《高等几何》 教学大纲

《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》（Projective Geometry）二、课程性质数学与应用数学专业限选课。

它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。

本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。

本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。

通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。

前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。

三、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。

尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。

四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则；2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；5、讲解法与自学相结合的原则。

五、课程总学时72学时，习题课占1/5。

六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。

二、本章主要内容：第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。

2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。

第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。

2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。

第三节仿射坐标1、深刻理解仿射坐标系和仿射坐标的定义，理解“笛卡儿坐标系是仿射坐标系”的确切含义。

2、握共线三点单比的坐标表示、仿射变换的代数表示-----基本定理、点变换与仿射变换之间的关系，认识几种特殊的仿射变换----正交变换、位似变换、相似变换和压缩变换。

第四节仿射性质1、握仿射变换的性质和仿射不变量的概念以及仿射性质的证明方法，特别是两个多边形面积之比、两个封闭图形面积之比是仿射不变量。

2、理解和掌握透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念。

理解和掌握不变点、不变直线的求法，以及判断图形的仿射性质和仿射不变量。

一、本章教学重点：仿射变换的代数表示和仿射变换的性质。

二、本章教学难点：仿射变换的应用。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第二章射影平面（计划学时12）一、本章教学目标：通过本章的学习，理解射影平面不同于欧式平面的特点，熟练掌握德萨格定理德应用，掌握齐次坐标以及复元素。

二、本章主要内容：第一节射影直线和射影平面1、深刻理解拓广欧氏平面的必要性，掌握射影平面、仿射平面和它们与欧氏平面的区别和联系，即对拓广后的欧氏平面有两种不同的观点：一种是仿射观点，另一种是射影观点。

2、掌握图形的射影性质和射影不变量，尤其注意单比不是射影不变量。

3、熟悉笛沙格定理，了解笛沙格定理的图形结构，会运用笛沙格定理和逆定理来证明某些“点共线”或“线共点”的问题及简单的作图问题。

第二节齐次坐标1、理解为什么要引进齐次坐标以及引进齐次坐标的方法和它的作用。

要会用齐次点（线）坐标表示两点(直线)连线（交点）上点(直线)的齐次坐标。

2、理解并掌握直线的坐标和点的方程的概念，会利用它们解决图形的有关问题。

第三节对偶原理1、掌握对偶原理的内容，了解对偶原理在射影几何中的重要地位。

2、熟悉射影平面上的对偶元素、对偶运算、代数对偶、会画对偶图形。

能写出一个命题的对偶命题，会运用对偶原理推证一些简单的命题。

第四节复元素1、了解二维空间复点和复直线、两共轭复直线和两共轭复点的性质。

2、掌握基本的证明方法。

一、本章教学重点：射影直线、射影平面、图形的射影性质、笛沙格定理、齐次坐标、对偶原理等基本概念，两个重要的图形——笛沙格构图和简单四点形(简单四线形)。

二、本章教学难点：笛沙格定理的证明及其应用。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第三章射影变换与射影坐标（计划学时16）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握交比的定义与性质，掌握一维与二维射影变换。

二、本章主要内容：第一节交比与调和比1、掌握点列中四点和线束中四直线交比与调和比的定义及其基本性质，能熟练运用交比的性质和代数表示来进行计算或证明。

2、要明确完全四点形与完全四线形的调和性，善于利用它解决和调和共轭有关的点列或线束的证明问题，掌握利用它仅用直尺做出已知三点（直线）的第四调和点（直线）的方法。

第二节一维射影变换1、深刻理解一维基本形透视对应的意义，掌握三种透视对应的几何特点。

2、重点掌握一维基本形射影对应的定义、性质；明确透视对应和射影对应的关系，掌握利用透视对应链证明射影对应的方法，掌握利用射影对应成为透视的条件证明三点共线或三线共点方法，掌握利用巴卜斯（Pappus）定理求作射影对应（变换）对应元素的方法。

3、对合的定义、性质；了解完全四点形与对合点列的关系从而掌握仅用直尺求作对合对应元素的方法。

第三节一维射影坐标1、熟悉并掌握直线上的射影坐标系、射影坐标的概念、点的笛氏坐标与射影坐标的变换关系及交比的坐标表示。

2、熟练掌握一维射影对应（变换）代数表示和射影变换不变元素的计算以及射影变换成为对合的解析条件；了解对合的不变元素和由它进行的分类。

第四节二维射影变换与二维射影坐标1、理解并掌握二维射影对应的定义和确定条件；熟练掌握二维射影变换及不变元素的求法；注意射影对应和非齐线性对应的等价性，从而联系高等代数知识加深对二维射影对应（变换）的理解。

