2018版高中数学第一章计数原理1.2.1.2排列的综合应用习题课课件新人教A版选修2_3
自主学习
基础认识
解决排列问题常用的方法 (1)特殊元素优先法：对于有特殊元素的排列问题，一般应先考 虑特殊元素，再考虑其他元素． (2)特殊位置优先法：对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑 特殊位置，再考虑其他位置． (3)相邻问题捆绑法：对于要求某几个元素相邻的排列问题，可 将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一 起排列，然后再对捆绑元素相邻的排列问 题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元素插入在已排好的元 素之间及两端空隙处．
5．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的 错误共有________种．
4 2 解析： 因为 good 有两个相同字母， 所以可能出现 A4 －3A2 A 2 2－ 1＝11 种错误． 答案：11
课堂探究 互动讲练 类型一 数字排列问题 [例 1] 用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数． (1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少 个？ (2)如果组成的四位数大于 6 500，那么这样的四位数有多少？
【解析】 (1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是 1 偶数，个位数字只能是 2,4,6 之一，所以有 A3 种排法；第二步排千、 百、 十这三个数位上的数字， 有 A3 根据分步乘法计数原理， 6种排法． 1 3 符合条件的四位数的个数是 A3 · A6 ＝3×6×5×4＝360.故这样的四 位数有 360 个． (2)因为组成的四位数要大于 6 500，所以千位上的数字只能取 3 7 或 6.排法可以分两类．第一类：千位上排 7，有 A6 种不同的排法； 第二类：若千位上排 6，则百位上可排 7 或 5，十位和个位可以从 2 余下的数字中取 2 个来排，共有 A1 · A 2 5种不同的排法．根据分类加 3 法计数原理，符合条件的四位数的个数是 A6 ＋ A1 A2 2· 5＝160.故这样 的四位数有 160 个.
类型二 排队问题 [例 2] 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生必须全分开，有多少种不同排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同排法？
(2)第一类，当数字“1”在首位时，数字“0”有 5 种选择，其 他数字不受限制， 其排列方法有 A4 所以当数字“1”在首位时， 4种， 满足条件的六位数共有 1×5×A4 4＝120(个)； 第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数 位上， 数字“1”的位置只能在千位和十位， 有 2 种选择， 数字“0” 不能在首位，有 4 种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法为 4 A4 种，所以当数字 “1” 不在首位时，满足条件的六位数共有 4 2×4×A4 ＝192(个)． 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 120＋192＝ 312(个).
)
解析：由于 6 人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种 数为 A6 6＝720. 答案：C
4．要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一 排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) A．1 440 种 B．960 种 C．720 种 D．480 种
解析：从 5 名志愿者中选 2 人排在两端有 A2 5种排法，2 位老人 4 2 4 的排法有 A2 其余 3 人和老人排有 A4 种排法， 共有 A2 2种， 5A2A4＝960 种不同的排法． 答案：B
解析：由题意，可知个位可以从 1,3,5 中任选一个，有 A1 3种方 法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列， 1 4 有 A4 种方法，所以奇数的个数为 A 4 3A4＝3×4×3×2×1＝72.故选 D. 答案：D
3．6 名学生排成两排，每排 3 人，则不同的排法种数为( A．36 B．120 C．720 D．240
|自我尝试| 1．用数字 1,2,3,4,6 可以组成无重复数字的五位偶数有( A．48 个 B．64 个 C．72 个 D．90 个
1 4 解析：满足条件的五位偶数有 A3 · A4 ＝72.故选 C. 答案：C
)
2．用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的 个数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72
解析：(1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数． 3 第一步，把 1,3,5 三个数排列在奇数位上，有 A3 种方法； 3 第二步，把 0,2,4 三个数排列在偶数位上，有 A3 种方法． 根据分步乘法计数原理，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复 数字的六位数有 A3 A3 3· 3＝36(个)． 第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数． 3 第一步，把 1,3,5 三个数排列在偶数位上，有 A3 种方法； 第二步，把 0,2,4 三个数排列在奇数位上，有 2×A2 2种方法． 根据分步乘法计数原理，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复 2 数字的六位数有 A3 × 2 × A 3 2＝24(个)． 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 36 ＋ 24 ＝ 60(个)．
方法归纳 用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面： (1)在题设条件的限制下， 根据哪些元素可取、 哪些元素不可取， 对每一步排法； (2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情 况而定； (3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算.
