2018.4.18直线的参数方程(一)
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直线的参数方程(用)ppt课件
x x0 t cos , y y0 t sin
即，x x0 t cos , y y0 t sin
e (cos,sin )
x
3
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
所： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
y
e (cos ,sin )
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M 0M te,即
(x x0, y y0 ) t(cos,sin ) O
直线的参数方程
1
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
O
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
B
x
17
即
x
1
2t 2 (t为参数）
A
y
2
2t 2
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10 MA MB t1 t2 t1t2 2
直线和圆的参数方程
第九页
例 3．已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t 3t (t 为参数)，它与曲线
(y－2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离．
分析：本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线 的位置关系．首先把直线的参数方程代入曲线方程， 可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的有关意 义可以解决此问题．
即x x0 , y y0 tcos ,sin ,
第四页
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
第十一页
探究 直线 x x0 t cos , t 为参数
y y0 t sin .
与曲线 y f x交于M1, M 2 两点, 对应的
参数分别为t1, t2.
1曲线的弦M1M 2的长是多少? 2线段M1M 2的中点M对应的参数t的值
是多少?
第十二页
【规律方法总结】
直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下 常用结论：
①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1， t2，则弦长 AB＝|t1－t2|；
②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝ t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
第十三页
当M→0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取 正数 ； 当M→0M与 e 反向时，t 取 负数 ；当点 M 与点 M0 重 合时，t 为 零 ．
例 3．已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t 3t (t 为参数)，它与曲线
(y－2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离．
分析：本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线 的位置关系．首先把直线的参数方程代入曲线方程， 可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的有关意 义可以解决此问题．
即x x0 , y y0 tcos ,sin ,
第四页
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
第十一页
探究 直线 x x0 t cos , t 为参数
y y0 t sin .
与曲线 y f x交于M1, M 2 两点, 对应的
参数分别为t1, t2.
1曲线的弦M1M 2的长是多少? 2线段M1M 2的中点M对应的参数t的值
是多少?
第十二页
【规律方法总结】
直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下 常用结论：
①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1， t2，则弦长 AB＝|t1－t2|；
②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝ t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
第十三页
当M→0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取 正数 ； 当M→0M与 e 反向时，t 取 负数 ；当点 M 与点 M0 重 合时，t 为 零 ．
直线的参数方程课件
y 3 t sin 600 等于( D )
A.300 B.600 C. 450 D.135 0
(t是参式数是）不是唯
一的
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 离b2. 1时，
x y
x0 y0
at bt
(t为t才参具数有|此）t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
3、直线{x 2 t cos300 (t为参数)的倾斜角
所以，该直线的参数方程为 O
x
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
三、例题讲解
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
A.300 B.600 C. 450 D.135 0
(t是参式数是）不是唯
一的
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 离b2. 1时，
x y
x0 y0
at bt
(t为t才参具数有|此）t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
3、直线{x 2 t cos300 (t为参数)的倾斜角
所以，该直线的参数方程为 O
x
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
三、例题讲解
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
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所以,直线参数这方就程是中t参的几何 数t的绝对值等于意直义线,要上牢记 动点M到定点M0的距离.
