吉林大学珠海学院概率练习册第5章答案

第五章

一、填空题 1．设)

(X E μ

=，)

(X D 2

σ

=，则由利用切比雪夫不等式知≥

<-}3|{|

σμX P

9

8 ；

2．设随机变量

]3,1[~-U X ，若由切比雪夫不等式有

3

1}|1{|≤

≥-εX P ，则

=ε____2_______；

二、计算题 1．在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在600~400之间的概率.

解：设X 表示“在1000次独立重复试验中事件A 发生的次数”，则

X )5.0,1000(~B ，而且500

)(=X E ，250

)

(=X D 。

依题意}600400{<

}100)(100{<-<-=X E X P }100|)({|<-=X E X P

2

100

)(1X D -

≥10000

25001-

=975

.0=.

2．设某电路系统由100个相互独立起作用的部件所组成.每个部件正常工作的概率为0.9.为了使整个系统起作用,至少必须有87个部件正常工作,试用中心极限定理求整个系统起作用的概率。（注：84

.0)1(=Φ，这里)(x Φ为标准正态分布函

数）

解：由题意，设??

?=个部件未正常工作

第，个部件正常工作第i 0i ,

1i

X 100

,,2,1 =i 。

10021,,,X X X 相互独立均服从

]

9.0,100[B ，

)(i X E 9

.0=，)(i X D 09

.0=，

100

,,2,1 =i 。

用X 表示100次计算产生的总误差，则X

∑

==

100

1

i i

X

，90

9.0100)

(=?=X E ，

9

09.0100)(=?=X D 。

由独立同分布中心极限定理知X

∑

==

100

1

i i

X

近似

~

)9,90(N 。所求

Y ∑

=>100

1

}87{i i

X

P )

3

90

87(

1-Φ-≈

)1(1-Φ-=84

.0)1(=Φ=。

3．计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面第一位进行舍入运算，则可以认为误差服从]2

1,21[-

上的均匀分布。若在一项

计算中进行了48次运算，试用中心极限定理求总误差落在区间]2,2[-上的概率。（注：84

.0)

1(=Φ，这里)(x Φ为标准正态分布函数）

解：由题意，设i X ：第i 次计算产生的误差，48

,,2,1 =i

。

48

21,,,X

X X 相互独立均服从]2

1

,21[-U ，)(i X E 0=，)

(i X D 12

1=，

48

,,2,1 =i 。

用X 表示48次计算产生的总误差，则X

∑

==

48

1

i i

X

，00

048)

(=?=X E ，

4

12

148)(=?

=X D 。

由独立同分布中心极限定理知X

∑

==

48

1

i i

X

近似

~)

4,0(N 。所求

∑

=<<

-48

1

}22{i i

X

P )2

02(

-Φ≈)2

02(

--Φ-

1)1(2-Φ=68

.0=。