以圆锥曲线性质为背景的高考题(杜山)
定理2已知抛物线 ，过定点M 作动直线与抛物线交于A、B两点，过点A作直线 的垂线，垂足为D，过点B向直线 作垂线，垂足为C，若直线 与x轴的交点为K，则 ∠AKM=∠BKM.
2005年全国高考江西卷理科第19题为：
如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
本题只是把性质3中的抛物线换成了一个特殊的抛物线，结论当然成立。
性质4已知椭圆 内一定点M ，过M的作直线 的垂线，垂足为C，直线 与x轴交点为K，则 ∠AKM=∠BKM.
，即 .
圆锥曲线有很多优美的性质，这些性质的证明方法灵活多样，思想性强，有利于考查学生的思维能力，因而以圆锥曲线性质为背景的题目已经成为近几年高考命题的热点。解题过程中应适当加强对圆锥曲线性质的关注，以培养发现新问题和探索、解决新问题的能力。
参考文献：
［1］奥林匹克数学中的几何问题.湖南师范大学出版社，2004
本题即是以上述性质为背景命制的。
性质2 过椭圆 上位于第一象限内的一点T作椭圆的切线，与x轴、y轴分别交于点A、B， 分别为椭圆的左右焦点，则∠AB =∠A T.即B、 、 、T四点共圆.
证明：设点T的坐标为 ，则过T的切线方程为 ，令x=0得
点B的坐标为 ，令y=0得点A的坐标为 ，故直线AB的斜率 ，直线 的斜率 .
以圆锥曲线性质为背景的高考题
杜 山
近几年的高考试题中出现了很多以圆锥曲线的性质为背景的题目，命题者通过对圆锥曲线性质的挖掘、引申、演变，编制出了很多耐人寻味的好题，可谓精彩纷呈。本文试举几例，略作说明，仅供读者参考。
性质1已知圆锥曲线的一个焦点是F，过F的焦点弦两端点为A、B，分别过A、B作圆锥曲线的切线，其交点为P，则点P的轨迹是相应于焦点F的准线，且PF⊥AB。
证明： 设 ，则
B（ ），
将点A、B分别代入椭圆方程得
①
②
将①式两端同乘以 ，得
③
消去 ，得
，约去 ，化简得，
，即 ，
即 于是 ， △BKC∽△AKD，
∠BKC=∠AKD，故∠AKM=∠BKM.
特别地，当 时，M为椭圆的右焦点，直线 为相应的准线.
我们来看下面的问题：
已知椭圆 ，内一定点F（ ，0）（ ），直线 与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点，设 （ ），过点P且平行于直线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明
本题为2004年全国高考天津卷第22题第三问的推广.
证明：先证明Q、F、M三点共线.作直线QF，与椭圆交于另一点 ，性质4知，∠ =∠ ，易知 ⊥ 轴，于是点 与M重合，即QM经过点F，过P、Q、M分别作直线 的垂线，垂足分别为S、R、N， 知
由性质4知 即 .
用此方法，也可以很容易地证明原题。
应用与性质4的证明相同的方法可得到如下性质：
于是 ∠AB =
而 ∠A T=
故只需证明 =
即证明
即证明 + )+ ①
由于T 在椭圆上，所以 + = ，而 =
故①式成立， 所以∠AB =∠A T
2006年全国高考浙江卷理科第19题为：
如图，椭圆 与过点A(2,0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设 分别为椭圆的左右焦点，M为 的中点，求证：∠ATM=∠A T.
由第(1)问求得椭圆方程为 ，与直线AB的方程： 联立，解得T( )，即T为线段AB中点，于是∠ATM=
∠ ，由性质2知∠AB =∠A T，故∠ATM=∠A T.