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|t|=|M0M|
M0
e
O
x
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直线的参数方程(标准式）
直线的参 x y x y数 0 0 ttcs方 io n(st程 为参 ) 数
O
x
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
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即
x
1
2t 2 (t为参数）
y
2
2t 2
y
A
M(-1,2)
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
B
O
x
t1 t2 2, t1t2 2
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| M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
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直线参数方程的应用
1. 求（线段）弦长 2. 线段的中点问题 3. 求轨迹问题
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l2 ： 4 x 3 y 1 2 0 所 得 两 交 点 间 的 距 离 。 9 17
4.如直线
x y
4 bt
at
(t为参数）与曲线x
2
1 0相切，则这条直线的倾斜角等于
直线的参数方程_2022年学习资料
直我的参数方程2直线的参数方程课件ppt直线的参数方程-xx+tcosa-y=yo +tsina例1：化直线L的普通方程-x+/3y-1=0-为参数方程，并说明参数的几何意义，说明「t的几何意义.-例2：化直线，的参数方程-x=一3+t-y=1+3t-为参为普通方程，并求倾斜角，例3：已知直线过点M,（1,3,倾斜角为-x=1+-判断方程-2-t为参数-=3+-C三-1+t-和方程-t为参数是否为直线-y=3+3-的参数方程？如果是直线参数方程，指出方程中的参数是否具有标准形-式中参数t的几何意义.x xo+at-y=yo+bt-1当a2+b2=1时，则t的几何意义是有向线段-MM-的数量.-2当a2+b21时，则t不具有上述的几何意义.-可化为-x=x0 -令t'=a2+b2t重要结论：-直线的参数方程可以写成这样的形式：-t为参数-ly yo+bt-当a2+b=时，t有明确的几何意义，它表示MM-此时我们可以认为a=cosa,b=s na.a为倾斜角。
-当a2+b2≠时，t没有明确的几何意义。
重要结论：-直线的参数方程可以写成这样的形式：-x=xo+at-y-Yo-t为参数-tan a-y=yo +bt-x-xo-1M M2 Ja2+b2t--t2-a2+b2-t+t24直线X=-2+tcos300-Dy =3-tsin600-t为参数的倾斜角a-等于-A.300-B.60°C.-450-D.13506.如直线-x=4+at-t为参数与曲线x2+y2一4x-或-2九-+1=O相刀，-则这条直线的倾斜角等于3-7、直线{-x=-2-/21-为参数上与点P-2,距离等于-y=3+2t-2的点的坐标是C-A-4,5B-3,4C-3,4或-1,2D-4,5或0,1小结：-探究：直线的参数-1.直线参数方程-方程形式是不是唯-x=x +tcos a-○-一的-t是参数-y yo +tsina-2.利用直线参数方程中参数t的何意义，简化求直线上两点-间的距离-=x+-为参数-Itl=IM MI-y=yo +bi-当a2+b2=1时，-才具有此几何意义-3.注意向量工具的使用.-其它况不能用。
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
直线的参数方程 课件
在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距离可用|t1-t2|来求.直线的
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
直线的参数方程
Байду номын сангаас
直线参数方程的应用-1.求（线段）弦长，直线与曲线交点的距离-2.线段的中点问题-3.求轨迹问题
作业讲评-课本P39-x=1+-1解：1直线的参数方程为-2-t为参数-y=5+-2将直线的参数方程中的， 代入x-y-2√3=0-得t=-10+6V3.所以，直线和直线x-y-2V3=0-的交点到点M的距离为t= 0+6v3
设MM2它们所对应的参数值分别为t1t2-1MM=t1-t2-2）M是MM2的中点，求M对应的参-t1+t -t=
练习-①直线-x=3+tsin20°-y=tcos20°-t为参数的倾斜角是-B-A.200-B.70°.110°-D.160°-√2-x=1-2」-直线+y-1=0的一个参数方程是
小结：-1.直线参数方程的标准式-X-X0 +tcosa-t是参数-y=yo +tsina-|=|MoM.直线参数方程的一般式-x=xo+at-t为参数-言明的儿依头，9-以网-当a2+b2≠1时，没有明确的几 意义。
例2-经过点M2,1D作直线，交椭圆后+兰-1于A,B两点。如果点M恰好为-线段AB的中点，求直线l的方程 解：设过点M2,1的直线L的参数方程为-x=2十tcos&,-t为参数-y=1十tsin a,-代入椭圆方 ，整理得-3sin2a-+1t2+4cos a+2sin at-8=0.-由t的几何意义知MA=t,MB= .因为点M在椭圆内，这个方程必有-两个实根，所以-白十场=--3sin2a+1-因为点M为线段AB的中点， 以士=0，即osa+2sina=0,-于是直线1的斜率为。=an。=一是-因此，直线1的方程是y-1=一x 2》,-x十2y-4=0.
