人教版 九年级数学上册 24.2点和圆、直线和圆的位置关系(第1课时) 精品PPT课件
A.大圆内
B.小圆内
o
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
要点归纳 点和圆的位置关系
P
P
d
d Pd
r
r
r
P
r
R
点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r
点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合：位置关系
数量关系
例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
C
O
A
能力拓展：一个8×12米的长方形草地，现要安装自 动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装 几个? 怎样安装? 请说明理由.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作圆
位置关系数量化
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
P
r R
点在圆内
d<r
点P在圆环内 r≤d≤R
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
A N
作法：1、连结AB，作线段AB
F 的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直
平分线EF，交MN于点O；
B
EO
M
C
3、以O为圆心，OB为半径作圆。 所以⊙O就是所求作的圆.
问题4:现在你知道怎样将一个如图
所示的破损的圆盘复原了吗？
方法: 1、在圆弧上任取三点A、
5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， 则它的外接圆半径= 5 .
6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是_7_0_°_____．
7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ B ）
A．点P C．点R
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接 圆的直径(或半径)长度．
例3 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm， O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC. 则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
2
在Rt△OBD中
DБайду номын сангаас
OB OD2 BD2 13cm.
B．点Q D．点M
A
B
C
PQR M
8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片
如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明
带到商店去的一块玻璃碎片应该是（D ）
A．第①块
B．第④块
C．第③块
D．第②块
9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并 且小于或等于3cm的点组成的图形.
1
2cm O·
“过一点有且只有一条直线与已知
C 直线垂直”相矛盾，所以过同一条
直线上的三点不能作圆．
要点归纳 反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常 与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤 ① 假设命题的结论不成立 ② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 ③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
D
解：AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3<r，故B点在⊙A内
AC=5>r，故C点在⊙A外
B
C
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在 圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直 接写出答案）
3<r<5
A
D
B
C
变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x 轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？ 求出点P的坐标.
y
A x
P2 O P4 P1 P3
P1( 5, 0)
P2 (- 5, 0)
P3 (4, 0)
P4
(
5 4
,
0)
过不共线三点作圆
合作探究
问题1如何过一个点A作一个圆？ 过点A可以作多少个圆？
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d＜r d= r d＞r
练一练：
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离 分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的
位置关系是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点 C在 圆外 .
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若
想一想
点和圆的位置关系 问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.....o..B. .A C
点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在 点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上.
F
经过B,C两点的圆的圆心在线段
A
BC的垂直平分线上.
B ●
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
o
C
这两条垂直平分线的交点O的位置.
G
归纳总结
位置关系
定理： 不在同一直线上的三个点确定
一个圆.
B 有且只有
F A
●
o
C
G
练一练
已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． (2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在直角△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
10.如图，已知 Rt△ABC 中 ，C 90
若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
解：设Rt△ABC 的外接圆的外心
为O，连接OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
B
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
A B
B、C;
2、作线段AB、BC的垂
直平分线,其交点O即为
圆心; 3、以点O为圆心，OC
C O
长为半径作圆.
⊙O即为所求.
针对训练 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们 分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要 想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相 等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确 定这个位置呢？
A
A
A
●O
●O
●O
B
┐
CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
要点归纳
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心 到三角形的三个顶点的距离相等.
典例精析 例2：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点， ∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： 到三角形三个顶点的距离相等.
判一判： 下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三 角形与它的外心的位置关系.
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或
等于60°.
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°，
则
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 三角形的内角和为180度 .
3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为 （3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ B ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.在⊙O上或⊙O外
4.判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ×） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 （ √ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （×） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ×）
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
反证法 思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
P l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、
B、C可以作一个圆，设这个圆的圆
心为P，那么点P既在线段AB的垂
直平分线l1上，又在线段BC的垂直
l2
平分线l2上，即点P为l1与l2的交点， 而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的
这与 ∠A+∠B+∠C>180° 矛盾．假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
人教版九年级数学上册课件：24.2.2 直线和圆的位置关
(1) 当r=2cm时 ，有d>r，因此⊙C和AB相离.
(2) 当r=2.4cm时 ，有d=r,因此⊙C和AB相切.
(3) 当r=3cm时，有d<r，因此⊙C和AB相交.
跟踪训练
1.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
(1)若d=4.5cm ,则直线与圆__相__交___, 直线与圆有__2__个公 共点. (2)若d=6.5cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__个公 共点. (3)若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共 点.
a(地平线) (3)
观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是 怎样的?
ll
ll l
O
l
l lllll l
直线和圆的位置关系
O
O
O
l
l
l
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交, 这 时直线叫做圆的割线. （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；这时 直线叫做圆的切线.唯一的公共点叫做切点.
