高二数学基本不等式单元测试题
【基本不等式】
本卷共100分，考试时间90分钟
一、选择题 (每小题4分，共40分)
1. 在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是
(A)3 (B)2 (C)4 (D) 5
2. 若y x ,是正数，且141x
y
+=，则xy 有
A.最大值16 B ．最小值
116
C ．最小值16
D ．最大值
116
3. 如果f(x)=mx 2+(m －1)x+1在区间]1,(-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ）
A ． （0， ??
?31 B ．??
??
??31,0 C ．]???3
1
,0 D （0，3
1） 4. 给出如下四个命题： ①
|
|||yz xy z y x >?>>；②
y
x y a x a >?>22；③
d b
c a abc
d d c b a >
?
≠>>0,,；
④2
01
1b ab b a
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5. 已知实数),....2,1(,,n i R b a i i =∈，且满足1.....22221=+++n a a a ，
1 (2)
2
22
1=+++n b b b ， 则n n b a b a b a +++.....2211的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2n
D ．n 2
6. 设0a >，不等式ax b c +<的解集是{}21x x -<<，::a b c =（ ） A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1
7. 今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是
A ．丁、乙、甲、丙
B ．乙、丁、甲、丙
C ．丁、乙、丙、甲
D ．乙、丁、丙、甲
8. 某厂产值第二年比第一年增长%p ，第三年比第二年增长%q ，又这两年的平均增长率为S%，则S 与2
p q
+的大小关系是
A ．2
p q
S +>
B ．2
p q
S +=
C 2p q S +≤
D 2
p q S +≥
9. 已知正项等比数列765{}:2,n a a a a =+满足若存在两项m a 、n a 使得
14m n a a a =，则
14
m n
+的最小值为（ ） A ．32
B ．53
C ．256
D ．不存在
10. 买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（ ）
A ．前者贵
B ．后者贵
C ．一样
D ．不能确定 二、填空题 (每小题4分，共16分)
11. 函数)1,0(1)2(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线
01=++ny mx 上，其中0>mn ,则
n
m 2
1+的最小值为 . 12. 设a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a 2+b 2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____________.
13. 考察下列一组不等式：
2
2
12
122
5
25
33442
233525252525252525252?+?>+?+?>+?+?>+将上述不等式在左右
两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ___。
14. 若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则4
A
＋
1B C
+的最小值
为 ．
三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)
15. （本小题满分10分）已知a ，b ，c 是全不相等的正实数， 求证:
3>-++-++-+c
c
b a b b
c a a a c b . 16. （本小题满分10分）
已知a,b,m 是正实数,且a < a m b m ++ (12分) 17. （本小题满分12分）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元． （Ⅰ）把全程运输成本y(元)表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 18. （本小题满分12分） 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x （*x N ∈）千件，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足 80千件时，x x x C 103 1)(2 += （万元） ；当年产量不小于80千件时，145010000 51)(-+ =x x x C （万元）.通过市场分析，若每件．．售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完. （1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 答案 一、选择题 1. A2. C3. C 解析：依题意知，若m=0,则成立；若m ≠0，则开口向上，对称轴不小于1，从而取并集解得C 。 4. B5. A6. B7. A8. C9. A10. A 解析：设郁金香x 元／枝，丁香y 元／枝，则?? ?>+<+② ① 24362254y x y x ，∴由不 等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。 二、填空题 11. 223+12. ③13. ()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 解析：仔细观察左右两边式子结构的特点、指数的联系，便可得到。 14. 9 π 因为A ＋B ＋C ＝π，且(A ＋B ＋C )·(4A ＋1B C +)＝5＋4·B C A +＋ A B C +≥5＋2 4B C A A B C +? ? +＝9，因此4A ＋ 1B C +≥9π ，当且仅当4·B C A +＝ A B C +， 即A ＝2(B ＋C )时等号成立． 三、解答题 15. 证法1：（分析法） 要证 3>-++-++-+c c b a b b c a a a c b 只需证明 1113b c c a a b a a b b c c +-++-++-> 即证 6b c c a a b a a b b c c +++++> 而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数 ∴ 2，2，2b a c a c b a b a c b c +>+>+> ∴ 6b c c a a b a a b b c c +++++> ∴ 3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>得证． 证法2：（综合法） ∵ a ，b ，c 全不相等 ∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等． ∴ 2，2，2b a c a c b a b a c b c +>+>+> 三式相加得6b c c a a b a a b b c c +++++> ∴ (1)(1)(1)3b c c a a b a a b b c c +-++-++-> 即 3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>． 16. 证明：由a,b,m 是正实数,故要证a b < a m b m ++ 只要证a （b+m ） 17. 解析：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v s ，全程运输成本为 ( ))(2 bv v a s v s bv a y +=+= 故所求函数及其定义域为 ],0(),(c v bv v a s y ∈+=. （Ⅱ）依题意知s,a,b,v 都为正数,故有 a b s bv v a s 2)(≥+ 当且仅当bv v a =，即 b a v = 时等号成立。 ① 若c b a ≤，则当b a v =时，y 取得最小值； ② 若 c b a >，则2bc a >， ))(()]()[()()(bcv a v c vc s bc bv c v v a s bc c a s bv v a s --=-+-=+-+ 因为0≥-v c ，且2bc a >，故有02>-≥-bc a bcv a ， 0))((≥--∴ bcv a v c vc s ， 故)()(bc c a s bv v a s +≥+，当仅且当c v =时等号成立。 综上可知，若c b a ≤，则当b a v =时，全程运输成本最小；若 c b a >，当c v =时，全程运输成本y 最小． 18. 解析: （1）当*,800N x x ∈<<时， 当80≥x ，*N x ∈时， *) ,80(*) ,800()10000 (12002504031)(2 N x x N x x x x x x x L ∈≥∈< ?? ?+--+-=∴ （2）当*,800N x x ∈<<时，950)60(3 1 )(2+--=x x L ∴当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L 当,,80N x x ∈≥ ,1000200120010000 21200)10000(1200)(=-=?-≤+ -=x x x x x L ∴当x x 10000 = ，即100=x 时，)(x L 取得最大值.9501000)100(>=L 本文由52求学网论坛微光整理 250403 1 2501031100001000500)(22-+-=---?= x x x x x x L )10000 (120025014501000051100001000500)(x x x x x x L +-=-+--?= 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高二数学测试题 2014-3-9 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,只有一项是符合题目要求的.) 1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ） A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形 2.“三角函数是周期函数，tan y x =，ππ22 x ??∈- ??? ，是三角函数，所以tan y x =， ππ22x ?? ∈- ??? ，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） (A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理 形式不正确 3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ） （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件； (3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4 .已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线 5．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A ．dx x f c a ?)( B ．|)(|dx x f c a ? C ．dx x f dx x f c b b a ??+)()( D ．dx x f dx x f b a c b ??-)()( 6 . 已知椭圆 22 1102 x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8. 7.已知斜率为1的直线与曲线1 x y x =+相切于点p ，则点p 的坐标是（ ） ( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2? ? ??? 8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是 （ ） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ） A B C D ． 10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之 和最小，则该点坐标为 （ ） （A ）?? ? ??-1,41 （B ）?? ? ??1,41 （C ）() 22,2-- （D ） ()22,2- 11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22 221x y a b +=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线 与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的 精心整理 高二数学期中考试试题及答案 注意事项：1.本试卷全卷150分，考试时间120分钟。 2.本试卷分为、II 卷，共4页，答题纸4页。 3.I 4.II 第I 1. 或002.等于 3.已知ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则sinB=A.1B.C.D.2 2 2 3 4.在等差数列an中，已知a521,则a4a5a6等于 A． 5. A． 7. 是 或 8.数列{an}的前n项和为Sn，若an1，则S5等于n(n1) C.A.1B.5611 D.630 9.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 A.322 B.333 C. D.3322 10.已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，求41的最小值是xy A.4 B.6 C.7 D.9 x211.若y2则目标函数zx2y的取值范围是 A.[2 12.、sinC A.II卷 13.，则 14.在△ABC中，若a2b2bcc2,则A_________。 15.小明在玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子…第n次走n米放2颗石子，当小明一共走了36米时，他投放石子的总数是______. 16.若不等式mx+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为. 三、解答题(共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17. ，求a5. (2)若 和公比q. 18. 在a、b、c （1 （2 数学试题第3页，共4页 第3/7页 19.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Snn248n。 高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证： 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时，设1 ()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ，求证： 91 43 n n T n -> +。 2. （2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ； 3) 若存在* n N ∈，使得(1)n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围． 3. （2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． 1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =； 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围． 4. 已知数列{}n a 中，2 2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项． 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2 3 - 的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 5. 