特殊三角比
直角三角函数特殊值
直角三角函数特殊值
直角三角函数特殊值是数学里讨论三角函数（sine，cosine和tangent）的特殊值的统称，有很多人认识它们，因为它们曾在大多数课堂上受到传播。
直角三角函数特殊值关乎直角三角形的角的特殊度；尤其常见的有30°、45°和60°。
直角三角形的角的三角函数的值取决于那些角所对应的三条边的比值。
正弦函数的特殊值是pi/6，它的值为1/2，表示直角三角形夹角为30°时，弦长和高的比例是1:2；同理，余弦函数和正切函数的特殊值是pi/4，它们的值分别为根号2/2和1，分别表示直角三角形夹角为45°时，弦长和高的比例是根号2:2和1:1。
除了上述常见的特殊值外，还有特殊值用于借助欧拉函数来计算的特殊三角函数。
它们的角度是弧度制，而不是角度制所熟知的角度。
欧拉函数是一种不常见但非常有用的特殊函数，也是研究物理和数理学的有力工具。
更进一步，根据半圆的长度可以用“再平分”的方法计算特殊值，减少计算量。
根据半径与角度的关系，可以把整个半圆划分为等份，使每个角度等于这个半圆周长跟等分份数的比值。
最后，三角函数特殊值几乎是所有学科学习中无处不在的——不仅在数学，还在物理，工程等。
特殊值的核心思想在很多领域有相似的应用，正是这些概念定义了它们的强大功能，使它们成为一种非常重要的数学工具和技术手段。
如何求解等腰直角三角形的直角边
如何求解等腰直角三角形的直角边求解等腰直角三角形的直角边常被用于解决各类几何问题。
在本文中，我们将详细讨论三种常见的方法来求解等腰直角三角形的直角边，分别是勾股定理方法、正弦定理方法和特殊三角比值方法。
一、勾股定理方法勾股定理是求解直角三角形的重要定理，它表明一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
对于等腰直角三角形来说，直角边的长度相等，所以可以利用勾股定理求解。
假设等腰直角三角形的直角边长为a，斜边长为c。
由勾股定理可得：a^2 + a^2 = c^2，即2a^2 = c^2。
则可以得到直角边的长度为a =√(c^2/2)。
二、正弦定理方法正弦定理是解决三角形中任意一边与该边对应的角度以及另外两边的关系的定理。
当已知等腰直角三角形的斜边长c和顶角A时，可以利用正弦定理方法来求解直角边的长度。
根据正弦定理，有 sinA/a = sin90°/c。
由于sin90° = 1，可得sinA/a = 1/c，即a = c*sinA。
三、特殊三角比值方法等腰直角三角形有一个特点是其两个直角边的比值为1:1。
利用这一特点，可以通过特殊三角比值方法来求解直角边。
假设等腰直角三角形的直角边长为a，斜边长为c。
由于a/c = 1/1，可得到直角边的长度为a = c/√2。
综上所述，我们可以通过勾股定理方法、正弦定理方法或特殊三角比值方法来求解等腰直角三角形的直角边。
不同的方法在不同的情况下可能更加适用，具体使用哪种方法要根据具体问题和已知条件来确定。
在实际应用中，根据所求解的问题来选择合适的方法，可以更好地解决等腰直角三角形的直角边的求解问题。
三角特殊角的三角函数值表
三角特殊角的三角函数值表在数学中，三角函数是研究角和三角形相互关系的重要工具。
而三角特殊角是指具有特殊角度的三角函数值，它们的数值是可以直接计算得到的，不需要使用计算器或查表。
本文将为大家介绍三角特殊角的三角函数值表。
一、正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，表示一个角的对边与斜边的比值。
在三角特殊角中，我们可以得到以下三个角的正弦函数值：1. sin(0°) = 0：当角度为0°时，对边为0，斜边不为0，所以sin(0°) = 0。
2. sin(30°) = 1/2：当角度为30°时，对边为斜边的一半，所以sin(30°) = 1/2。
3. sin(45°) = √2/2：当角度为45°时，对边与斜边相等，所以sin(45°) = √2/2。
二、余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中另一个基本的函数，表示一个角的邻边与斜边的比值。
在三角特殊角中，我们可以得到以下三个角的余弦函数值：1. cos(0°) = 1：当角度为0°时，邻边为斜边，所以cos(0°) = 1。
2. cos(30°) = √3/2：当角度为30°时，邻边为斜边的一半，所以co s(30°) = √3/2。
3. cos(45°) = √2/2：当角度为45°时，邻边与斜边相等，所以cos(45°) = √2/2。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中最后一个基本的函数，表示一个角的对边与邻边的比值。
在三角特殊角中，我们可以得到以下三个角的正切函数值：1. tan(0°) = 0：当角度为0°时，对边为0，邻边不为0，所以tan(0°) = 0。
2. tan(30°) = 1/√3：当角度为30°时，对边为邻边的三分之一，所以tan(30°) = 1/√3。
锐角三角比评分标准
锐角三角比评分标准
锐角三角比（trigonometric ratio）是指一个锐角的正切、余切、正弦、余弦的统称。
三角比是三角学的基本概念之一，指三角函数定义中的两线段的数量比。
三角比一共有六个，分别是正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）。
这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。
关于锐角三角比的评分标准，由于它通常与具体的数学问题或练习相关，并没有一个统一的标准。
然而，在评分时，通常会考虑以下几个方面：
1.准确性：学生的答案是否准确地计算了三角比的值。
2.理解：学生是否理解三角比的概念和如何应用它们。
3.方法：学生是否使用了正确的方法来计算三角比。
4.清晰性：学生的答案是否清晰明了，易于理解。
具体的评分标准可能会因教师、学校或课程而异。
因此，建议查阅相关课程大纲或与教师沟通以了解具体的评分要求。