跟踪训练 1 (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间无重复 数字的六位数有多少个？ (2)在由 0,1,2,3,4,5 六个数字组成的数中，数字 1 排在奇数位上 的六位数有多少个？
2018版高中数学选修2-3课件：第一章 计数原理 1-2 第1
解析
答案
n－m －1 Am · A (2)计算： n－1 n－1n－m ＝___. 1 An－1
解析
n－1！ 原式＝ · (n－m)！· [n－1－m－1]！
n－1！ 1 1 ＝ · (n－m)！· ＝1. n－1！ n－m！ n－1！
解析
答案
反思与感悟
(1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大
解
3 * 由 A4 <140A 知， x ≥ 3 且 x ∈ N ， 2x＋1 x
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)· 2x· (2x－1)(2x－2)<140x· (x－1)(x－2)，
23 解得 3<x< 4 ，
因为x∈N*，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}.
解答
反思与感悟
排列数 全排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 n个不同元素 全部取出 的
定义 素的 所有排列的个数 ，叫做从n个 一个排列，叫做n个不同
不同元素中取出m个元素的排列数
表示法
元素的一个全排列
n An
Am n
乘积形式 公式 阶乘形式 性质
(n－2)… Am n ＝n(n－1)·
(n－m＋1)
… An n ＝n个点为端点作弦； 解 弦的端点没有先后顺序，不是排列问题. (4)20个车站，站与站间的车票价格； 解 车票价格与起点和终点无关，故车票价格是无顺序的，不是排列问题. (5)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条
直线？可确定多少条射线？ 解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
位数？
答案 4×3＝12(个).
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列课件新人教A版选修2_3
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
������-1 (4) ������!
������ -1
=
1 1 − . (������-1)! ������!
即A2 4 =12.
A������ 12
2.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念 剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指 “从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数. 例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是 从a,b,c中任取2个元素的排列数. 归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意, 看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一 步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素 中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排 列数公式求解.
1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同, 且元素的排列顺序也相同. 名师点拨1.排列的定义包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的 m个元素也是不同的. 2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完 全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列.
版高中数学第一章计数原理1.2.1.2排列的综合应用习题课课件新人教a版选修2_3
答案：C
4．要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一 排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440 种 B．960 种 C．720 种 D．480 种
解析：从 5 名志愿者中选 2 人排在两端有 A25种排法，2 位老人 的排法有 A22种，其余 3 人和老人排有 A44种排法，共有 A25A22A44＝960 种不同的排法．
方法归纳 用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面： (1)在题设条件的限制下，根据哪些元素可取、哪些元素不可取， 对每一步排法； (2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情 况而定； (3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算.