已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围． 2) 在31m -≤<时，证明： 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*() 10()n n n a na n N +-=∈，求证：1 02 n a ≤≤ 。 数学基本不等式练习题 1.)0(14>+x x x 的最小值是 （ ） A 、2 B 、4 C 、22 D 、8 2.已知1>x ，则函数1 1)(-+=x x x f 的最小值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知y x 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是 （ ） A 、12 B 、14 C 、15 D 、18 4.若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为 （ ） A 、2a B 、212a C 、a D 、12 a 5.设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是 （ ） A 、32 B 、1 + 3 C 、2 3 －2 D 、2－ 3 6.下列结论正确的是 （ ） A 、当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B 、21,0≥+>x x x 时当 C 、21,2的最小值为时当x x x + ≥ D 、无最大值时当x x x 1,20-≤< 7.若0＜a ＜b 且1=+b a ，四个数2 1，b ，ab 2 ，22b a + 中最大的是 （ ） A 、2 1 B 、b C 、ab 2 D 、22b a + 8.有三个推断：（1）110,2,x x x x x ≠∴+≥∴+的最小值为2； （2）1(212 =≥+x x x 时取等号）12+∴x 的最小值为2； （3）4]2 )4([)4(422=-+≤-=-x x x x x x ，24x x -∴的最大值为4. 以上三个推断中正确的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 0 9.设x 、y ∈R +，S=x+y ，P=xy ，以下四个命题中正确命题的序号是_________________.（把你认为正确的命题序号都填上） (1)若P 为定值m ，则S 有最大值m 2；(2)若S=P ，则P 有最大值4；(3)若S=P ，则S 有最小值4；(4)若S 2 ≥kP 总成立，则k 的取值范围为k ≤4. 10.已知232a b +=，则48a b +的最小值是 ． 11设.11120,0的最小值，求且y x y x y x +=+>> ． 12.已知两个正变量y x ,满足4=+y x ，则使不等式 m y x ≥+41恒成立的实数m 的取值范围是 . 13. 函数45 22++=x x y 的最小值为 . 14.已知集合A=﹛x ︳622<+x x ﹜，B=﹛x ︳342->x x ﹜，若C=A ∩B ，求集合C;若t ∈Ｃ，且y = t t --11 求y 的最小值，并指出使得y 取最小值的t 值. 15.已知函数)2(122->+++= x x x x y （1）求y 1的取值范围；（2）当x 为何值时，y 取何最大值？ 16.某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台.每批都购入x 台（x ∈N *），且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由. 高二数学选修测试题及 答案 Last revised by LE LE in 2021 2008学年高二数学（选修1－2）测试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟）命题人：陈秋梅增城市中 新中学 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，将答案直接填在下表中） 1.下列各数中，纯虚数的个数有（）个 .2 2 7 i，0i，58 i+ ， (1i-，0.618 个个个个 2.用反证法证明：“a b >”，应假设为（）. A.a b > B.a b < C.a b = D.a b ≤ 3.设有一个回归方程?2 2.5 y x =-，变量x增加一个单位时，变量?y平均 （） A.增加2．5 个单位 B.增加2个单位 C.减少2．5个单位 D.减少2个单位 4.下面几种推理是类比推理的是（） A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=1800 B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员. D.一切偶数都能被2整除，100 2是偶数，所以100 2能被2整除. 5.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图 的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（）块. .22 C 6.复数 5 34 +i 的共轭复数是：（） A． 3 5 4 5 +i B． 3 5 4 5 -i C．34 +i D．34 -i 7.复数() 1cos sin23 z i θθπθπ = -+<<的模为（） A．2cos 2 θ B．2cos 2 θ - C．2sin 2 θ D．- 8.在如右图的程序图中，输出结果是（） A. 5 B. 10 C. 20 D .15 9.设 11 5 11 4 11 3 11 2 log 1 log 1 log 1 log 1 + + + = P，则 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2 (b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当p ab =（常数），当且仅当 时， ； 当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号） 三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：?+<+||||||b a b a ； ?+=+||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?-<-||||||b a b a ；?-=-||||||b a b a ； 四、常用的基本不等式： （1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号） （2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号） （3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+； （4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222 （5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ （6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤? （7）b a ab b a 110,>；?R m b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：①作差比较：B A B A ≤?≤-0；②作商比较： B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 高考压轴题-不等式证明方法 郑紫灵 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题。其中用的最多的是放缩法，而放缩法有四个最基本的 1.先求和再放缩。 （1）直接用等差或等比的求和公式求和 例1．求证1111 1 (2242) n -+ +++<()*n N ∈ 证明：111-111121...= =21-2124221-2 n n n -?? ???????