直线参数方程的应用-1.求（线段）弦长，直线与曲线交点的距离-2.线段的中点问题-3.求轨迹问题
作业讲评-课本P39-x=1+-1解：1直线的参数方程为-2-t为参数-y=5+-2将直线的参数方程中的， 代入x-y-2√3=0-得t=-10+6V3.所以，直线和直线x-y-2V3=0-的交点到点M的距离为t= 0+6v3
设MM2它们所对应的参数值分别为t1t2-1MM=t1-t2-2）M是MM2的中点，求M对应的参-t1+t -t=
练习-①直线-x=3+tsin20°-y=tcos20°-t为参数的倾斜角是-B-A.200-B.70°.110°-D.160°-√2-x=1-2」-直线+y-1=0的一个参数方程是
小结：-1.直线参数方程的标准式-X-X0 +tcosa-t是参数-y=yo +tsina-|=|MoM.直线参数方程的一般式-x=xo+at-t为参数-言明的儿依头，9-以网-当a2+b2≠1时，没有明确的几 意义。
例2-经过点M2,1D作直线，交椭圆后+兰-1于A,B两点。如果点M恰好为-线段AB的中点，求直线l的方程 解：设过点M2,1的直线L的参数方程为-x=2十tcos&,-t为参数-y=1十tsin a,-代入椭圆方 ，整理得-3sin2a-+1t2+4cos a+2sin at-8=0.-由t的几何意义知MA=t,MB= .因为点M在椭圆内，这个方程必有-两个实根，所以-白十场=--3sin2a+1-因为点M为线段AB的中点， 以士=0，即osa+2sina=0,-于是直线1的斜率为。=an。=一是-因此，直线1的方程是y-1=一x 2》,-x十2y-4=0.
直线的参数方程
'2
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
直线的参数方程 课件
由 ρ＝ 2cosθ－π4得 ρ＝cos θ＋sin θ，
所以 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 得 x2＋y2＝x＋y， 即圆 C 的直角坐标方程为x－122＋y－122＝12.(5 分)
(2)把yx＝＝112＋＋122t3t，代入x－122＋y－122＝12， 得 t2＋12t－14＝0，(7 分) 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2，
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
10－y 解：(1)由 y＝10－4t，得 t＝ 4 ，代入 x＝5＋3t，
10－y 得 x＝5＋3× 4 . 化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0. (2)把方程变形为 x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， y＝10＋45×（－5t）.
令 cos α＝－35，sin α＝45. u＝－5t，则参数方程的标准形式为： x＝5－35u， y＝10＋45u (u 为参数)．
(t 为参数)
y＝y0＋bt
化标准形式的公式，非标准形式中的 a2＋b2t 具有标准
x＝x0＋tcos α，
形式参数方程
(α 为参数)中参数 t 的几何
y＝y0＋tsin α
意义，故可以直接利用非标准形式的参数方程解题．
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
(t 为参数)是非标准形式，参数 t 不具有上
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你还能提出和解决哪些问题？
t1 t 2 2 (2) 线段 M1 M 2 的中点 M 对应的参数 t ________;
4.已知定点 P (2,1) ，动直线经过点 P 与 x 轴正半轴、 y 轴 正半轴分别交于 A、B 两点，求 PA PB 的最小值. 4
作业: P39 习题 2.3 第 1、2 题
2 y t 0 的一个参数方程是____________. 2
例 1.已知直线 l : x y 1 0 与抛物线 y x 2 交于 A、B 两点， 求线段 AB 的长和点 M (1, 2) 到 A、B 两点的距离之积. 你打算怎么解？ 解:设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) x y 1 0 2 由 消去 y 得 x x 1 0(*) 2 y x 由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
∴ AB t1 t2 (t1 t2 )2 4t1t2 2 4 (2) 10
MA MB t1t2 2
x x0 t cos 一般地， 直线 ( t为参数, 为倾斜角) 与曲线 y y0 t sin f ( x, y ) 0 交于 M1、M 2 两点，对应的参数分别为 t1、t 2 ，则
t1 t2 (1) M1 M2 ____________;
0 0
t t 1 2 (3) 已知 P( x , y ) ,则 PM1 PM2 ___________. t1 t 2 (4) 已知 P( x , y ) ,则 PM1 PM2 ___________. 1 x 2 3t 练习:3.直线 (t为参数) 的斜率为________. 3 y 1 t
直线的参数方程(一)
用向量推导直线方程及认识参数方程 练习1，2，例1 例1的参数法
会用直线的参数方程处理问题
作业: P39 习题 2.3 第 1、2 题
直线的参数方程(一)
我们可以用向量的知识来推导直线方程. 思考：直线 l 经过点 M0 ( x0 , y0 ) ,斜角为 ,求直线 l 的方程. 解:设直线 l 上任一点 M ( x , y ) ， 则 M0 M ( x x0 , y y0 ) y l M0 ( x0 , y0 ) l 的倾斜角为 ， ∵直线 ∴单位向量 e (cos ,sin ) 是直线 l 的方向向量， ∴ M 0 M / /e , ∴存在参数 t R ,使 M0 M te . e o x ∴ ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) . M ( x, y ) x x t cos 0 ∴ ( t为参数) 这就是直线 l 的参数方程. y y0 t sin 注: t 的几何意义： M0 M t (cos ,sin ) , 故 t M 0 M ， ① t > 0 时， M 在 M 0 的上方； ② t < 0 时， M 在 M 0 的下方； ③ t = 0 时， M 与 M 0 重合.
