北京市西城区2011届高三上学期期末考试数学试题(理)
北京市西城区2011 — 2012学年度高三第一学期期末试卷(数学理)
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i22+（B ）1i 22-（C ）1i 22-+（D ）1i 22--2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A）1)-（B）(1,-（C）(1)-（D）(1,-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使A B C △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② (0)y x =≤≤；③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O的割线．若2P A B C=P B B C=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111naaa+++= ______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若b =4B π∠=，sin 5C =c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知c a rd ()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1D C 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段M N 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ； （Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan 3x =-………………3分由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan 3x =-π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+）………………8分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+.………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)32x -=-. ………………4分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C21P X ===； 115227C C 10(3)C21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11010242342121217E X =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结O D .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11AC C A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥O D ， ………………2分 因为 O D ⊂平面1A D C ，1A B ⊄平面1A D C ， 所以 1A B ∥平面1A D C . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B . 所以 (1,2,0)A D =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面A D C 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v. ………………9分所以二面角1C AD C --的余弦值为23.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)A E λ=-，1(1,0,1)DC = . ………………11分因为AE 与1D C 成60︒角，所以1112A E D C A E D C ⋅=. ………………12分即12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1D C 成60︒角. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为22143xy+=. ………………4分（Ⅱ）解：当M N x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当M N 与x 轴不垂直时，可设直线M N 的方程为(1)(0)y k x k =-≠. 由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段M N 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834kx x k+=+. ………………8分所以 212324234x x kx k+==+，3323(1)34k y k x k-=-=+.线段M N 的垂直平分线方程为)434(1433222kkx kk k y +--=++.在上述方程中令0=x ，得kk kky 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k+≤-；当0k >时，34k k+≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1x f x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a-；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a-；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. …8分③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a-，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a-；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a -，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………4分① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()kk k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]kk k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()iiii i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n = .由于n 为偶数，所以11(1)()nn n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n = .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-= ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i ix y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+= 即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()ii i n y x x x =+--，1(1)()ii i n z y y y =+--11(1)()(1)()iii n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i ni n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()iii n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2ii i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-= ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--= .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n - 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。
2011年北京西城高三期末数学理
西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B = （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//ABa ，则实数y 的值为（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）83.已知A B C ∆中，1,a b ==45B =，则角A 等于（A ）150（B ）90 （C ）60 （D ）304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 （A ）cos ρθ=（B ）sin ρθ=（C ）cos 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是 （A ）35a a （B ）35S S （C ）nn a a 1+ （D ）nn S S 1+7．如图，四边形A B C D 中，1A B A D C D ===，BD =BD C D ⊥.将四边形A B C D 沿对角线B D 折成四面体A BC D '-，使平面A BD '⊥平面BC D ，则下列结论正确的是（A ）A C B D '⊥（B ）90BA C '∠=（C ）C A '与平面A B D '所成的角为30 （D ）四面体A BC D '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A ）① （B ）②（C ）①③（D ）①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i 为虚数单位，则22(1i)=+______.10.在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____.11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.12.如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2B A A P =，P T 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则P T =_____.13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.AB CD三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//A B 平面1A D C ； （Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值.17.（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6. （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列.BC 1B 1A 1D18.（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以M N 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R .(Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = . （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件.西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（理科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 80 11. 412.3 13. 0x y ±=，3± 14.，2注：13、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-2cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1A A ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱. ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11C C A D ⊥， ………………2分 又因为1111A B A C =，D 为11B C 中点，所以111A D B C ⊥. ……………3分 因为1111C C B C C = ,所以1A D ⊥平面11BB C C . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结O D ，因为11AC C A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为11B C 中点，所以O D 为11A B C ∆中位线， 所以1//A B O D ， ………………6分 因为O D ⊂平面1A D C ，1AB ⊄平面1A D C ， 所以1//A B 平面1A D C . ………………8分(Ⅲ)解： 因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形， 90BAC ∠= ，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -.设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，.1111(,,0),(0,11)22A D A C ==- ，， ………………9分设平面1A D C 的法向量为=()x,y,z n ，则有 1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n . ………………10分又因为AB ⊥平面11AC C A ，所以平面11AC C A 的法向量为(1,00)A B =，，………11分cos ,3A B A B A B⋅〈〉===n n n ， ………………12分因为二面角1D A C A --是钝角，所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-. ………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536. ………………4分（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C==.………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=. ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分33361(3)20C P X C===，23363(4)20C P X C ===，243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====. ………………12分所以，随机变量X………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得32c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+yx. ………………4分（Ⅱ）由22221,,x ya b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a bx x x x b a k-+==+， ………………6分依题意，O M O N ⊥，易知，四边形2O M F N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ………………8分即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 42224242188********a a k a aa a-+==---+-. ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<. ………………11分所以218k ≥，即(,],]44k ∈-∞-+∞ . ………………13分19.（本小题满分14分） 解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………………3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………………6分②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a. …………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………8分④当12a >时，102a<<，在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有m ax m ax ()()f x g x <. ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ……………11分②当12a >时，()f x 在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故m ax 11()()22ln 2f x f a aa==---. 由12a >可知11ln lnln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，m ax ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-. ………………14分20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n nnn -⨯=+=-+. ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n nn a =-+.………………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， ………………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k iii k a a a a kf k i i k i k i k+++--+====+++++，（其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有na n 76=； ………………10分当76i i a ≠时，17771166()()6(1)666(1)6i i k k iiia a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i i a >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调减数列； ②若76i i a <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a ik ++为单调增数列；………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{n an 中必有某数重复出现无数次.当B a ∉1时，}6{6ik ai k ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{nan 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分仅供参考angeikong。
北京市西城区-第一学期期末考试高三数学理及答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2 x3ya321258zE FCB A已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CAB AB AB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ……………… 5分111(1)222p pp1122p . ……………… 6分 因为114()225P C p ， 所以35p. ……………… 7分 又因为113p q ，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
北京市西城区2011届高三上学期期末考试语文试题(WORD精校版)
北京市西城区2011届高三第一学期期末考试试题语文试题注意事项：1．本试卷分第一部分和第二部分。
共150分，考试时间为150分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上指定的位置。
3．作答时，将答案写在答题纸上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1．下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确．．．．的一项是（）A．煞风景英雄倍出挟．（xiā）制命运多舛．（chuǎn）B．舶来品貌和神离纰．（pī）漏不着．（zháo）边际C．协奏曲鞭辟入里混．（hùn）淆西学东渐．（jiān）D．度难关铤而走险慰藉．（jí）铩．（shā）羽而归2．下列句子中，加点的成语使用恰当的一项是（）A．近年很多名牌大学毕业生，除了书本知识外便身无长物．．．．，被认为缺乏一技之长而在现代职场中难以立足。
B．中华民族园中风姿绰约．．．．的民族歌舞表演，令来自世界各地的游客们如醉如痴，给大家留下了美好的印象。
C．国际社会纷纷要求中国运用对朝鲜的影响力促使这个国家冷静下来，以避免其与韩国在冲突中两败俱伤．．．．。
D．上海世博会会徽，形似汉字“世”，并与数字“2010”一拍即合．．．．，充分反映了多元文化相融合的办会理念。
3．下列句子中，没有语病的一项是（）A．中华民族是文化遗产历史悠久的证明，我们应当秉持对古代文明成果的珍惜。
B．如何在肯定草根文化的同时，不过分鼓吹偶像崇拜，是值得媒体深思的问题。
C．近年来中国已建成世界上最大的高铁网，目前正在加快高铁设备的出口规模。
D．第16届亚运会在广州隆重举行，各大报纸都关于亚运会开幕式作了详细报道。
4．下列有关文学常识的表述，有错误．．．的一项是（）A．先秦诸子散文长于论说，如《孟子》《庄子》《荀子》等；先秦历史散文则长于叙事，如《左传》《国语》《战国策》等。
北京市西城区2011年高三一模试卷 (理数)
北京市西城区2011年高三一模试卷数 学（理科） 2011. 4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于 （A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x = （D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则 （A ）a b c <<（B ）b c a <<（C ）c a b <<（D ）b a c <<4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于 （A ）31-（B ）32-（C ）32 （D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么 （A ）312,,2x x x 成等差数列 （B ）312,,2x x x 成等比数列 （C ）132,,x x x 成等差数列 （D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是 （A ）①②（B ）②③（C ）③（D ）③④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_____. 10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA =4PC =，圆心O 到BC圆O 的半径为_____. 11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.OABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .17.（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.A BCD F E18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（Ⅱ）若1FA AP λ= ,2BF FA λ= ,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.20.（本小题满分13分）定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度.（Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤； （Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2 10. 2 11. 415±12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分所以10≤ac ，（当a c == ……………………12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233p p -⨯⨯-=，分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X ……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=所以3=DBED. 由3=AD可知DE =AF ………………6分 则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,BF =-，(3,0,EF =-， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z ==n . …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，所以cos ,CA CA CA ⋅〈〉===n n n . …………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分 解()0g x '=，得1ea x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………10分 当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-，所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分 综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分 圆的半径为1121()2224FAx p px +=⨯--=， …………………4分 所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ= ,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 由221y y λ=-，得222221y y λ=.