6x+n是一个完全平方式,求n。
2.如果x2 6x n2是一个完全平方式，求n。
3.如果x2-nx+9是一个完全平方式,求n。
1.解：因为x2-6x+n =x2-2×3x+n 所以 n = (-3)2 即：n = 9
2.解：因为x2-6x + n2 =x2-2×3x + n2
例4：填空 :
1 a2 6a _______ (a ______)2
2 4x2 20x ______ (2x ______)2
3 a2 b2 (a b)2 __________
4 (x y)2 ___________ (x y)2
x2 2xy y2
（5）a2+b2=（a+b）2+__(_-_2_a_b_)__． -2ab
例7：1.已知x y 7，xy 10，求x2 y2的值.
2.已知x 2 y 2 5, x y 1，求xy的值。
3.已知x2 y 2 16, xy 10，求x y的值。
解 : x y2 72
解 : x y2 1
x2 2xy y 2 49
x2 y2 49 2xy
挖去直径分别为a与b的两个圆，求出
剩下钢板的面积。
解：由题意可知：
(a b)2 (a)2 (b)2
2
22
1 [(a b)2 a2 b2 ]
4
1 ab
2 答:剩下钢板的面积为0.5πab。
1.填空 :
1a2 6a ____ (a __)2 3a2 b2 (a b)2 ____
x2 2xy y 2 1
2xy x2 y2 1

完全平方公式2优秀课件.ppt

小结
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；a或b如果是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键。有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算。
用完全平方公式还可以简化计算。
（1）(-x+1)2
解 (-x+1)2 = (-x)2+2(-x)· 1 + 12 = x2-2x+1
（ 2） ( - 2x - 3) 2
解 ( - 2x - 3) 2
= [-(2x+3)]2
= (2x+3)2
这个题还可以这样做： (-x+1)2 =(1-x)2 = 1 2- 2 · 1· x +x 2 = 1-2x+x2.
= 4x2+12x+9.
第（2）题也可用完全平方公式直接展开计算。
运用完全平方公式计算：
（1） 2042
解 2042 解 = (200+4)2 = 2002+2×200×4+42 = 40 000+1600+16 = 41616. （2） 2982 2982 = (300-2)2 = 3002-2×300×2+22 = 90 000-1200+4 = 88804.
计算：
（1） ( a + b) -(a - b)
2 2
解：原式= a 2 + 2ab + b2 -(a 2 - 2ab + b2 )
= 4ab
（2） ( a + b + c )

《完全平方公式》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】

完全平方公式第2课时
平方差公式是怎样的呢？
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(a+b)(ab)=a2b2
完全平方公式又是怎样的呢？
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
解：(1)原式= (x+3)2-x2
=6x+9
= x2+6x+9－x2
例2 计算：
分析：(2)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.
解：(2)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
a+b看作整体.
(1) (x+3)2-x2； (2) (a+b+3)(a+b-3)； (3) (x+5)2-(x-2) (x-3)．
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab
=37-(-6)=43.
完全平方公式的常见变形：
应用：
完全平方公式的应用
①用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
②对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
=m2+2mn+n21=n源自2nm2+1看作一项

完全平方公式课件2

定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2

完全平方公式(二)优秀公开课课件PPT

2. 解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
作业
1.练习册A组、B组
联系拓广：
3. 己知: a 1 1 , 求 a2 1 的值.
a
a2
解 : a 1 1 故 (a 1)2 1
a
a

a2
2a 1 a

1 a2
1,
a2

1 a2

3
练习 1、若多项式x2 kx 16是完全平方式，则k的值是___________________。
(2) 2032 .
综合应用
例3 计算： (1) (x+3)2 - x2 (2) (x+5)2–(x-2)(x-3) (3) (a+b+3)(a+b-3)
综合应用
巩固练习：
(1) (a+b-5)(a－b－5)
(2) (x－2)(x+2) －(x+1)(x－3) (3) (ab+1)2－ (ab－1)2
2、若 x y 5 xy 62 0,
则x2 y 2 ________________。
4、选用适当的公式计算：
（1)2x 11 2x
(2) 2x y2x y
(3) a 5 a 5
(4)ab 1 ab 1
1
2

