全同粒子体系
§6.4全同粒子体系的波函数泡利原理
§6.4 全同粒子体系的波函数泡利原理重点：波函数所满足的对称性下面我们首先讨论在不考虑粒子间相互作用时，两个全同粒子组成体系的波函数的对称性问题，然后推广到N个全同粒子体系中去，（一）两个全同粒子体系在不考虑粒子间相互作用时，设两个全同粒子，分别处于i，j态，若哈密顿算符不显含时间，则单粒子的体征值方程为（6.4-1）式中分别表示对应于i，j态的能量，体系的哈密顿算符（6.4-2）体系的能量为（6.4-3）波函数为（6.4-4）这可由（6.4-4）式满足下列本征值方程看出：（6.4-5）交换两粒子坐标，则有（6.4-6）同样有（6.4-7）可见和都的本征函数，本征值都是，这表示体系的能量本征值E是简并的，这种简并由于波函数中交换后得出，故称交换简并。
当两个粒子所处的状态相同，即i=j，则（6.4-4）和（6.4-6）式是同一对称波函数，当两粒子所处状态不同，即，（6.4-4）和（6.4-6）式既不是对称波函数，又不是反对称波函数，不满足全同粒子体系波函数的要求，但可以把它们组合成对称波函数或反对称波函数：（6.4-8）容易证明，归一化常数，显然，都是相的本征函数，并且都属于本征值。
这样，归一化的对称波函数和反对称波函数为：（6.4-9）（6.4-10a）反对称波函数（6.4-10a）可写成行列式形式（6.4-10b）对二个玻色子系统的波函数取（6.4-9）式，二个费密子系统的波函数取（6.4-10a）或（6.4-10b）式。
由这式可见，当i=j，即两粒子状态相同时，就得到，即体系中不能有两个费密子处于同一状态，这是泡利不相容原理在两个粒子组成体系中的表述。
（二）N个全同粒子体系把上述计论推广到含N个全同粒子的体系，设粒子相互作用可以忽略，单粒子的哈密顿算符不显含时间，则有（6.4-11）体系薛定谔方程（6.4-13）的解是（6.4-14）（6.4-15）由此可见：由无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符其本征函数等于各单粒子哈密顿算符本征函数之积，本征能量则等于各粒子本征能量之和。
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
高二物理竞赛课件：量子力学之全同粒子体系的波函数和泡利原理
即 Pˆ12(q1, q 2 ) 和 (q1, q 2 ) 都是能量E 的本征函数，仍有交换简 并，体系的波函数仍可以对称化。
(2)对称化波函数
S
1 2
[
E
(q1
,
q
2
)
E
(q
2
,
q1
)]
A
1 2
[
E
(q1
,
q
2
)
E
(q
2
,
q1
)]
同样可以写成：
S
1 2
P E (q1, q 2 )
P
A
1 2
(2)对称化的波函数
因为粒子不可区分，由全同性原理知要把波函数对称化
当i j 时，S i (q1)i (q2 )
(1)
当 i j 时，(q1, q 2 ) 和 Pˆ12(q1, q 2 ) ，既不对称也不反对称，因
而不满足全同性原理的要求，但可将这两个波函数构造成对称和
反对称化的波函数，即:
C' j (q1 ) j (q 2 ) ... j (q N ) (12)
...
... ... ...
k (q1 ) k (q 2 ) ... k (q N )
关于归一化常数C
N
n!
1
, C'
N!
全同粒子体系概念
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
全同粒子体系中有效哈密顿量微扰法计算
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第4章-2.全同粒子体 西南大学量子力学PPT(考试必备)
§4.２
全同粒子体系的波函数
[本节要求]：深刻理解泡利原理，掌握如何
构造玻色子、费米子波函数
[本节内容]：讨论在忽略粒子之间相互作
用的情况下,如何去构造具有交换对称的波函数. 在计及相互作用时, 可以用它们作为基矢来展 开. 先讨论两个全同粒子体系, 然后推广到多 粒子体系.