跟踪训练 1 (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间无重复 数字的六位数有多少个？
(2)在由 0,1,2,3,4,5 六个数字组成的数中，数字 1 排在奇数位上 的六位数有多少个？
解析：(1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数．
第一步，把 1,3,5 三个数排列在奇数位上，有 A33种方法； 第二步，把 0,2,4 三个数排列在偶数位上，有 A33种方法． 根据分步乘法计数原理，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复
数字的六位数有 A33·A33＝36(个)． 第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．
第一步，把 1,3,5 三个数排列在偶数位上，有 A33种方法； 第二步，把 0,2,4 三个数排列在奇数位上，有 2×A22种方法． 根据分步乘法计数原理，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复
数字的六位数有 A33×2×A22＝24(个)． 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 36＋24＝
2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时 排列的综合应用学案 新人教A版选修2-3
第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n －m！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.](1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A 13种，其余6人全排列，有A 66种．由分步乘法计数原理得A 13A 66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排列有A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种．则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A 33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A 55种排法，共有A 33A 55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A 33A 44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A 77＝N ×A 33，∴N ＝A 77A 33＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A 77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A 33A 44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A77＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。
2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.2.1第2课时排列的综合应用(习题课)课件新人教A版选修2_3
个位上的排列有 A5 5个，0 在十万位上且 5 在个位上的排列有 A4 4个，
5 5 4 故符合题意的六位数共有 A6 － A － (A － A 6 5 5 4)＝504(个)．
法二：(直接法) 个位上不排 5，有 A1 5种排法．但十万位上数字的排法因个位上 排 0 与不排 0 而有所不同，因此，需分两类： 第一类，当个位上排 0 时，有 A5 5种排法；
288(个)．
法三：(排除法) ①从整体上排除：6 个数字的全排列数为 A6 6，0，2，4 在个位 上的排列数为 3A5 5，而 1，3，5 在个位上，0 在十万位上的排
6 5 4 列数为 3A4 4，故符合题意的六位数奇数共有 A6－3A5－3A4＝
288(个)． ②从局部上排除：1 在个位上的排列有 A5 5个，其中 0 在十万位
(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A2 2种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A4 4种，根据分步乘法计数原理，共
4 有 A2 · A 2 4＝48 种站法．
5 (3)法一：甲在左端的站法有 A5 种，乙在右端的站法有 A 5 5种， 6 5 4 且甲在左端而乙在右端的站法有 A4 种， 共有 A － 2A ＋ A 4 6 5 4＝504
种站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有 A5 5种，b.甲在
1 4 中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 A1 · A · A 4 4 4种，故共有 1 1 4 A5 5＋A4·A4·A4＝504 种站法．
“在”与“不在”问题的解决方法
1.(2018· 山西朔州怀仁一中高二下学期期中)记 者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照， 要求排成一排， 2 位老人不排在两端，不同的排法共有( A．2 400 种 C．4 800 种 B．3 600 种 D．7 200 种 )
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人教A版选修2_3
第2课时 排列的综合应用
学习目标
1.进一步加深对排列概念的理解 . 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的 实际问题 .
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 排列及其应用
1.排列数公式 Amn＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤ n 1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例2 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数 . (1)全体站成一排，男、女各站在一起； 解 男生必须站在一起是男生的全排列，有 A33种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有 A44种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法. 由分步乘法计数原理知，共有 A33·A44·A22＝288(种)排队方法 .
解答
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
解 三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与 4 名女生 组成 5 个元素全排列，有A55种排法.故有 A33·A55＝720(种)排队方法.
(3)全体站成一排，男生不能站在一起； 解 先安排女生，共有 A44种排法；男生在 4 个女生隔成的五个空中安排， 共有 A35种排法，故共有 A44·A35＝1 440(种)排法. (4)全体站成一排，男、女各不相邻 . 解 排好男生后让女生插空，共有 A33·A44＝144(种)排法.
n！ ?n－m?！ .
Ann＝ n(n－1)(n－2)…2·1＝ n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定 0！＝ 1 .
2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
题型探究
类型一 无限制条件的排列问题 例1 (1)有7本不同的书，从中选 3本送给 3名同学，每人各 1本，共有多 少种不同的送法？ 解 从7本不同的书中选 3本送给 3名同学，相当于从 7个元素中任取 3个 元素的一个排列，所以共有 A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买 3本送给3名同学，每人各 1本，共有多少种不同 的送法？ 解 从7种不同的书中买 3本书，这 3本书并不要求都不相同，根据分步 乘法计数原理，共有 7× 7× 7＝343(种)不同的送法 .