2.2特殊角的三角比
2 2 2 + = + AC BC 1 1 = 2． 2
B 1
BC 1 2 = = sin45°= ； AB 2 2
cos45°=
AC 1 2 = = ； AB 2 2
2
BC 1 = =1 ． tan45°= AC 1
A
45° 1
C
sin30°,cos30 °,tan30 °的值分别是多少？
45°
60°
sin α cosα
1 2
3 2 3 3
2 2
2 2 1
要能记 住有多 好
3 2 1 2
3
tanα
这张表还包含许多知识之间 的内在联系，你能发现那些 规律，请同学交流一下。
找到规律，事半功倍
角α
30°
45°
60°
三角比
sin α cosα tanα
1 2 3 2 3 3
2 2 2 2
0 1
4
课堂小测
3 30° 填空（1）若A为锐角， tanA= ,则A=_____ 3 1 3
sinA= _____，cosA=______ 2 2 ⑵已知cosB= 3 ,且∠A=90﹣∠B,则 sinA=____ 3 2
2
3 选择1 、 已知为锐角，cos = ， 则 sin 的值为（ B ） 2 3 1 3 A B C D 3 2 2 3 2 3 2、 在ABC中， 若 sin A = ，tan B = , 则这个三角形一定是 （ 2 3 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
3Hale Waihona Puke 2,解：因为A是锐角，并且sinA ＝
3
sin60 ° = 3
三角函数的特殊角度
三角函数的特殊角度在数学中，三角函数是研究角度和边长关系的重要工具。
三角函数有很多特殊的角度，它们的取值可以用简单的分数或根号表示。
本文将探讨三角函数中的特殊角度，包括正弦、余弦和正切。
一、正弦函数的特殊角度1. 特殊角度π/6：正弦函数sin(π/6) = 1/2，即 sin(30°) = 1/2。
这是一个非常常见的角度，它出现在很多问题中。
2. 特殊角度π/4：正弦函数sin(π/4) = √2/2，即sin(45°) = √2/2。
这个角度同样非常常见，经常用于讨论直角三角形中的比例关系。
3. 特殊角度π/3：正弦函数sin(π/3) = √3/2，即sin(60°) = √3/2。
这个角度出现在六边形等问题中，具有重要的几何意义。
二、余弦函数的特殊角度1. 特殊角度π/3：余弦函数cos(π/3) = 1/2，即 cos(60°) = 1/2。
与正弦函数π/6 相互补，也具有重要的几何意义。
2. 特殊角度π/4：余弦函数cos(π/4) = √2/2，即cos(45°) = √2/2。
与正弦函数π/4 相等。
3. 特殊角度π/6：余弦函数cos(π/6) = √3/2，即cos(30°) = √3/2。
与正弦函数π/3 相互补，也具有重要的几何意义。
三、正切函数的特殊角度1. 特殊角度π/4：正切函数tan(π/4) = 1，即 tan(45°) = 1。
这是一个非常重要的角度，经常出现在直角三角形中的问题中。
2. 特殊角度π/6：正切函数tan(π/6) = √3/3，即tan(30°) = √3/3。
与余切函数的值互为倒数。
3. 特殊角度π/3：正切函数tan(π/3) = √3，即tan(60°) = √3。
与余切函数的值互为倒数。
特殊角度在数学和实际问题中有广泛的应用。
通过熟练掌握这些特殊角度的三角函数值，我们能够更快地解决数学问题，并在实际应用中灵活运用。
30度,45度,60度的三角比
八年级数学教学案 第1页 八年级数学教学案 第2页9.2 30°，45°，60°角的三角比导学案学习目标：1. 理解、记忆、应用30︒、45︒、60︒特殊锐角的三角比。
2．通过特殊直角三角形进一步加深对锐角三角比的认识及互余两角的三角比之间的关系，探索记忆方法。
3．体验数形结合的数学方法和自主探索获得知识的学习过程。
教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算 难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值 一、问题引领，自主探究问题1：如图，把两个全等的含有300的三角板拼成如图所示的△ADC ，思考：△ADC 是什么形状的？图中BC 的长与AC 的长有什么关系？由此得到： 300角所对的直角边等于斜边的______________。
因此，在直角三角形中，如果设300角所对的直角边等于1,那么斜边一定为 。
由勾股定理可求得另一条直角边为 。
问题2：在如图所示的直角三角形中，如果设450角所对的直角边为1，则另一直角边为 ，斜边为 。
二、合作交流，发现规律任务一、根据上述推导结果，完成表格从填写的表格中，你发现了那些规律？合作交流。
备注：当A ，B 都是锐角时，如果sinA=sinB ，cosA=cosB ，或者tanA=tanB ，那么A=B. 三、例题精练，巩固新知例1计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）︒-3031cos ；（3）︒-︒+︒45456022tan cos sin 。
例2填空：（1）已知∠A 是锐角，且cosA =21，则∠A = °，sinA = ；（2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °； （3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °；探究题！如图，作边长为1 的正方形ABCD ．延长边CB 到D ，使B D ′＝ B D ，连接D D ′ ．你能利用这个图形求出22.5°角的正切的值吗？试一试．四、当堂训练，提升自我 1、2cos60°的值等于（ ） 2、已知a 为锐角，且sin （a-10°）=23，则a 等于（ ）3、如果△ABC 中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（ ）A ．△ABC 是直角三角形，B ．△ABC 是等腰三角形，C ．△ABC 是等腰直角三角形，D ．△ABC 是锐角三角形4、一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