直线与圆的位置关系的判定方法：
直线和圆的位置关系 公共点个数
圆心到直线距离 d与半径r关系 公共点名称 直线名称
相交 2
d<r
交点 割线
相切 1
d=r
切点 切线
相离 0
d>r
无 无
例 题 【例1】在 Rt△ABC中，∠C = 90°，AC =
4cm , BC=3cm, 以C为圆心，r为半径的圆与 AB 有怎样的 关系？为什么？ （1）r=2cm ; (2)r=2.4cm; (3)r=3cm .
思考
在⊙O中,经过半径OA的外端点
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线
2020/1/1
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10
主题概括
本文抓住苏州园林的总体特征：“务 必使游览者无论站在哪个点上，眼前总是 一幅完美的图画。”进而围绕这个中心， 把各种景物综合分成几个类型，分别加以 介绍说明和具体描绘，从而自然、真切地 再现了苏州的风貌，也显示了设计者和匠 师们的智慧及我国园林艺术的高超。
2020/1/1
• 本文介绍了苏州园林艺术的整体特征， 说明顺序合理，说明方法得当，既突出了 被说明事物的特点，结构又显得清楚有序 ，实为一篇难得的好文章，显示了叶圣陶 先生驾驭复杂事物的非凡笔力。在领略苏 州园林艺术美的同时，借鉴作者说明的技 巧，力求学以致用。
2020/1/1
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9
结构图示
举例子，作用是：具体形象的说明了……，便于 读者理解。 作比较，作用是：通过……和……的对比，突出 了……的……特点。 打比方，作用是：生动形象的说明了……，增强 了文章的趣味性。 引用，作用是：参与说明，使文章内容充实具体 ，增强文章的真实性。
2020/1/1
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13
谢谢欣赏！
2020
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14
18 苏州园林 第二课时
2020/1/1
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1
课时目标
1.学习多种说明方法，品味准确、简洁、生动 的说明语言。 2.领略中国园林的建筑美，激发对艺术的热 爱之情。
2020/1/1
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2
情境导入
上节课结束后，我让同学们找一下 本文所运用的说明方法，不知同学们 找得怎么样了？好，我们这一节课就 先来解决说明方法的问题。
2020/1/1
课文是怎样表现出苏州园林的特点（4—5 节为主）。 （1） 这一节说明了什么？ （2） 哪一句是中心句？哪几句写假山，哪 几句写池沼？这是哪种结构形式？
最新部编人教版九年级上学期数学《直线和圆的位置关系(1)》课件
∴∠ACD=45°.
∴AD=CD.
∴CD2 AD2 2CD2 AC2.
∴CD=2 2 .
D
∴(1)r= 5 时， 5 < 2 2，圆与直线AB相离;
(2)r=2 2 时，2 2 =2 2，圆与直线AB相切;
(3)r=3时，3> 2 2，圆与直线AB相交.
探究三：直线与圆位置关系的性质及判定的应用
活动3 探究型例题 例4：如图平面直角坐标系中，圆心A 的坐标为（6,8），已知 ⊙A经过坐标原点，则直线y=kx+16与⊙A的位置关系为（ ） A.相交 B、相离 C、相切 D、相切或相交
【思路点拨】通过比较圆心到直线的距离与圆的半径之间的数 量关系确定直线与圆的位置关系. 【解题过程】
解：（1）∵点O到直线l的距离d=5cm，r>5cm， ∴d<r ∴直线l和⊙O相交 （2）∵点O到直线l的距离d=5cm，r=2cm， ∴d>r ∴直线l和⊙O相离
探究三：直线与圆位置关系的性质及判定的应用
怎样的变化？ （3）继续向上移动硬币，当直线和圆相交时，有几个公
共点？ 经过上述过程，你能试着归纳直线和圆的位置关系，并用图形表 示出来吗？
探究二：探究直线与圆的位置关系及交点情况 重点、难点知识★▲
活动1 大胆操作，探究新知
知识点归纳： 1.直线与圆的三种位置关系：
1）直线l和⊙O没有公共点，则直线l和⊙O相离. 2）直线l和⊙O有且仅有一个公共点，则直线l和⊙O相切. 直线l叫⊙O的切线，有且仅有的一个公共点P叫切点. 3）直线l和⊙O有两个公共点A、B，则直线l和⊙O相交.直 线l叫⊙O的割线.
