平面向量基本定理及坐标表示
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示
uuur 4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB＝a，
uuur
uur
uuur
uuur
BC ＝b，CA＝c，且CM ＝3c，CN ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； uuuur
(3)求M、N的坐标及向量 MN 的坐标．
返回
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.，
返回
(2)设
uuur OA
＝xi＋yj，则向量
uuur OA
的坐标(x，y)就是终点A
的坐
标，即若
uuur OA
＝(x，y)，则A点坐标为
(x，y)
，反之亦成
立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ．
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2011·北京西城区期末)已知点 A(－1,1)，点 B(2，y)，向量
uuur a＝(1,2)，若 AB∥a，则实数 y 的值为
()
A．5
B．6
C．7
D．8
uuur
uuur
解析：因为 AB＝(3，y－1)，a＝(1,2)， AB∥a，
平面向量的基本定理及坐标表示课件
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线． → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－ . 2
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → (2)∵CA＝(－2，－4)，BC＝(1,1)， → → → → → ∴MN＝CN－CM＝－2BC－3CA ＝(－2，－2)－(－6，－12)＝(4,10)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → 则CM＝(x1－3，y1－2)，CN＝(x2－3，y2－2)， → → → → ∵CM＝3CA，CN＝－2BC， ∴(x1－3，y1－2)＝(－6，－12)．
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → → → 1 解析： ∵2DC＝AB，∴2DC＝e2，∴DC＝ e2. 2 → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， → 1 1 ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝2DA＋AB＋2BC 1 3 1 1 ＝－ e1＋e2＋ e1－2e2＝ e2. 2 2 4
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(x2－3，y2－2)＝(－2，－2)，
x1－3＝－6 x2－3＝－2 ∴ ， ， y1－2＝－12 y2－2＝－2 x1＝－3 x2＝1 ∴ ， ， y1＝－10 y2＝0
6.3平面向量基本定理及坐标表示
数学 必修 第二册
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【变式 2】 在△ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，点 D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F， 求D→F的坐标．
解析 因为 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以A→B＝(3－7，5－8) ＝(－4，－3)，A→C＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又 D 是 BC 的中 点，所以A→D＝12(A→B＋A→C)＝－72，－4.因为 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点．所以D→F＝－21A→D＝74，2.
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【例题 2】 已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B， A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
思维导引：先求出向量的坐标，再根据运算法则进行求解． 解析 因为 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以A→B＝(7－4，5－6) ＝(3，－1)，A→C＝(1－4，8－6)＝(－3,2)，所以A→B＋A→C＝(3，－ 1)＋(－3,2)＝(0,1)，A→B－A→C＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2A→B
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3．向量的坐标表示 在向量 a＝(x，y)的直角坐标平面中，___x___叫做 a 在 x 轴上 的坐标，___y___叫做 a 在 y 轴上的坐标，___a_＝__(x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝__(_1_,0_)__，j＝__(_0_,1_)__，0＝ (0,0)．
8.2 平面向量的分解及向量的坐标表示
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).。
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
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平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2。
平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1），b＝（x2,y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1），｜a|＝错误!。
(2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标。
②设A（x1，y1）,B（x2,y2），则错误!＝(x2－x1,y2－y1）,|错误!｜＝错误!。
3。
平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1），b＝(x2,y2）,其中b≠0。
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1。
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（×）（2)在△ABC中，向量错误!，错误!的夹角为∠ABC.（×）(3）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2，μ1＝μ2。
(√)(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（√)（5)若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（×) （6）已知向量a＝（1－sinθ，1），b＝(错误!，1＋sinθ），若a∥b，则θ等于45°。
(×) 2。
已知点A（6,2)，B（1，14），则与错误!共线的单位向量为________.答案(－错误!，错误!)或(错误!，－错误!）解析因为点A（6，2）,B（1，14）,所以错误!＝(－5,12），｜错误!｜＝13,与错误!共线的单位向量为±错误!＝±错误!（－5,12）＝±（－错误!，错误!）.3。
已知A (－3，0）,B （0，2),O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内,|错误!｜＝2错误!，且∠AOC ＝错误!,设错误!＝ λ错误!＋错误!（λ∈R ),则λ的值为________。
答案错误!解析过C 作CE ⊥x 轴于点E （图略)。
由∠AOC ＝错误!,知OE ＝CE ＝2，所以错误!＝错误!＋错误!＝λ错误!＋错误!,即错误!＝λ错误!，所以(－2，0)＝λ(－3,0），故λ＝错误!。
4.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，错误!＝（2，4）,错误!＝(1，3）,则向量错误!的坐标为__________。