又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+， 整理得122p x λ=， …………………12分代入1112p x x λ-=-，得122222p p pλλλ-=-， 所以12211λλλ=-， …………………13分 因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+， 将2px my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ= ，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分 所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112p x x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分 因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯= . ………………3分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分 因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<. 若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<， 当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤， 当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ……………………6分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. …………………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾.所以，321a a a >>. ………………………9分（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾.所以，1+>i i a a . …………………11分 （ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾.所以，1n n a a ->. …………………12分 综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ……………………13分。
2023-2024学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京西城区2011届高三第一学期期末考试数学(理)试题及答案
北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//ABa ，则实数y 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．已知ABC ∆中，1,a b =45B =，则角A 等于 （ ）A ．150B ．90C ．60D ．304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（ ）A ．cos ρθ=B ．sin ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．sin 1ρθ=5．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A ．A C BD '⊥B ．90BA C'∠=C ．CA '与平面A BD '所成的角为30D ．四面体A BCD '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2xf x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <． 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是A ．①B ．②C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______．10．在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____．AB CD11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____．12．如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点．已知圆C 的半径为2，30CAB ∠= ,则PT =_____．13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC,点D 是棱11B C 的中点． （Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的余弦值．17．（本小题满分13分） 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 18．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．A BC C 1B 1A 1D（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点．若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围．19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = ． （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求首项1a 应满足的条件．参考答案（理科） 2011．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C D CB D B D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i - 10．80 11．412．3 13．0x y ±=，3± 142注：13、14题第一问2分，第二问3分． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-． ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱． ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥， ………………2分又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点， 所以111A D B C ⊥． ……………3分 因为1111CC B C C = ,所以1A D ⊥平面11BB C C ． ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD ， 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为11B C 中点，所以OD 为11ABC ∆中位线， 所以1//AB OD ， ………………6分 因为OD ⊂平面1A DC ，1AB ⊄平面1A DC ， 所以1//AB 平面1A DC ． ………………8分（Ⅲ）解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=， 所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -．设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，．1111(,,0),(0,11)22A D AC ==- ，， ………………9分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………10分 又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分cos ,AB AB AB⋅〈〉===n n n ， ………………12分 因为二面角1D AC A --是钝角， 所以，二面角1D AC A --的余弦值为 ………………13分 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536． ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==．………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=． ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6． (9)分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===，243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====． ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:X 3 45 6P120 320 310 12………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a = (2)分结合222a b c =+，解得212a =，23b =． ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x ． ………………4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ．所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+， ………………6分依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=． ………………8分 即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-． ………………10分因为2322≤<e ，所以a ≤<21218a ≤<． ………………11分所以218k ≥，即(,](]44k ∈-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >． ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =． ………………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． (5)分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ………………6分②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．…………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a． ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-． ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n n n n -⨯=+=-+． ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+．………………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，………………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥， 所以数列}{n c 为等差数列． ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列． ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分 当76i ia ≠时， 17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii ia a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列； ②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调增数列； ………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{na n中必有某数重复出现无数次． 当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最 多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次……14分。