0 x 3 t sin 20 练习 1.直线 ( t 为参数)的倾斜角是( B). ｏ 2 y t cos 20 x 1 t 0 0 0 0 2 (C ) 110 ( D) 160 ( A) 20 ( B) 70 （t cos t x 1 4 2 即 ① 2 y 2 t sin 3 y 2 t 4 2
且 A、B 对应的参数分别为 t1、t 2 把 ① 代入抛物线方程得 t 2 2t 2 0 ∴ t1 t2 2, t1t2 2
例 1.已知直线 l : x y 1 0 与抛物线 y x 2 交于 A、B 两点， 求线段 AB 的长和点 M (1, 2) 到 A、B 两点的距离之积. 分析：直线设参数方程,利用参数可直接处理目标，从而简化运算！ 3 解:依题意直线 l 过定点 M (1, 2) ，且倾斜角为 4 ∴可设直线 l 的参数方程是
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 5 10
MA MB ( x1 1)2 ( y1 2)2 ( x2 1)2 ( y2 2)2
2( x1 1)2 2( x2 1)2 2 x1 x2 x1 x2 1 2
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t1 t 2 2 (2) 线段 M1 M 2 的中点 M 对应的参数 t ________;
4.已知定点 P (2,1) ，动直线经过点 P 与 x 轴正半轴、 y 轴 正半轴分别交于 A、B 两点，求 PA PB 的最小值. 4
作业: P39 习题 2.3 第 1、2 题
2 y t 0 的一个参数方程是____________. 2
例 1.已知直线 l : x y 1 0 与抛物线 y x 2 交于 A、B 两点， 求线段 AB 的长和点 M (1, 2) 到 A、B 两点的距离之积. 你打算怎么解？ 解:设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) x y 1 0 2 由 消去 y 得 x x 1 0(*) 2 y x 由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
∴ AB t1 t2 (t1 t2 )2 4t1t2 2 4 (2) 10
MA MB t1t2 2
x x0 t cos 一般地， 直线 ( t为参数, 为倾斜角) 与曲线 y y0 t sin f ( x, y ) 0 交于 M1、M 2 两点，对应的参数分别为 t1、t 2 ，则
t1 t2 (1) M1 M2 ____________;
0 0
t t 1 2 (3) 已知 P( x , y ) ,则 PM1 PM2 ___________. t1 t 2 (4) 已知 P( x , y ) ,则 PM1 PM2 ___________. 1 x 2 3t 练习:3.直线 (t为参数) 的斜率为________. 3 y 1 t
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0 x 3 t sin 20 练习 1.直线 ( t 为参数)的倾斜角是( B). ｏ 2 y t cos 20 x 1 t 0 0 0 0 2 (C ) 110 ( D) 160 ( A) 20 ( B) 70 （t cos t x 1 4 2 即 ① 2 y 2 t sin 3 y 2 t 4 2
且 A、B 对应的参数分别为 t1、t 2 把 ① 代入抛物线方程得 t 2 2t 2 0 ∴ t1 t2 2, t1t2 2
例 1.已知直线 l : x y 1 0 与抛物线 y x 2 交于 A、B 两点， 求线段 AB 的长和点 M (1, 2) 到 A、B 两点的距离之积. 分析：直线设参数方程,利用参数可直接处理目标，从而简化运算！ 3 解:依题意直线 l 过定点 M (1, 2) ，且倾斜角为 4 ∴可设直线 l 的参数方程是
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 5 10
MA MB ( x1 1)2 ( y1 2)2 ( x2 1)2 ( y2 2)2
2( x1 1)2 2( x2 1)2 2 x1 x2 x1 x2 1 2