答案(－3，－5）解析∵错误!＋错误!＝错误!，∴错误!＝错误!－错误!＝(－1，－1）,∴BD ，→＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝（－3,－5).5。
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.答案错误!解析∵错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!＝错误!（错误!－错误!）,∴错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!。
题型一平面向量基本定理的应用例1在△ABC 中,点P 是AB 上一点，且错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又错误!＝t 错误!，试求t 的值.思维启迪根据题意可选择错误!，错误!为一组基底，将错误!，错误!线性表示出来，通过错误!＝t 错误!键立关于t 的方程组，从而求出t 的值.解∵错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,∴3错误!＝2错误!＋错误!，即2错误!－2错误!＝错误!－错误!,∴2错误!＝错误!,即P 为AB 的一个三等分点（靠近点A ），如图所示。
∵A，M,Q三点共线,∴设错误!＝x错误!＋(1－x)错误!＝错误!错误!＋（x－1）错误!，而错误!＝错误!－错误!，∴错误!＝错误!错误!＋(错误!－1)错误!.又错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!,由已知错误!＝t错误!可得，错误!错误!＋（错误!－1）错误!＝t（错误!错误!－错误!)，∴错误!，解得t＝错误!。
思维升华平面向量基本定理表明,平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解。
如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是BN上的一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为________.答案311解析设｜错误!｜＝y,｜错误!｜＝x，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!，①错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，②①×y＋②×x得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，令错误!＝错误!，得y＝错误!x，代入得m＝错误!。
题型二平面向量的坐标运算例2已知A(1，－2)，B(2,1),C（3，2），D（－2,3）,（1)求错误!＋2错误!－3错误!;(2)设错误!＝3错误!，错误!＝－2错误!，求错误!及M、N点的坐标.思维启迪（1）直接计算错误!、错误!、错误!的坐标，然后运算;（2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标。
解（1）∵A（1,－2)，B(2，1),C（3，2),D(－2，3），∴错误!＝（－2－1,3＋2)＝（－3,5）,错误!＝（－2－2,3－1）＝（－4，2），错误!＝（3－2,2－1）＝（1,1),∴错误!＋2错误!－3错误!＝（－3,5)＋2（－4,2）－3(1，1)＝（－3－8－3,5＋4－3）＝（－14，6）。
(2）∵错误!＝3错误!，错误!＝－2错误!，∴错误!＝错误!－错误!＝－2错误!－3错误!＝－2错误!＋3错误!,由A、B、C、D点坐标可得错误!＝（3，2）－(1，－2）＝（2，4）.∴错误!＝－2（1，1)＋3(2，4)＝(4,10）。
设M(x M，y M)，N（x N，y N）。
又错误!＝3错误!，∴错误!－错误!＝3(错误!－错误!）,∴（x M，y M）－(3,2)＝3[（1，－2）－（3,2）］＝(－6，－12）。
∴x M＝－3,y M＝－10，∴M（－3，－10)。
又错误!＝－2错误!，即错误!－错误!＝－2错误!，∴（x N，y N）－（3,2)＝－2(1，1)，∴x N＝1，y N＝0,∴N(1,0）.思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.已知A（－2，4)，B（3，－1)，C（－3，－4).设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝3c，错误!＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n;(3）求M、N的坐标及向量错误!的坐标.解由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3）,c＝（1，8）.(1）3a＋b－3c＝3(5，－5）＋(－6，－3）－3（1，8)＝(15－6－3,－15－3－24)＝（6，－42）。
（2）∵m b＋n c＝(－6m＋n,－3m＋8n),∴错误!解得错误!（3)设O为坐标原点,∵错误!＝错误!－错误!＝3c，∴错误!＝3c＋错误!＝（3,24）＋(－3,－4)＝（0，20）.∴M(0，20）。
又∵错误!＝错误!－错误!＝－2b,∴错误!＝－2b＋错误!＝（12，6）＋(－3,－4)＝（9,2),∴N（9,2）.∴错误!＝(9，－18）.题型三向量共线的坐标表示例3(1）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB,三个顶点A(1，2），B(2，1），C(4,2)，则点D的坐标为________。
(2）已知向量a＝（3，1），b＝(1，3),c＝(k，7），若（a－c)∥b，则k＝________。
思维启迪（1）根据向量共线列式求相关点的坐标；(2）根据向量共线求参数。
答案（1）（2，4)(2）5解析（1）∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴错误!＝2错误!。
设点D的坐标为（x，y），则错误!＝（4,2)－（x，y)＝(4－x，2－y),错误!＝（2，1）－（1，2)＝(1，－1），∴(4－x,2－y)＝2(1,－1)，即（4－x,2－y）＝（2,－2)，∴错误!,解得错误!，故点D的坐标为（2,4）。
（2）依题意得a－c＝（3，1）－(k，7）＝（3－k，－6）,又∵（a－c)∥b,故错误!＝错误!,∴k＝5。
思维升华（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝（x1，y1）,b＝(x2,y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b（a≠0），则b＝λa.（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数。
当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解。
（1）已知向量a＝（1，2)，b＝(1,0），c＝（3，4)。
若λ为实数，（a＋λb）∥c,则λ＝_______。
（2)已知向量错误!＝（3，－4）,错误!＝(6，－3),错误!＝（5－m,－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________。
答案（1）错误!（2）m≠错误!解析（1）∵a＝（1，2），b＝（1，0),∴a＋λb＝（1，2）＋λ（1,0)＝(1＋λ，2）,由于（a＋λb）∥c，且c＝（3，4），∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝错误!。
(2)因为错误!＝(3,－4），错误!＝（6，－3），错误!＝（5－m,－3－m)，所以错误!＝(3,1），错误!＝（－m－1,－m).由于点A、B、C能构成三角形,所以错误!与错误!不共线,而当错误!与错误!共线时，有错误!＝错误!，解得m＝错误!，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠错误!。
方法与技巧1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解。
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定。
失误与防范1。
要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线有方向相同、相反两种情况。
2。
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x2,y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.一、填空题1。