本题实际上是在性质2的基础上，进行特殊化，使切点为AB中点而得到的结论。
性质3过以F为焦点的抛物线上任意两点P、Q的切线相交于T，则∠TPF=∠QTF，∠PTF=∠TQF。(证明参见参考文献［1］)
应用定理2，可证明如下问题：
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段 所成的比为 ，证明: .(2004年全国高考湖南卷理科21题的第一问)
证明：过点A作 的垂线，垂足为D，过点B作 的垂线，垂足为C，由定理2知 设 ，则 ，又由定理2可知∠AQP=∠BQP， AE垂直于 轴，
这个性质的证明比较简单，在很多文献中均有阐述，在此从略。
2006年高考全国(Ⅱ)卷第21题为：
已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
由一道高考题探究圆锥曲线的光学性质及其应用_虞关寿
y0)。则由焦半径公式知|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，∵PM 是角平分
线，∴ |PF1| = |F1M| = m+c |PF2| |F2M| c-m
= a+ex0 a-ex0
，解得 m=e2x0，又 F1Q，F2Q 是
角平分线，∴ |PQ| = |PF1| = |PF2| = |PF1|+PF2| = 2a = a ， |QM| |F1M| |F2M| |F1M|+|F2M| 2c c
=1。∴ 点 Q 的轨迹是以原
(a+c)2
椭圆的焦点为顶点的椭圆。
注：在本题的解题过程中还可得到一个重要的结论：|PQ| |QM|
=
a c
为定值。
（2）设 P(x0, y0)为双曲线右支上一点(x0,>a)，内切圆圆心 G(x,
y)， 延 长 PG 交 x 轴 于 M (m,0)，∵PM 是 角 平 分 线 ，∴ |PF1| = |PF2|
|F1M| ，∴ a+ex0 = c+m ，解得：m= a2 。又由角平分线定理知：
|F2M| -a+ex0 c-m
x0
|PG| = x0-x |GM| x-m
=
x0-x x- a2
= y0-y y
= |PF1| = |PF2| = |PF1|-|PF2| = |F1M| |F2M| |F1M|-|F2M|
(x0+ky0)+c
1+k· y0
x0-c+ky0
(x0+ky0)-c
x0-c
然后将
k=-
b2 a2
·x0 y0
代入可得：-ck=
【山东省】2017年高考数学(理科)-圆锥曲线的定义、方程、几何性质-专题练习-答案
＋
y12 b2
y22
＝0,
即
x1
x2 x1
4b2
x2
＋
y1
y2
b2
y1
y2
＝0,
即
32 17
x1 4
x2
＋4 17
(
y1－y2
)＝0,
从而kPQ＝
y1 y2 x1 x2
＝2,
6
分
直线l的方程为y－ 2 17
＝2
x
16 17
＝2ay(a≠0),椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m＞0,n＞0),双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn＞0). 【变式训练一】
1 （1）A 抛物线 y＝8x2,即 x2＝8y 的焦点为 F(0,2),
a 即 c＝2,双曲线的渐近线方程为 y＝±bx,
bc 可得 F 到渐近线的距离为 d＝ a2＋b2＝b＝ 3,
b2 1＋a2＝
53 1＋4＝2.]
1 pp 2px02－2 2 ∵kMF′＝kFF′,∴ x0 ＝－2.①
1
13
又∵y′＝px,∴y′|x＝x0＝px0＝ 3 .②
43 由①②得 p＝ 3 .] 回访三 弦长问题
6．B [抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0),∴椭圆中 c＝2,
c1 又a＝2,∴a＝4,b2＝a2－c2＝12,
x2 y2 从而椭圆方程为16＋12＝1．
∵抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2,
∴xA＝xB＝－2, 将 xA＝－2 代入椭圆方程可得|yA|＝3, 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6．故选 B．]
19版：高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题（步步高）
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.故选A.3．(2017·全国Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10答案 A解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点， 所以F (1,0)．由题意知直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 显然，该方程必有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2)＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.4．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________. 答案 2解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，解得m ＝2.5．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 显然，方程必有两个不等实根． ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 (2018·佛山模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 A解析 ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．跟踪训练1 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (2,0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D. 题型二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2018届辽宁凌源二中联考)已知圆E ：(x －3)2＋(y ＋m －4)2＝1(m ∈R )，当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率，则双曲线C 的渐近线为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±12xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x答案 C解析 圆E 的圆心到原点的距离d ＝32＋(4－m )2，由此可得，当m ＝4时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是d min ＝3－1＝2，即双曲线的离心率为e ＝ca＝2，由此可得ba ＝c 2－a 2a＝3，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±bax ＝±3x .故选C.(2)(2016·天津)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________． 答案6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(p >0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，∴F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，又|CF |＝2|AF |且|CF |＝⎪⎪⎪⎪72p －p 2＝3p ， ∴|AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p )． 易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12， 故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A.题型三 最值、范围问题例3 (2017·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． 解 (1)由P (x ，y )，即P (x ，x 2)．设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32.所以直线AP 斜率的取值范围为(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减．因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围．跟踪训练3 (2016·山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝⎛⎭⎫m ，m22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )．即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22， 得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m， 所以直线OD 方程为y ＝－14mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22，又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)，所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1)， 所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2.设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.题型四 定点、定值问题例4 (2017·益阳、湘潭调研)已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0)为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值，并求出该定值． 