一. 两个全同粒子体系的波函数：
N个粒子在N个单粒子态上的不同排列数有N! 个, 或者说有N! 个置换，所以上式共有N!项
奇置换：从标准排列式出发, 若经过奇数次对换才达到
排列P，记为 P 1 偶置换：从标准排列式出发, 若经过偶数次对换才达到 排列P，记为 P 1
注意到： １.在N!个置换中, 偶置换与奇置换各占一半； ２.并且注意到对换两个粒子波函数的次序，体
1 2
体系能量为 E k1 k2 的本征态为
1 2
k q1 k q2
体系能量为 k1 k 2
k q2 k q1
C1 k1 q1 k2 q2 C 2 k1 q2 k2 q1
1 2
这说明体系的能级是简并的, 这种与全同粒子 交换对称性相联系的简并, 称为交换简并.
反对称 对称 反对称 对称
对称 反对称 反对称 对称
费米子 玻色子
反对称 对称
例１：对两电子体系, 总波函数为
A
1 2
11 1 s1z 1 s2 z
2 2
A r1 , r2 s s1 z , s2 z
k1 r1 k 2 r2
两者相差一相因子
ˆ P ij
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第六章全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有一个粒子。
假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为：()()()122211ˆˆ,,,1,,22i jN NNi i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==⎡⎤=-∇++⎢⎥⎣⎦∑∑ (6.1.1)显然交换两个粒子，全同体系的ˆH不变，即交换对称性。
这里我们引入：交换算符ˆijP ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1212ˆ,,,,i jN i jN q qq q q H q q q q q ≡(6.1.2)全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系ˆH具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。
而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。
4、全同粒子体系波函数的交换对称性考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数()12,,i jN q q q q q ψ描述，ˆijP 表示第i 个粒子与第j 个粒子交换的算符，即 ()()1212ˆˆ,,,,ij i jN i jN P H q q q q q q q q q q ψ≡(6.1.3)由全同性原理可知，ˆijP 与ψ描述的是同一量子状态，在量子力学中，它们最多只能相差一个常数因子λ，即()()1212ˆ,,,,ij i jN i jN P q q q q q q q q q q ψλψ=(6.1.4)用ˆij P 在运算一次，得2ˆˆˆˆij ij ij ij P P P P ψλψλψλψ⋅=⋅==，所以得22ˆijP ψλψ=，说明,i j 交换两次等价于不变换，2ψλψ=，因而1λ=±。
这样，全同粒子的波函数必须满足下列关系式之一：()()()121212ˆ,,,,,,ij i jN i jN i jN P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==+波函数交换对称；()()()121212ˆ,,,,,,ij i jN i jN i jN P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==-波函数交换反对称。
即全同性原理要求，全同粒子波函数要么是交换对称的，要么是交换反对称的，而且这种交换对称性不随时间改变。
在这里，我们把交换对称与交换反对称统称为波函数的交换对称性。
5、全同粒子体系波函数的交换对称性取决于粒子的自旋迄今为止的一切实验事实表明，对于每一类全同粒子，它们波函数的交换对称性是确定的，但到底是波函数交换对称，还是交换反对称与粒子的自旋有确定的关系。
凡自旋为整数倍的粒子（0,1,2S =），波函数对于交换两粒子总是对称的。
例如，π介子（0S =），光子（S =）。
它们在统计上遵守Bose 统计法，故称波色子。
凡自旋为半奇数倍的粒子（35222,,,S =），波函数对于交换两粒子总是反对称的。
例如，电子、质子及中子等。
它们遵守Fermi 统计法，故称费米子。
由基本粒子组成的复杂粒子，如α粒子（氦核），31H （氚核），21H （氘核）。