2、掌握平面上射影坐标的建立方法；明确用笛氏坐标表示的公式或定理对射影坐标同样成立。

一、本章教学重点：一维基本形的射影对应和射影变换，它是二维射影对应（变换）及后面各章内容的重要理论基础。

二、本章教学难点：证明两点列（线束）成射影对应。

解决这个难点的方法是善于利用射影对应的三个等价定义。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第四章变换群与几何学（计划学时4）一、本章教学目标：通过本章的学习，理解变化群的观点，每一种群所对应的相应的几何。

二、本章主要内容：第一节变换群1、掌握变换群的定义及若干个一一变换所成的集合S构成群的两个条件。

2、掌握平面上的四中重要的变换群：射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群。

第二节变换群与几何学1、掌握和理解几何学的群论观点对欧氏、仿射、射影三种几何进行的比较、明确它们各自的研究范围及其相互关系，提高对中学几何内容的认识。

2、充分认识和理解下面两个关系式：射影群仿射群正交群；射影几何仿射几何欧氏几何。

一、本章教学重点：变化群的观点。

二、本章教学难点：三种几何学的关系。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第五章二次曲线的射影理论（计划学时18）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握二次曲线的射影定义，了解Pascal定理和Brianchon定理及其特殊情况，掌握二次曲线射的极点、极线的定义和性质以及配极原则，掌握奇异点的性质和求法。

二、本章主要内容：第一节二次曲线的射影定义1、掌握二阶曲线和二级曲线的定义以及它们的关系，将二级曲线化为二阶曲线，会求二阶曲线的切线方程；2、重点掌握定理1.2和定理1.3以及二阶曲线和二级曲线确定条件。

第二节Pascal和Brianchon定理1、了解Pascal定理和Brianchon定理及其特殊情况，并会利用它们解决二次曲线的有关证明问题和作图问题。

2、充分认识和理解这两个定理也是相互对偶的命题，是射影几何的两个著名定理，它是研究二次曲线射影理论的基础，利用它可以证明其它图形的性质。

第三节极点与极线，配极原则1、掌握二次曲线射的极点、极线的定义和性质，会求出一点关于二阶曲线的极线方程和一直线关于二级曲线的极点的坐标，并会有关作图。

2、掌握配极原则和完全四点形的配极性质——对边三点形是自极三点形。

3、了解配极变换。

第四节二阶曲线的射影分类1、掌握奇异点的性质和求法。

2、理解和掌握二次曲线是如何进行射影分类的，能熟练写出所分类型的标准方程，能明确在射影平面上二次曲线分成五类与在欧氏平面上二次曲线分成九类的原因，即射影分类与度量分类的主要异同，从而加深对二次曲线射影性质的认识，会利用秩判别二次曲线的类型。

一、本章教学重点：二次曲线的射影概念和性质，二次曲线射的极点、极线的定义和性质以及配极原则。

二、本章教学难点：Pascal定理的应用。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第六章二次曲线的仿射性质和度量性质（计划学时16）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握和理解二次曲线与无穷远直线的三种位置关系，掌握中心、直径、共轭直径和渐近线的射影定义比并熟练地运用定义或公式求解问题，理解仿射分类与射影分类的区别，掌握圆点和迷向直线以及拉盖尔（Laguerre）定理和推论，了解二阶曲线的度量分类。

二、本章主要内容：第一节二次曲线与无穷远直线的相关位置1、掌握和理解二次曲线与无穷远直线的三种位置关系的解析条件及当0a 时ij的分类。

2、明确长圆曲线与无穷远直线相交、相切、相离的内在含义。

第二节二次曲线的仿射性质1、掌握中心、直径、共轭直径和渐近线的射影定义，并与中学解析几何中的概念对比，要求会证明两种定义的一致性，熟练地运用定义或公式求解问题。

2、理解和认识无穷远元素的重要性。

第三节二次曲线的仿射分类1、理解仿射分类与射影分类的区别，能通过仿射变换将二阶曲线化为标准形。

2、充分认识和理解：为什么射影分类只有五类，而仿射分类确有十一类呢？其中根本原因是仿射变换中无穷远直线不变。

第四节二次曲线的度量性质1、掌握圆点和迷向直线概念和性质，充分认识圆点在本章中的重要地位。

使无穷远直线不变的射影变换是仿射变换，使圆点变为圆点的仿射变换是相似变换，相似变换比等于1的相似变换是正交变换。

由于正交变换使圆点保持不变，故在讨论二次曲线的度量性质时，常以圆点和迷向直线为基础。

2、掌握拉盖尔（Laguerre）定理和推论，并能在实际中加以应用。

3、要熟悉二阶曲线的主轴、焦点和准线的定义，并与中学解析几何中的定义加以对比。

第五节二次曲线的度量分类1、了解二阶曲线的度量分类与解析几何中的分类的一致性。

2、理解坐标变换和点变换的实质，即两者在表面上看来不同，而其实质都一样，使用的是同一个变换公式。