解 (1)由题设得|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2， ∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆， ∵2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m,0)(－2<m <2)， 直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0， x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3，∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m ) ＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3.y 1·y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m ) ＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2 ＝3k 2(m 2－4)4k 2＋3.∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2 ＝(k 2＋1)－6m 2(4k 2－3)＋24(3＋4k 2)(4k 2＋3)2.∵ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，∴4k 2－3＝0， 解得k ＝±32.此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7.思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．跟踪训练4 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． (1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，① 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，由①中判别式Δ＝4k 2b 2－4(k 2＋9)·(b 2－m 2)>0，得k 2m 2>9b 2－9m 2， 又b ＝m －k3m ，所以k 2m 2>9⎝⎛⎭⎫m －k 3m 2－9m 2， 得k 2>k 2－6k ，所以k >0.所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝km (k －3)3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×km (k －3)3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． 题型五 探索性问题例5 (2018·泉州模拟)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎨⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点，如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1， 即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)．证明如下：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |，其中Q 点坐标为(0,2)． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1， x 1x 2＝－22k 2＋1， 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ， 易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)，又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1， 所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |，故存在与点P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立． 思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．跟踪训练5 (2018届珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－23)，(－2，0)，(4，－4)，⎝⎛⎭⎫2，22. (1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N 且满足OM→⊥ON →？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)， 据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易得，抛物线C 2的标准方程为C 2：y 2＝4x ；设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎫2，22代入可得a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)由椭圆的对称性可设C 2的焦点为F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.直线l 交椭圆C 1于点M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32， OM →·ON →≠0，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2， y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝－3k 21＋4k 2，① 由OM →⊥ON →，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.②将①代入②式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0， 解得k ＝±2.经检验，k ＝±2都符合题意．所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.。
(完整版)高考圆锥曲线经典真题
高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
近五年山东高考真题汇总之圆锥曲线
山东高考真题圆锥曲线(08年) (22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜由22x py =得22xy p=，则,x y p'=所以12,.M A M B x x k k pp==因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p +=-直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=-①222202().2x x p x x pp+=-②由①、②得212120,2x x x x x +=+-因此 21202x x x +=，即0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2AB x x x x x ppk x x pp-+===-所以2.AB k p=由弦长公式得2221212241()411616.AB kx x x x p p=++-=++又410AB =， 所以p =1或p =2，因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为011(),x y y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，代入得033.x y x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0，0)或2002(2,).x D x p（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时221222221212002(2,),,224C D x x x x x x p C x k px px +++==又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44A B C Dx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，又00,AB x k p=≠所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.(09年)（22）（本小题满分14分） 设椭圆E:22221x y ab+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
以圆锥曲线性质为背景的高考题(杜山)
杜 山
近几年的高考试题中出现了很多以圆锥曲线的性质为背景的题目，命题者通过对圆锥曲线性质的挖掘、引申、演变，编制出了很多耐人寻味的好题，可谓精彩纷呈。本文试举几例，略作说明，仅供读者参考。
性质1已知圆锥曲线的一个焦点是F，过F的焦点弦两端点为A、B，分别过A、B作圆锥曲线的切线，其交点为P，则点P的轨迹是相应于焦点F的准线，且PF⊥AB。
这个性质的证明比较简单，在很多文献中均有阐述，在此从略。
2006年高考全国(Ⅱ)卷第21题为：
已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
2005年全国高考江西卷理科第19题为：
如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
本题只是把性质3中的抛物线换成了一个特殊的抛物线，结论当然成立。
性质4已知椭圆 内一定点M ，过M的弦的两端点为A、B，过点A作直线 的垂线，垂足为D，过点B作直线 的垂线，垂足为C，直线 与x轴交点为K，则 ∠AKM=∠BKM.
证明： 设 ，则
B（ ），
将点A、B分别代入椭圆方程得
①
②
将①式两端同乘以 ，得
③
消去 ，得
，约去 ，化简得，
，即 ，
即 于是 ， △BKC∽△AKD，
∠BKC=∠AKD，故∠AKM=∠BKM.
特别地，当 时，M为椭圆的右焦点，直线 为相应的准线.
