绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
绝对值三角不等式的证明方法
绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。
在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。
1. 利用三角函数的定义：- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。
2. 利用绝对值的性质：- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。
- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。
3. 利用三角函数的周期性：- 正弦和余弦函数的周期都是2π。
即sin(x + 2π) = sin(x) 和cos(x + 2π) = cos(x)。
下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。
证明过程：1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。
即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。
因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。
因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。
6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。
根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。
绝对值三角不等式
3
, | y |
| x | 2 | y | 3 | z |
6 , | z |
9
2 3 | x | 2 | y | 3 | z | 3 6 9
| x 2 y 3z |
例3 求证
ab 1 a b
a 1 a
你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
| a1 a2 + an | | a1 | | a2 | | a3 |
例1 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab .
xy 证明： ab xy ya ya ab yx a a y b
问题3： |a-b| ≤|a| +|b| ，当且仅 当 ，等号成立.
二维绝对值不等式 | a b || a | | b |
当且仅当 时，等号成立.
问题4：试用几何法证明 问题5：试用代数法证明
定理2 如果a,b,c是实数,那么
a c a b bc
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
y x a a y b M a . 2M 2a
例2已知 | x | .
3
, | y |
6
, | z |
9
求证：x 2 y 3z | |
证明：x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z | |
| x | | 2 || y | | 3 || z |
绝对值三角不等式
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)f(a)|<2(|a|+1).
证明:|f(x)-f(a)|=|(x-a)·(x+a-1)|<|x+a-1|≤|x|+|a|+1.
∵|x|-|a|≤|x-a|<1,
A.|a|<|b|+|c|
B.|c|<|a|+|b|
C.b>||c|-|a||
D.b<|a|-|c|
)
题型一
题型二
题型三
解析:由|a-c|<b,知b>0,∴b=|b|.
∵|a|-|c|≤|a-c|,
∴|a|-|c|<b,则|a|<b+|c|=|b|+|c|.
故A成立.
同理由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
∴|x|≤|a|+1.
∴|x|+|a|+1<2(|a|+1).
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
谢谢！
1+||+||
||
||
||
||
+
≤
+
,
1+||+|| 1+||+|| 1+|| 1+||
| + |
||
||
∴
≤
+
.
1 + | + | 1 + || 1 + ||
绝对值三角不等式 课件
例 2 设 ε＞0，|x－a|＜ε4 ，|y－b|＜ε6 .
求证：|2x＋3y－2a－3b|＜ε. 分析：将 2x＋3y－2a－3b 写成 2(x－a)＋3(y－b)的形式后利用
定理 1 和不等式性质证明．
证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤ |2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|＜ 2×ε4 ＋3×ε6 ＝ε.
证明：|xy－ab|＝|xy－bx＋bx－ab| ＝|x(y－b)＋b(x－a)|≤|x(y－b)|＋|b(x－a)| ≤|x||y－b|＋|b||x－a| <A·2ε＋A·2ε＝Aε. 所以有|xy－ab|<Aε.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
例 3 设 m 等于|a|、|b|和 1 中最大的一个．当|x|>m a b
时，求证：x＋x2<2.
分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、 |b|和 1 这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将 十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|， m≥1.
证明：∵m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，|x|>m，
总之，恒有|a|＋|b|≤16. 而a＝8，b＝－8时， 满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16. 因此|a|＋|b|的最大值为16.