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人
法二 间接法，总排法种数为 A7 7，甲站排头和乙站 排尾的排法种数均为 A6 6，但这两种情况均包含了甲站排
6 5 头和乙站排尾的情况，故排法共有 A 7 － 2A ＋ A 7 6 5＝3
720(种)．
归纳升华 解决“在”与“不在”问题， 常用的方法是特殊位置 分析法、特殊元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊 位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约束条件， 往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件； 若以元 素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素．
答案：A
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2 人不相 邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24 解析：就座 3 人占据 3 张椅子，在其余 3 张椅子形成 的 4 个空位中，任意选择 3 个，插入 3 张坐人的椅子，不 同坐法共有 A3 4＝24(种)． 答案：D
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标 ] 1.进一步理解排列的概念 (重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法， 并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题 ( 重点、难 点)．
[知识提炼· 梳理] 1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法 (1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)． (2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数， 再减去不合要求的排列数．
[变式训练] 要排出某班一天中语文、数学、政治、 英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表，要求数学课排 在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为 ________(用数字作答)． 解析：先在前 3 节课中选一节安排数学，有 A1 3种排 法；
2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.2第2课时计数原理的综合应用课件新人教A版选修2_3
解： 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事， 可以分四步： 第一步定个位，只能从 1，3 中任取一个，有 2 种方法；第二 步定首位，把 1，2，3，4 中除去用过的一个还有 3 个可任取 一个，有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的还 有 3 个数字先排百位有 3 种方法，再排十位有 2 种方法．由分 步乘法计数原理共有 2×3×3×2＝36 个．
2． [变问法]在本例条件下， 能组成多少个能被 3 整除的四位数？
解： 一个四位数能被 3 整除， 必须各位上数字之和能被 3 整除， 故组成四位数四个数字只能是 0，1，2，3 或 0，2，3，4 两类． 所以满足题设的四位数共有 2×3×3×2×1＝36 个．
解决组数间的方法 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步” 的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊 位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多， 可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最 高位．
1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则 由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( A．6 C．12 B．9 D．24 )
解析： 选 B.根据 0 的位置进行分类： 第一类， 0 在个位有 2 110， 1 210， 1 120， 共 3 个； 第二类， 0 在十位有 2 101， 1 201， 1 102， 共 3 个；第三类，0 在百位有 2 011，1 021，1 012，共 3 个， 故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 9.
4．从 1 到 200 的自然数中，各个数位上都不含有数字 8 的自 然数有多少个？
解：第一类：一位数中除 8 外符合要求的有 8 个； 第二类：两位数中，十位上数字除 0 和 8 外有 8 种情况，而个 位数字除 8 外，有 9 种情况，有 8×9 个符合要求； 第三类：三位数中，百位上数字是 1 的，十位和个位上数字除 8 外均有 9 种情况，有 9×9 个，而百位上数字是 2 的只有 200 符合． 所以总共有 8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)．
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人教A版选修2
法二(插空法) 将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法．故排法共有 A55×A26＝3 600(种)．
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标] 1.进一步理解排列的概念(重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难 点)．
1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)．
解析：先对 8 个人全排列，有 A88种情形，其中甲、
乙的顺序有两种情形，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占 一半，则甲、乙顺序一定的情形有12A88种，所以男生甲和
12A88 1 女生乙顺序固定的概率为 P＝ A88 ＝2.
答案：12
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止 重复与遗漏．
2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选 择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有 时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和 分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步” 的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各 类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能 不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性， 也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于 画树状图．
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2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ）A．72种B．84种C．120种D．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C错误!＝120（种）．故选C.答案:C2．6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站第二道也不能站第一道,乙必须站在第五道或第六道，则不同的排法种数共有( ）A．144 B．96 C．72 D．48解析:先为乙选一道C错误!，再为甲选一道C错误!，余下4个人有A错误!，则共有C错误!C错误! A44＝144。
答案：A3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有( ）A．24种 B．18种 C．12种 D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C错误!种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A错误!种方法，所以所求方法有C错误!A错误!＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种 B．20种 C．36种 D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C错误!种放法，第二类,2号盒子里放3个球，有C错误!种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C错误!＝10(种)．答案：A5．一副扑克牌去掉两张王后还有52张，将牌发给4个人，每人13张，则某人获得的13张牌中花色齐全的情况数为（)A．(C错误!）4C错误!B．C错误!－4C错误!－6C错误!－4C．C13，52－C错误!C错误!＋C错误!C错误!－C错误!C错误!D．C错误!－C错误!C错误!＋C错误!C错误!解析：从52张牌中任意取出13张牌的全部取法为C错误!,缺少某一中花色的取法为C错误!,缺少两种花色的取法为C错误!，缺少三种花色的取法为C错误!，则四种花色齐全的取法为C错误!－C错误!C错误!＋C错误!C错误!－C错误!C错误!。