知识梳理
（2）根据判定定理（数量关系），由圆心到直线的距离d与半 径r的数量关系来判断位置关系。 ⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系(第1课时)课件1人教版
是是非非
3 、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB 与⊙O相离。… … … … …( × )
.A2
.B2
.O
.A1
.B1
.A
.B
是是非非
4、若C为⊙O内一点，则过点C 的直线与⊙O相交。（ √ ）
C. O.
议一议：对比点和圆的位置关系的判 定方法，你还有其他的方法来判断直 线与圆的位置关系吗？
（2）如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看
作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙
环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？
(3)你能用实物演示这个过程吗?
（1）直线和圆的公共点个数的变化情况如何？ 公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
（2）通过刚才的研究，你认为直线和圆的位 置关系可分为几种类型呢？
①当r满足 0<r<
时，直线AB与⊙C相离；
②当r满足 r=
时，直线AB与⊙C相切；
③当r满足 r>
时，直线AB与⊙C相交；
④当r满足 r= 或 5<r≤ 12 时，线段AB与
⊙C只有一个公共点。
2.试着编一道直线与圆位置关系的题目，使得 直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系。
的个数来判断；
（2）根据性质，由__圆__心__距__d_与__半__径__r__ 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
生活中的例子
太阳与地平线的位置关系, 列车的轮子与铁轨之间的 关系,都给我们直线与圆 的位置关系的印象.
例1.根据直线和圆相切的定义，经过点A 用直尺近似地画出⊙O的切线.
24.2.2 直线和圆的位置关系（1）
1、点与圆有几种位置关系？
九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3直线和圆的位置第1课时2_6
例1、在Rt ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm, 则以C为 圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？
(1) r =2cm, (2) r =2.4cm (3) r =3cm
D
例2、在Rt ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm, 则以C为 圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？
无论是传统营销还是新媒体营销，关键都是要服务于消费者，适应市场需求的发展，自成立以来，南京VI设计企业一直坚定地遵循这一不变的市场发展真理，完全立足于消费者对产品的设计和生产，并通过换位思 考使营销更加贴近需求。根据在设计角度来说，都觉得其布局上看起来还是有着多元化的特点。，
标志商标logo设计，对于很多商家来说，如果能够把包装盒更好的利用起来的话，其实他们还可以省去了很多的广告费，这样也能够起到一个很好的宣传作用标志商标logo设计一般都会代表着不同的意义，这也是 在生活当中很多人都了解的一个问题
变式一： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
1、当r满足_0_c_m__<__r_＜__2__.4_c__m__时， ⊙C与直线AB相离。
2、当r满足__r_=_2__.4__c_m___ 时， ⊙C与直线AB相切。
3、当r满足__r_＞__2_._4_c__m__时， ⊙C与直线AB相交。
(1）r =2cm, (2) r =2.4cm (3)r=3cm
பைடு நூலகம்
解： 过C点作CD⊥AB,垂足为D
C
∵ ∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm,
3
4
∴ AB = 5
A
B
D
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆位置关系24.2.2直线和圆的位置关系一1
遇上你是我的今生的缘分
B．相切 D．无法判断
8
课后巩固
6．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线
l与⊙O的位置关系是( A)
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
7．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，
则直线l与⊙O的位置关系是( D)
A．相切
B．相离或相切
C．相离
2019/7/12
【点拔】直线与圆的位置关系主要是利用圆心到直线的距离d
2019/7/12
与半径r的数量遇上关你是系我进的今行生的判缘断分 ．
5
课堂导学
对点训练
1．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的
距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )A
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
△ 2．Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm， 以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，
AB＝ AC2＋BC2＝10，∵S△ABC＝12 AB·CD＝ 12AC·BC，
即AB·CD＝AC·BC， ∴10×CD＝6×8，∴CD＝4.8cm. (1)当r＝4cm时，CD＞r，⊙C与直线AB相离； (2)当r＝4.8cm时，CD＝r，⊙C与直线AB相切； (3)当r＝6cm时，CD＜r，⊙C与直线AB相交．
遇上你是我的今生的缘分
2
课前预习
1．直线和圆有____相___交__、__相__切___、__相__离_三种位置关系．
2．直线l与⊙O有唯一公共点，则直线l与⊙O_相__切___，直线l与 ⊙O有两个公共点，则直线l与⊙O___相___交_，直线l与⊙O没 有公共点，则直线l与⊙O_相__离____.