锐角三角比
锐角三角比复习1.定义：①正弦（sin）等于对边比斜边；②余弦（cos）等于邻边比斜边；③正切（tan）等于对边比邻边；④余切（cot）等于邻边比对边。
•注意：若角的大小不变，无论角所对的边如何变化，角的三角比恒不变。
2.关系：①锐角三角比中，tanA＞0，cotA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1②在同一个三角形中，∠C=90°，∠A+∠B=90°,tanA=cotB，sinA=cosB③tanA×cotA=1，sinA²+cosA²=1，tanA= sinA／cosA，cotA= cosA／sinA④tanA＞sinA，cotA＞cosA，（锐角）∠A=∠B→sinA=sinB⑤sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα；tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα3.特殊锐角三角比的值：4.锐角三角函数值的变化情况：①锐角三角函数值都是正值②当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
③当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0。
当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA＞0, cotA＞0。
5.解直角三角形：①直角三角形中六个元素：三角三边。
②直角三角形可解条件：⑴已知：一角一边（除直角以外）⑵已知：两边（除直角以外）③直角三角形中边的关系：a²+b²=c²·注意：若已知的一个三角形不是直角三角形，则通常由已知元素来构造直角三角形，把它划归为解直角三角形。
锐角三角比讲义
【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC中，A∠为一锐角，则∠A的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边∠A的余弦=A bcos A=c∠的邻边，即斜边,∠A的正切=A atanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A的余切=A a=A b∠的邻边，即cotA∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。
（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。
求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。
（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。
高中数学三角比公式归纳（最全）
三角比全章基础知识归纳1、常见的角度与弧度的相互转化角度数弧度数角度数弧度数30210452406027090300120330150135180752、扇形的弧长与面积角度值下．．．．的弧长公式与面积公式（其中n 为扇形的圆心角的角度数，R 为扇形半径）弧长公式：________l；面积公式：________S；弧度制下．．．．的弧长公式与面积公式弧长公式：________l；面积公式：________S ；3、一些特殊角的三角比值643223sincostan cot4、各三角比在每个象限的符号角属于的象限sin cos tan cot 第一象限第二象限第三象限第四象限5、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）第1组cos____________________；k2sin____________________；k2cot____________________；k2tan____________________；k2第2组sin____________________；cos____________________；tan____________________；cot____________________；第3组sin____________________；cos____________________；tan____________________；cot____________________；第4组sin____________________；cos____________________；tan____________________；cot____________________；第5组2sin____________________；2cos____________________；2tan____________________；2cot____________________；第6组2sin____________________；2cos____________________；2tan____________________；2cot____________________；6、同角三角比关系【商数关系】________cossin ；________sincos ；【平方关系】22cossin____________________；2t a n1____________________；2cot1____________________；【倒数关系】sec ____________________；csc________________；tan____________________；三点总结：①切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”；②弦化切，一般和“齐次式”有关，通过分式上下同时除以cos 