连接提问题机械能守恒习题

例1如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两根长为l的轻绳相连，置于高为h的光滑水平面上，l＞h，A球刚跨过桌边，若A球、B球相继下落着地后均不再反弹，求C球刚离开桌边时的速度大小。

巩固练习：如图是一个半径为R的光滑固定圆柱体的横截面，一根轻绳两端各系一个质量均为m 的小球A、B而处于静止状态，两球与圆心在同一个水平线上。

在受到轻微的扰动后，B球下落，A球上升，求A球到达圆柱体的最高点时对柱面的压力。

例2如图所示，粗细均匀，两端开口的U型管内装有同种液体。

开始时两边液面高度差为h，管中液体总长度为4h，打开阀门让液体自由流动，不计任何摩擦。

求当两侧液面高度相等时，左侧液面下降的速度。

巩固练习：如图所示，AB为光滑的水平面BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一小段光滑的圆弧轨道相连。

一根长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D到B的距离为L－a，现自由释放链条，求链条的D端滑到B点时，链条的速率是多大？
例3如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。

一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂
钩。

开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。

现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。

若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度大小是多少？已知重力加速度为g。

例4如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O，在盘的有边缘固定一个质量为m的小球A，在O点正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B，放开盘让其自由转动。

问：
（1）当A转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
（2）A球转到最低点时的线速度是多大？
（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多大？
巩固练习：如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上。

一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。

将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上。

在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量
的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M。

设绳子与大、小圆环间的摩擦
均可忽略，求重物M下降的最大距离。

例1思路1
取地面为零势能面，设A球落地时速率为v1，从A球开始运动到落地的过程中，A、B、C三球组成的系统机械能守恒，有：
设B球落地时速率为v2，从A球落地后到B球落地的过程中，B、C两球组成的系统机械能守恒，有：
此速度就是C球离开桌边时的速度。

这是从守恒的角度列式，分别写出系统的初末状态的动能和势能，再列方程求解，这种思路清晰明了，简单易行，需要注意的是能量要一一弄清，不能丢三落四。

思路2
在A球落地的过程中，系统减少的势能为ΔE p减=mgh，系统增加的动能为ΔE k增=，由机械能守恒定律得：
在B球落地的过程中，系统减少的势能为ΔE p减=mgh，系统增加的动能为ΔE k增=，由机械能守恒定律得：
这是从势能和动能转化的角度列式，思路也很清晰，需要注意的是势能的减少或动能的增加是系统的，而不是某个物体的。

巩固练习：解：B球重力势能减少了，A 球重力势能增加了，则系统重力势能共减
少了，由机械能守恒定律得：
例2解析：思路1
象液柱、链条等不能被看做质点的物体，应考虑其重心相对于零势能面的高度差。

取开始时右侧液面所在的水平面为零势能面，设长度为h的液体质量为m，由系统机械能守恒定律得：
思路2
可以用填补的等效方法，最终两侧液面等高，可以看成把高出右侧一半高度的液柱填补到右侧，如
图所示。

则系统重力势能的减少量为，研究对象是整个液柱，势能的减少是局部的，动能的增加是整个液柱，整个液柱每一小部分的速率都是相等的。

则从能量转化的角度来列式，有：
巩固练习：解：可以采用填补法巧妙的解题，将水平面上长（L－a）的链条填补到斜面上链条的
下端，由系统势能的减少量等于动能的增加量得：
例3解析：m1经过向上加速然后再减速的过程，当弹簧对B产生向上的拉力T，且T=mg时，此时A 的速度也刚好减为零，B就刚好离开地面，此时C的速度也为零。

弹簧由最初的被压缩到最后的被拉长，A上升的高度和C下降的高度为：
设在此过程中弹簧弹性势能的变化量为ΔE p，根据系统机械能守恒，C重力势能的减少量等于A重力势能的增加量和弹性势能的变化量之和。

将C换成D后，A上升同样的高度，B刚离地，弹性势能的变化量和前一种情况一样，根据系统机械能守恒，D重力势能的减少量等于A重力势能的增加量、A、D动能的增加量和弹性势能的变化量之和。

由以上三式解得：
本题的关键是两次B刚离开地面，弹簧长度变化相同，弹性势能变化量相同，因此巧妙的用ΔE p来表示这个变化量，而不纠缠于初、末状态弹性势能的多少，这样就抓住了问题的要点，而不至于走向歧途。

其实在高中弹性势能的表达式是不要求的，因此凡是遇到弹性势能的问题均可象本题一样去处理。

例4解析：（1）当A转动到最低点时，A球重力势能减少了，B球重力势能增加了，所以，
两小球的重力势能之和减少了
（2）由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，系统机械能守恒，两球重力势能之和的减少等于两球动能的增加，设A球转到最低点时，A、B的线速度分别为v A、v B，则：
因两球固定在同一个圆盘上，转动过程中角速度相等，所以v A=2v B
解得：
（3）设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ，
此时A、B两球的速度均为零，A的机械能减少了
B的机械能增加了
从能量转移的角度列式得：
又有
解得：（舍去负根）
即θ=37°
本题也可以规定圆盘中心所在的水平面为零势能面，则有：
这样做也很简捷明了。

巩固练习：
解：重物先向下加速，然后向下减速，当重物速度为零时，下降的距离最大。

此时质量为m的重物速度也为零，根据系统机械能守恒，M机械能的减少量等于m机械能的增加量，设下降的最大距离为h 。

（另解h=0舍去）
本题如果规定零势能面从守恒角度列式，就显得很不方便，也没有必要。