++++ 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 解答题 1．求和()() 2!1!2!4!3!24!3!2!13+++++++++++n n n n . 2．5名男生、2名女生站成一排照像： （1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？ （2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？ （3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？ （4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？ （5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？ （6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 3．从6名运动员中选出4人参加4×400m 接力赛，如果甲、乙两人都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？ 4．由2，3，5，7组成没有重复数字的4位数． （1）求这些数字的和；（2）按从小到大顺序排列，5372是第几个数？ 5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的数共有多少个？ 6．7个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站在左端； （2）甲、乙都不能站在两端； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间相隔二人． 7．8个人站成一排，其中甲不站在中间两个位置，乙不站在两端两个位置，有多少种不同的站法？ 8．从8名运动员中选出4人参加4×100m 接力比赛，分别求满足下列条件的安排方法的种数：（1）甲、乙二人都不跑中间两棒；（2）甲、乙二人不都跑中间两棒。 9．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种值A ，B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少种？ 10．某城市马路呈棋盘形，南北向马路6条，东西向马路5条，一辆汽车要从西南角行驶到东北角不绕道的走法有多少种？ 参考答案： 1．∵()()()22!2!2!1!2++=+++++k k k k k k k ，()()()! 21!11!21+-+=++=k k k k . ∴()()()!2121!21!11!41!31!31!21+-=?? ????+-+++??? ??-+??? ??-=n n n 原式 2．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；2405522=?A A （种）； （2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；2400 5525=?A A 不等式类压轴题 1．不等式组的所有整数解的和是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．﹣5 2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ） A ．x ＜﹣ B ．x ＞﹣ C ．x ＜ D ．x ＞ 3．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜，则关于x 的不等式（n ﹣m ）x ＞（m+n ）的解集是（ ） A ．x ＜﹣ B ．x ＞﹣ C ．x ＜ D ．x ＞ 4.如果关于x 的不等式07)(>-+-n m x n m 的解集为1 7．已知同时满足不等式x －2＞6和3x ＋2＞4x －a 的x 的取值中有且只有四个整数，则a 的取值范围是_________ 8．若关于x 的一元一次不等式组 有解，则m 的取值范围为（ ） A ． B ．m ≤ C ． D ．m ≤ 9.不等式组???≤-->-21a x a x 的解集中，任一个x 的值均在3≤x ＜7的范围内，求a 的 取值范围为： ． 10．若均为非负整数，则M=5x+4y+2z 的取值范围是（ ） A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140 11．已知x+y+z=0，且x ＞y ＞z ，则的取值范围是 ． 高二数学基本不等式训练题 数学基本不等式训练题1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是() A.有最大值-2 B.有最小值2 C.无最大值和最小值 D.无法确定 答案：B 2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案：A 3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____. 答案：2 4 4.已知f(x)=12x+4x. (1)当x0时，求f(x)的最小值; (2)当x0 时，求f(x)的最大值. 解：(1)∵x0，12x，4x0. 12x+4x212x4x=83. 当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83， 当x0时，f(x)的最小值为83. (2)∵x0，-x0. 则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83， 当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号. 当x0时，f(x)的最大值为-83. 一、选择题 1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+12x B.x2-1+1x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案：C 2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是() A.32-3 B.-3 C.62 D.62-3 解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3. 3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立. 4.给出下面四个推导过程： ①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba ②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx ③∵aR，a0，4a+a 24a ④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2. 其中正确的推导过程为() A.①② B.②③ 高二暑假班数学测试题 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若a 1b >1 c 【解析】选C.选项A 中c ＝0时不成立；选项B 中a ≤0时不成立；选项D 中取a ＝－2，b ＝－1，c ＝1验证，不成立，故选C. 2．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 【解析】选A.由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 【解析】选D.因为当x >1时，x ＋1x －1＝1＋(x －1)＋1 x －1≥3， 所以x ＋1 x －1 ≥a 恒成立，只需a ≤3. 4．等差数列{a n }满足a 24＋a 2 7＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15 【解析】选D.由已知(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，从而a 1＋a 10＝±3. 所以S 10＝a 1＋a 102 ×10＝±15. 5．函数y ＝x 2＋2 x －1(x ＞1)的最小值是( ) A ．23＋2 B ．