圆锥曲线历年高考题
圆锥曲线历年高考题一、选择题1、（2003年）以椭圆2225225y +=9x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线的标准方程为（ ）A 、221412x y -= B 、221124x y -= C 、221204x y -= D 、221420x y -= 2、（2008年）直线()20y x b b =+≠与双曲线22128x y -=的交点个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3、（2008年）椭圆221259x y +=与双曲线()221925259x y k k k -=<<--始终有（ ） A 、相同的离心率 B 、相同的顶点 C 、相同的焦点 D 、以上结论错误 4、（2009年）抛物线24y x =-上的一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标为（ ） A 、 2 B 、 4 C 、 3 D 、2-5、（2010年）方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A 、 ()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、 ()0,2 D 、()0,16、（2011年）若抛物线方程是24y x =，则其准线方程是（ ）A 161-=x B 81-=x C 1-=x D 1-=y 7、（2012年）若抛物线方程是281y x =，则其准线的方程为（ ）A 2-=xB 4-=xC 2-=yD 4-=y8、（2013年）椭圆1422=+y x 的离心率为（ ） A21 B 23 C 65 D 32 9、（2014年）抛物线241x y -=的准线方程为（ ） A 1-=y B 1=y C 21-=y D 21=y10、（2014年）直线k x y -=与抛物线x y 42=交于两个不同的点A 、B ，且AB 中点的横坐标为1，则k 的值为（ ）A 1- 或2B 1-C 2D 31± 11、（2015年）抛物线241y x -=的焦点坐标为（ ） A （0,1） B （0，－1） C （1,0） D （－1，0）二、填空题12、（2003年）双曲线22916144y x -=的渐近线方程为______13、（2005年）已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点坐标为()0,3，则k=_______14、（2007年）双曲线的一条渐近线方程是y ，焦点是()4,0-,()4,0。
2023年高考圆锥曲线解答题精选一百道答案
故点
h 在以 为直径的圆外．
13. （1） 设切点坐标为 h h h h h h ，则切线斜率为
线方程为
h
h
h
h
即
h
h
此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
h，切
h
由h
h
最大值，即
hh
hh
h h，可知，当且仅当 h
有最小值，因此点 的坐标为
由题意知
h
时， h h 有
．
h
解得
故 方程为 （2） 由（1）知
．
若直线 与曲线 只有一个交点，令
h．
当 h 时，解得
h，即
解得
，
，即 h，
，此时方程可化为
满足条件．
当 h 时，
①若
是方程的解，则
h
h 另一根为
故在区间
上有且仅有一个根，满足题意．
h h툨 ，
②若
是方程的解，则
h
另外一根为
，
툨
，故在区间
上有且仅有一个根，满足题意．
③若
和
均不是方程的解，则方程在区间
3. （1） 设
，
，
则：
，
，所以
，
又
两式相减得 即
က က
h
h
所以
，
因此原命题得证，且定值为 ．
（2） 根据题意，如图．
假设存在符合题意的平行四边形 于是
，设 h h ，则
h
h
က
᜕h
此时根据第（1）小题的结论，有 က hh က
hh
整理得
ကh ကh
h
h
က
即
押新高考第21题 圆锥曲线(新高考)(原卷版)
圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值；(2) 求()()48f f -+的值；(3) 求函数()f x 的解析式.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6 （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2 且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程. 2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，2过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且12224AF F Sa =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤，且2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且焦距1223F F =，线段,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,2s t =≠±，直线,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E 两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。
23年全国乙卷圆锥曲线题解析
23年全国乙卷圆锥曲线题解析
2023年全国乙卷圆锥曲线题解析如下：
题目类型：圆锥曲线题
题目描述：本题是15-18年最为风靡的齐次化联立模型（背景是极点极线
或者说对合，定点即是椭圆上顶点），只要证明AP，AQ斜率和为定值即可。
解题思路：
1. 联立椭圆和直线方程，消去x得到关于y的二次方程。
2. 利用韦达定理，求出AP，AQ的斜率之和。
3. 结合已知条件，证明斜率之和为定值。
解题方法：
1. 联立方程法：将椭圆方程与直线方程联立，消去x得到关于y的二次方程。
2. 韦达定理法：利用韦达定理求出AP，AQ的斜率之和。
3. 证明法：结合已知条件，证明斜率之和为定值。
总结：本题主要考查了椭圆与直线的联立，以及韦达定理的应用。
解题的关键在于利用已知条件证明斜率之和为定值。
同时，也需要注意解题的细节和计算准确性。