3．求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
分析：若把x－3，x＋1看作两个实数，则所给的代数 式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数 和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而 可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的 是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．
绝对值三角不等式
同理，与原点距离大于3的点对应的实数 可表示为：
x 3
如图
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几 何意义是什么？
A a
|a-b| b
B x
探究
设a, b为实数， 你能比较 间的大小关系吗？
当ab>0时，
当ab<0时， 当ab=0时，
a b 与 a b
之
a b a b a b a b a b a b
c ） 练习.a、b R，且ab 0，则有（
(A) a b a b (C ) a b a b (B) a b a b (D) a b a b
解法一: (D)显然不对，(A)、(B)可两边 平方判断是错误的，故应选(C). 解法二: （特殊值法）取a=1， b=-1即可。
例2. 已知 | x |
3
, | y |
6
, | z |
9
求证： | x 2 y 3z |
证明： | x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z |
| x | | 2 || y | | 3 || z |
| x |
3
绝对值三角不等式
复习
（一）绝对值的定义： 对任意实数a，
a (当a 0时) a （当 0 a 0时） a（当a 0时）
积商绝对值的性质
a a ab a b ， b 0. b b
当 a 0 时，有： x ax a xa
2 2
或 x a.
| x | 2 | y | 3 | z |
, | y |
6
, | z |
绝对值三角不等式课件
【防范措施】 正确求参数的取值范围 应用绝对值三角不等式求参数的取值范围是重点考查题型 ,解 答本题的关键是,正确应用绝对值三角不等式求出最值,再根 据题意,求出参数的取值范围,如本例关键是对条件关于x的不 等式|x-3|+|x-4|>a的解集不是R的正确理解.
【类题试解】若不等式|x-1|+|x+3|≥a恒成立，则a的取值范 围是______. 【解析】因为a≤|x-1|+|x+3|恒成立，故a小于等于 |x-1|+|x+3|中的最小值， 又|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4, 故a≤4,即a的取值范围是(-≦,4］. 答案：(-≦,4］
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围 是_____. 【解析】|x－1|+|x－5|=|x－1|+|5－x| ≥|x－1+5－x|=4， 当且仅当(x－1)(5－x)≥0, 即1≤x≤5时等号成立. 答案：4 ［1,5］
类型 三
含绝对值不等式的证明
【典型例题】
(x－4)(x－ 3) 0， 当且仅当 3|， | x－4 || x－
即x≤3时, f(x)取最大值1.
【变式训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均成立， 则实数a的取值范围是_____.
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围是_____.
【变式训练】若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均 成立，则实数a的取值范围是_____. 【解析】|x-a|+|x-2|≥1恒成立， 绝对值不等式的几何意义：数轴上 x到a与x到2的距离之和的 最小值为1. 当a=1或a=3时，对任意的x距离和的最小值为1，所以当a≤1 或a≥3时该不等式恒成立, a∈(-≦,1］∪［3,+≦). 答案：(-≦,1］∪［3,+≦)
绝对值三角不等式 课件
1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为 符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．
2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放 缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b| 的理解和应用．
2．解决此类问题应从两个方向看推出关系来进行求 解．
条件不变，试求： (1)||a|a|－ －b|b|||＜1成立的充要条件； (2)|a|a|＋ ＋b|b||＞1成立的充要条件． 【解】 (1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔|a|a|－ －b|b||＜1，
含绝对值不等式的证明
设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时， 求证：|ax＋xb2|<2.
【思路探究】 不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|， m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．
【自主解答】 依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1， 又|x|>m， ∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|. 因此|ax＋xb2|≤|ax|＋|xb2| ＝||ax||＋||xb2||<||xx||＋||xx|22|＝2， 即|ax＋xb2|<2.
2．你能给出定理2的几何解释吗？
【提示】 在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A， B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B 不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.
绝对值不等式的理解与应用
已知a，b∈R，则有 (1)|a|a|－ －b|b||≤1成立的充要条件是________； (2)|a|a|＋ ＋b|b||≥1成立的充要条件是________． 【思路探究】 利用绝对值三角不等式定理分别求解．
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绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
2、三角不等式等号成立的条件。
（1）|a|-
|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a|-|b||=|a±b|成立。
（2）绝对值三角不等式|a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a|-|b||=|a±b|成立。
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|相反。
（3）||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|a-b|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a|-|b||=|a-b|成立。
（4）绝对值三角不等式公式||a|-
|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。