23－2 C ．2 3 D ．2 【解析】选 A.因为x ＞1，所以x －1＞0.所以y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2 x －1＝ x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3 x －1 ＋2≥23＋2. 6．不等式组? ??? ? x ≥2x －y ＋3≤0表示的平面区域是下列图中的( D ) 第五章压轴题秒杀 很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数学压轴题的把握。压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多很多很多人。 不过，压轴题并不是那般神秘难解，相反，出题人很怕很怕全省没多少做出来的，明白么？他很怕。那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。 想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。 全是数学压轴题，且是理科（09的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。 08全国一，08全国二，07江西，08山东，07全国一 一年过去了，很多题目都忘了，但这几道题，做过之后，虽然一年过去了，可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。 记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。 具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。 不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\ 1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。尤其推荐我押题的第一道数列解答题。） 2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考） 3：数学归纳法、不等式缩放 基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。 开始解答题了哦，先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。 这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！ 下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。 (22)(本小题满分14分) 设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f(x)的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立. 这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~ 这道题，太明显了对吧？ 高二下期期末数学测试题 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（B ） A． B． C． D． 2.曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（A） A．B．2 C．3 D．0 3.曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ A ）A．B．C．D．1 4.已知函数与的图象如图所示，则（C） A．在区间(0,1)上是减函数B．在区间(1,4)上是减函数 C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数 5.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（D ） A．B．C．D． 6.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（A ） A．B． C.D． 7.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余分数的方差为（C ） A．B． C. 6 D．30 8.在的展开式中，常数项是（D） A．B．C．D． 9.由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（ B ）个 A．10 B．11 C．12 D．13 10.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线， 满足的斜率为，则的取值范围为（A ） A．B． C．D． 11.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于 30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（A ） A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 高二数学选修2—2测试题 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．0 2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3、函数3 y x x 的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 4、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ． 3 19 B ． 316 C ．313 D ．3 10 5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数 A. 13(,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 7、设*211111()()123S n n n n n n n = +++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++ 8、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ） (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 9、 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 10、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ）e 1 （B ）e 1- （C ）e 2 （D ）e 2- 11、在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原 点,=（ ） A.2 B.2 C. 10 D. 4 12、 若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋3 4上移动，经过点P 的切线的倾斜角 为α，则角α的取值范围是( ) A ．[0，π2) B ．[0，π2)∪[2π3，π) C ．[2π3，π) D．[0，π2)∪(π2，2π 3] 二、填空题（每小题5分，共30分） 13、=---?dx x x )2)1(1(1 02 14、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。 15、已知)(x f 为一次函数，且1 0()2()f x x f t dt =+?，则)(x f =_______. 16、函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间? ? ???－∞，a 3内单调递减，则a 的取值 范围是________．(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
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