a

2

a

1
2

2
a
6.a2 b2 c2 ab bc ca 1 a b2 b c2 c a 2 2
联系拓广：

《完全平方公式》课件

(2) 992 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10 000-200+1 =9 801.
完全平方公式的常见变形
a2 + b2 = （a + b）2−2ab = （a − b）2 + 2ab;
（a + b）2 = （a − b）2 + 4ab;
（a−b）2 = （a + b）2−4ab;
可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式. (2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“”. (3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如 (a±b)2 = a2±b2 .
随堂练习
C
(a+b)2
A. ab (a+b)2-44aabb
b
B. (a+b)2 =a2+2ab+b2-4ab
C. (a-b)2 =(a-b)2
a
D. a2-b2
图1
图2
课堂小结
两个数的和（或差）2倍
全
平
方
公
式
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
《完全平方公式》
知识回顾
平方差公式:
两个数的差
积 (a+b)(a-b)=a2-b2. 两个数的和平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个
数的平方差.
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式. 2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.

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3 2 1 2 (2)(- x y - ) 2 4
(a-b)2 =(b-a)2
(-a-b)2 =(a+b)2
口答
(1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2 2 (2) (4x-3y) =16x2-24xy+9y2
(3) (-2m-1)2 =4m2+4m+1
你会了吗?
计算:
(1)(－x+2y)2;
=( 4a2 )2－2( 4a2 )·( b2 )+( b2 )2 =16a4－8a2b2+b4
解题过程分3步：记清公式、代准数式、准确计算。
例2、运用完全平方公式计算： (1) 1042
解： 1042 = (100+4)2
=10000+800+16 =10816
(2) 99.92
解： 99.92 = (100 –0.1)2 =10000 -20+0.01
=9980.01
诊断
下列等式是否成立？说明理由。 ⑴ (4a 1) (4a 1)
2 2
（√）
⑵ (4a 1) (1 4a)
2
2
（√）
(-a-b)2 =(a+b)2
(-a+b)2 =(b-a)2
(a-b)2 =(b-a)2
探究
去括号：a+(b+c)= a+b+c
a-(b+c)= a-b-c
C.(y-x)2 拓展：
B.(-x-y)2
D.-(x-y)2
1.已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值.
2.已知：a+b= 5 ab=3 求（1）a2+b2 (2)(a-b)2 (3)a-b
(4)a2-b2
a b (5) + b a
(6)a2-ab+b2
3.已知：a2+b2+4a-6b+13=0。 2 求ab
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2 - 2ab+b2= (a-b)2
2 )
x+y 2 2 x +2x+1=( x+1) +4=( x-2
注意：公式的逆用，
a2-4ab+4b2=( a-2b)2 x2-4x )2
公式中各项
符号及系数。
选择
代数式 2xy-x2-y2=(
D
)
A.(x-y)2
添括号：a+b+c= a+(b+c) a-b-c= a-(b+c)
添括号时,
1.如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号 2.如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
练习
能否用去括号法则检查添括号是否正确?
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + Nhomakorabeac );
(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;
(4)(x+y)2－(x－y)2.
下面各式添上什么项才能成为一个完全平方式
X2 + 4y2
4xy 6ab
a2 + 9b2 4x2 +
1 4
x
9 16
x2 + 6x a2b2 + 8ab
1 2 x 9
+ 2xy
9y
2
填空：
公式的逆向用；
2 2 x +2xy+y =(
(2) a – b – c = a – ( b + c ) ; (3) a - b + c = a – ( b - c );
(4) a + b + c = a - ( -b - c ).
例运用乘法公式计算: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2 = [ ( a +b ) + c ] 2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
(a+b)2= a2 +b2 +2ab (a-b)2= a2 +b2 - 2ab
记忆口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，中间符号同前方。
例1、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2 2= a2 -2ab +b2 (a-b) 分析： a 4a2 b2 b
解：（ 4a2 － b2）2
小结：
2= a2 +2ab+b2 (a+b) 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
2 +2ab+b2 = (a+b)2 a 3、公式的逆向使用； 2 - 2ab+b2= (a-b)2 a 4、解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
练习
2.运用乘法公式计算: （1） (a + 2b – 1 ) 2 ; （2）（5a+4b-3c）² （3）(2x +y +z ) (2x – y – z ) 3.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从中挖去直径分别为a与b的两个圆,求剩下的钢板的面积。
例3 计算：
2 2 3 32 (1) ( a + b ) 2 3
完全平方公式
第二课时
知识复习
1.多项式与多项式相乘的法则： (a+b)(m+n)= am+an+bm+bn 2 + (a+b)x + ab x 2.公式:（x+a)(x+b)= .
2 - b2 a 3.平方差公式: (a+b)(a-b) =
.
4.完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2