人教版数学九年级上册24.2.1点和圆的位置关系(第一课时)优秀教学案例
1.教师可以通过提出引导性的问题，引导学生思考和探究点与圆的位置关系。例如，可以提问：“点在圆内、点在圆上、点在圆外分别意味着什么？如何判断一个点与圆的位置关系？”
2.教师可以设计一系列递进式的问题，让学生逐步深入思考和理解点与圆的位置关系。例如，可以先提问：“点与圆的位置关系有哪些？”，然后逐步引导学生思考：“如何用数学方法描述和解释点与圆的位置关系？”、“如何运用点与圆的位置关系解决实际问题？”
3.教师可以通过提问引导学生反思和评价自己的学习过程和结果。例如，可以提问：“你在解题过程中遇到了哪些困难？如何克服的？”、“你认为自己的解题方法是否合理？还有没有更好的解决方式？”
（三）小组合作
1.教师可以组织学生进行小组合作，鼓励学生之间的交流和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。例如，可以让学生分组讨论和探究点与圆的位置关系，每个小组共同完成一个实际问题的解题过程和结果展示。
2.教师可以利用多媒体课件展示各种实际场景，如学校平面图、城市地图等，让学生在直观的情境中理解点和圆的位置关系，增强学生的实际应用能力。
3.教师可以通过创设互动性的情景，让学生参与其中，提高学生的参与度和积极性。例如，可以组织学生分组讨论，每组设计一个实际问题，并展示解题过程和结果，促进学生之间的交流和合作。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：通过设计一个学校计划在新学期开始前，在校内找一个合适的位置设立一个圆形报亭的实际问题，让学生思考如何确定报亭的最佳位置，从而引发学生的兴趣和好奇心，激发学生主动探究的欲望。这样的情境创设不仅贴近学生的生活实际，而且能够让学生感受到数学与现实生活的紧密联系，增强学生对数学学科的兴趣和认同感。
2.问题导向引导学生思考：通过提出引导性的问题，如点在圆内、点在圆上、点在圆外分别意味着什么？如何判断一个点与圆的位置关系？引导学生思考和探究点与圆的位置关系。通过设计一系列递进式的问题，让学生逐步深入思考和理解点与圆的位置关系，从而培养学生的问题解决能力和思维能力。
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系讲义新人教版-精美
OA＜r OB=r OC＞r
点A在⊙O内
点B在⊙O上 C
点C在⊙O外
A
or B
点与圆的位置关系
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
p
d
点P在⊙O内
d＜r
0
r
P在⊙O上 P在⊙O外
d=r d＞r
0d
rp
d0
P
r
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点 圆上的点
例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房， 东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D出有 一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为 使民房，变电设施古建筑都不遭破坏.问：爆破影 响的半径应控制在什么范围之内？
四、巩固练习
1.如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从
任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点， 圆内的点和圆外的点.
圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的 集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的 集合.圆上的点可以看成是到圆心的距离等于半径的点的 集合.
探究 1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在 哪里？
如图，如果同一直线l上的三点A， B，C能做一个圆，圆心为P， 则点P既在线段AB的垂直平分 线l1上，又在线段BC的垂直平 分线l2上，即点P是直线l1与直 线l2的交点，由此可得：过直线 l外一点P作直线l的垂线有两条 l1，l2，这与“过一点有且仅有 一条直线与已知直线垂直”相矛 盾，∴过同一直线上的三点不O
●A
O
●O
●
人教版九年级数学上册课件：24.2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系
14．如图，⊙O的直径DE＝12 cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠ABC＝30°，BC＝12 cm，⊙O以2 cm/s的速度从左向右移动，在运动 过程中，DE始终在直线BC上，设运动的时间为t(s)，当t＝0时，⊙O在 △ABC的左侧，OC＝8 cm，当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与 ⊙O相切？
PB 与⊙O 相切．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，O 为 AB 上一 点，BO＝x，⊙O 的半径为 2.
(1)当 x 为何值时，直线 BC 与⊙O 相切？ (2)当 x 在什么范围内取值时，直线 BC 与⊙O 相离、相交？
解：(1)过点 O 作 OH⊥BC 于 H，∵∠BOH＝∠A＝30°，BO＝x， ∴BH＝12x，OH＝ 23x，由 OH＝ 23x＝2，得 x＝43 3，此时 BC 与⊙C 相 切 (2)当 0≤x＜4 3 3时，直线 BC 与⊙O 相交；当 x＞43 3时，直线 BC 与⊙O 相离
5．(练习变式)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC ＝2 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有何种位置关系？
(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ 3 cm；(3)r＝2 cm. 解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，可求 CD＝ 3.(1)r＝1.5 cm 时，相离；(2)r＝ 3 cm 时，相切； (3)r＝2 cm 时，相交
第二十四章 圆
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系
知识点1：直线和圆的位置关系的判定 1．如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线的位置关系是 (A ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都不对 2．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l 与⊙O的位置关系的图形是( B )