复杂粒子究竟是费米子还是波色子取决于其中费米子的个数，而与波色子个数无关。
由N 个波色子构成的复杂粒子仍然是波色子（总自旋为的整数倍），其波函数满足交换对称；由偶数个费米子构成的复杂粒子是波色子（总自旋为的整数倍），其波函数满足交换对称；由奇数个费米子构成的复杂粒子是费米子（总自旋为的半整数倍），其波函数满足交换反对称。
Equation Chapter 6 Section 2§6.2全同粒子体系的波函数 全同性原理对全同粒子体系的波函数加上了新的限制，或者说条件，只能交换对称或反对称，这节讨论全同粒子体系对称性波函数的具体形式。
从2个粒子推广到N 个粒子的情况。
为方便先不考虑粒子间的相互作用，则两全同粒子组成的体系ˆH可写为()()()2010201ˆˆˆˆii H H q H q H q ==+=∑ (6.2.1)ˆH 是单粒子哈密顿算符，因为全同粒子，所以在同一体系中两粒子的哈密顿算符形式是相同的，只是变量不同。
当ˆH不显含时间t ，体系定态薛定谔方程为：()()1212ˆ,,H q q E q q Φ=Φ (6.2.2)先看单粒子的状态，两全同粒子满足的是同一个单粒子的定态薛定谔方程，设第1个单粒子处于0ˆH 的第i 个本征态1()i q φ，解量本征值为i q ；第2个单粒子处在第j 个0ˆH 的本征态2()j q φ上，解量本征值为j q 。
单粒子定态薛定谔方程为0ˆ,(1,2,3)i i i H i φεφ==，i φ为单粒子解量本征态，则第一个粒子的本征值和本征态为1(),i i q φε，第二个粒子的本征值和本征态为2(),j j q φε，则01110222ˆ()()()ˆ()()()i i i j j j H q q q H q q q φεφφεφ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩ (6.2.3)体系的波函数为()1212,()()i j q q q q φφΦ=，能量为i j E εε=+，如果交换1，2两个粒子，即2号粒子在i φ态上，1号粒子在j φ态上，重复上述过程可得()2121,()()i j i j q q q q E φφεεΦ=⎧⎪⎨=+⎪⎩(6.2.4)它也是体系定态薛定谔方程的解。
显然同一解量对应两个定态波函数，因此该体系的解量是简并的，该简并是由于交换波函数中1，2粒子引起的，ˆH 的本征函数为()()12122121,()(),()()i j i j q q q q q q q q φφφφΦ=⎧⎪⎨Φ=⎪⎩(6.2.5)称为交换简并。
我们可以得出如下结论，两无相互作用的全同粒子体系，其定态薛定谔方程的解量本征值等于两单粒子本征解量之和，体系哈密顿量的本征函数等于两单粒子哈密顿量本征函数积，且是交换简并的。
上面的讨论可以推广到N 个全同粒子体系（不考虑粒子间的相互作用），则体系的本征函数及本征值分别为()121212,,()()()i j N N i j k N E q q q q q q εεεεεφφφ=++++⎧⎨Φ=⎩ (6.2.6)是交换简并的。
上述理论上交换简并的波函数解是不是自然界中实际能够存在的两粒子体系的波函数呢？全同粒子体系的波函数要满足交换对称性，费米子满足波函数交换反对称，波色子满足波函数交换对称。
下面我们分两种情况进行讨论： 1、费米子体系如果所讨论的全同粒子体系由费米子组成，则体系的波函数满足交换反对称。
首先讨论两费米子系，(6.2.5)两式的简并波函数显然不是交换反对称的，我们必须将波函数反对称化，可以将这些简并的，不满足波函数交换反对称的波函数(6.2.5)两式通过适当的线性组合构造出满足交换反对称的波函数。
如：对两费米子体系，我们可以利用(6.2.5)两式构造出如下的反对称的波函数()()()121221,,,A A q q N q q q q Φ=Φ-Φ⎡⎤⎣⎦，该波函数在考虑粒子间的相互作用仍然可用，其中A N 为归一化常数，()()()12122112211212,,,()()()()()()()()A i j i j i i j j q q q q q q q q q q q q q q φφφφφφΦ=Φ-Φ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦=(6.2.7)显然()12,A q q Φ也还是体系ˆH 的本征函数，本征解量为i jE εε=+。
推广到N 费米子体系，其交换反对称的ˆH 的本征函数为，（它应为N 个单粒子波函数乘积的各不同交换形式线性组合）()1212121212()()()()()(),,()()()()()()i i i N j i i N A N k k k N P i i k N Pq q q q q q q q q q q q P q q q φφφφφφδφφφΦ==⋅⋅ (6.2.8)1P δ=+，p 为偶排列，1P δ=-，p 为奇排列。