或2cos 得到“切”；③1的代换，通过平方关系，将1带换成所需的三角比；7、三角恒等变换【两角和与差的正弦、余弦、正切公式】sin ____________________；sin ____________________；cos____________________；cos____________________；tan____________________；tan____________________；【辅助角公式】sin cosa b =_____________________________________________；常见类型：4sin2cos sin 6sin2cos sin 33sin2cos 3sin 【倍角公式】2sin ____________________；2cos ____________________=____________________=____________________；2tan ____________________；【半角公式】2sin____________________；2cos____________________；2tan____________________；2cot____________________；2tan____________________=____________________；8、其他公式及恒等变换【降幂公式】2sin2____________________；2cos2____________________；【升幂公式】cos 1____________________；cos 1____________________；sin 1____________________；sin 1____________________；1____________________；sin____________________；【万能置换公式】sin___________________；cos___________________；tan___________________；【常见公式变形】_________cos1；_________cos1；_________2sin 1；_________2sin 1_______tan1tan 1；_______tan1tan 1；【常见角的变换】；22；442；2；2；222；2229、解三角形【三角形面积计算公式】S___________________=___________________=___________________；18、【正弦定理公式】Aa sin ________=_______=__________=_________；19、【余弦定理公式】2a ___________________；A cos ___________________；2b ___________________；B cos ___________________；2c___________________；Ccos ___________________；10、三角形中常见结论。
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1
3
例1 求下列各式的值
(1) sin30o . cos45o (2) tan45o_ cos60o
驶向胜利 的彼岸
学以致用
驶向胜利 的彼岸
练习 1.求下列各式的值： （1） sin30o+cos60o （2） tan30o . tan60o （3）2sin60o- tan30o （4） sin45o . cos45o+tan45o
根据30 ,45 ,60 角的三角比直接 求得相应的锐角
例2 在Rt△ABC中，已知sinA= 3 2 求锐角A的度数。
变式练习： 已知a是锐角，当a= cosa=
o
o
o
时，tana=1，这时
小结：
30o
驶向胜利 的彼岸
45o 1
2
2
3
60o
1
1
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
如图，作等腰直角三角形ABC，∠C=90°， 延长边CA到D，使AD=AB，连接DB。你能利用 图求出22.5o角的正切值吗？试一试。
九年级数学（上）第二章 解直角三角形
2.2 30 ,45 ,60 角的三角比
o o o
驶向胜利 的彼岸
实验中学 杜秀华
齐心协力，异口同声， 驶向胜利 的彼岸 共回忆
a b a sin A , cos A , tan A , c c b
a b b sin B , cos B , tan B , c c a
B
D
A
C
课堂测评
1.计算; 1 (1)tan450-sin300; 2 1 (2)cos600+sin450-tan300;
2、填空： (1)已知tanａ= 3 ,则ａ=（ 600 ） (2) 已知ａ为锐角，cosａ=
1 ,则tanａ=( 2
2 3 2
3 )
课下作业
你能做的很好，相信你！！！！ 课本44页习题2.2 1. 2. 3
自己动手，静心思考， 悟真理
驶向胜利 的彼岸
1.请同学们自己动手，每人画一个角为45o 的直角三角形。 思：三边的关系
2 悟： sin45o= 2
cos45o=
2 2
每人画 一个角为30o的直角三角形。
思：三边的关系
悟： sin30o= cos30o=
1 2
A B c a b ┌ C
明确任务，全力以赴， 驶向胜利 的彼岸 齐努力
1.经历探索30 ,45 ,60 角的三角比的过程， 知道求出这些特殊角的三角比的方法， 熟记这些特殊角的三角比的值。 2.会计算含有特殊角三角比的式子。 3. 会根据30o,45o,60o角的三角比直接求得 相应的锐角。
o o o
3 2
驶向胜利 的彼岸
3 tan30o= 3
乘胜追击，越战越勇， 要加油
sin60o= 3 2 cos60o= 1
驶向胜利 的彼岸
2
tan60o=
3
寻规找律，数形结合 巧记忆
三角函数 锐角α 正弦sinα
驶向胜利 的彼岸
30
o
45o
2 2
60o
3 2
1 2
3 2 3 3
余弦cosα
2 2
1 2
正切tanα