北京市西城区届高三数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x| D．3．设命题p：“若，则”，命题q：“若a＞b，则”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为假命题C．“￢q”为假命题D．以上都不对4．“”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．7．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么λ的取值范围是（）A．（0，7）B．（4，7）C．（0，4）D．（﹣5，16）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=B，a=3，c=2，则cosC= ．11．双曲线C：的渐近线方程为；设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且|PF1|=4，则|PF2|= ．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别相交于点M，N，则AN= ；= ．13．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种．（用数字作答）14．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，求α的最小值．16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．18．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．20．在数字1，2，…，n（n≥2）的任意一个排列A：a1，a2，…，a n中，如果对于i，j∈N*，i＜j，有a i＞a j，那么就称（a i，a j）为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．如n=4时，在排列B：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S （B）=4．（Ⅰ）设排列 C：3，5，6，4，1，2，写出S（C）的值；（Ⅱ）对于数字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A：a1，a2，…，a n中两个数字a i，a j（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b1，b2，…，b n，求证：S（A）+S（A'）为奇数．2015-2016学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由A与B，以及两集合的交集为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x| D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题．3．设命题p：“若，则”，命题q：“若a＞b，则”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为假命题C．“￢q”为假命题D．以上都不对【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：“若，则”是假命题，命题q：“若a＞b，则”如：a=1，b=﹣1，故命题q是假命题，故p∨q是假命题，故选：B．【点评】本题考察了复合命题的判断，是一道基础题．4．“”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质，对于数列{a n}，“数列{a n}为等比数列”可以推出““”，对于反面，我们可以利用特殊值法进行判断；【解答】解：若数列{a n}是等比数列，根据等比数列的性质得：，反之，若“”，当a n=0，此式也成立，但数列{a n}不是等比数列，∴“”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选B．【点评】此题主要考查等比数列的性质及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．6．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m 的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．【考点】程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞4时，所收费用y的表达式，化简可得答案．【解答】解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，难度中档．8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么λ的取值范围是（）A．（0，7）B．（4，7）C．（0，4）D．（﹣5，16）【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立坐标系，逐段分析的取值范围及对应的解，【解答】解：以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E（0，4），F（6，4）．（1）若P在CD上，设P（x，0），0≤x≤6．∴=（﹣x，4），=（6﹣x，4）．∴=x2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤≤16．∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．（2）若P在AD上，设P（0，y），0≤y≤6．∴=（0，4﹣y），=（6，4﹣y）．∴=（4﹣y）2=y2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤≤16．∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．（3）若P在AB上，设P（x，6），0≤x≤6.=（﹣x，﹣2），=（6﹣x，﹣2）．∴=x2﹣6x+4，∵0≤x≤6．∴﹣7≤≤4．∴当λ=﹣7时有一解，当﹣7＜λ≤2时有两解．（4）若P在BC上，设P（6，y），0≤y≤6，∴=（﹣6，4﹣y），=（0，4﹣y）．∴=（4﹣y）2=y2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤≤16．∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．综上，∴0＜λ＜4．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积计算，二次函数的根的个数判断．属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ﹣1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=B，a=3，c=2，则cosC= ．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知可求b的值，利用余弦定理即可求值得解．【解答】解：∵A=B，a=3，c=2，可得：b=3，∴cosC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，考查了余弦定理的应用，属于基础题．11．双曲线C：的渐近线方程为；设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且|PF1|=4，则|PF2|= 12 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线C：中a=4，b=2，可得渐近线方程为，由题意P在双曲线的左支上，则|PF2|﹣|PF1|=2a=8，即可得出结论．【解答】解：双曲线C：中a=4，b=2，则渐近线方程为，由题意P在双曲线的左支上，则|PF2|﹣|PF1|=2a=8，∴|PF2|=12故答案为：，12．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，比较基础．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别相交于点M，N，则AN= ；= ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】利用勾股定理、切割线定理，即可得出结论．【解答】解：由题意，AO==，由切割线定理可得9=AN•（+2），∴AN=．AC==5，由切割线定理可得9=AM•5，∴AM=，∴MC=，∴=．故答案为：，．【点评】本题考查勾股定理、切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．13．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有54 种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；整体思想；数学模型法；排列组合．【分析】第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C42A33=36种，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A33C32=18种，根据分类计数原理可得，共有36+18=54种，故答案为：54．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，特殊元素特殊处理，属于中档题．14．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据食品在4℃的保鲜时间是16小时．求出k值，进而逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，∴，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：①④，故答案为：①④．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数在实际生活中的应用，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，求α的最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意可得g（0）=0，即，由此求得α的最小正值．【解答】（Ⅰ）解：===，所以函数f（x）的最小正周期．由，k∈Z，得，所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅱ）解：由题意，得，因为函数g（x）为奇函数，且x∈R，所以g（0）=0，即，所以，k∈Z，解得，k∈Z，验证知其符合题意．又因为α＞0，所以α的最小值为．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数n=，这2局的得分恰好相等基本数件个数m=2，由此能求出从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为13，15，16，18，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）由已知条件能写出x的可能取值为6，7，8．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A，…由题意，得，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为．…（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，…且，，，，……所以．…（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可阿门平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…同理，得EF∥平面PAB．又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，所以平面MEF∥平面PAB．…又因为ME⊂平面MEF，所以ME∥平面PAB．…（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），所以，，，…设，则，所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）．…设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，，得令x=1，得=（1，1，1）．…因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以，即，…所以，解得，或（舍）．…【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用．18．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；分析法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．【解答】解：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，，（x＞0）．由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），即k=2t=2，解得t=1．又切点坐标为（1，0），所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）．“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．求导，得．①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）单调递增．又因为h（1）=0，所以y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h（x）min=h（1）=0，故y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．③当0＜t＜1时，令h'（x）=0，解得．↘↗所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，所以当时，．因为h（1）=0，，且h（x）在上单调递增，所以．又因为存在，，所以存在x0∈（0，1）使得h（x0）=0，所以函数y=h（x）存在两个零点x0，1，与题意不符．综上，曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点时，t的范围是{t|t≤0，或t=1}．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．…当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．…【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20．在数字1，2，…，n（n≥2）的任意一个排列A：a1，a2，…，a n中，如果对于i，j∈N*，i＜j，有a i＞a j，那么就称（a i，a j）为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．如n=4时，在排列B：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S （B）=4．（Ⅰ）设排列 C：3，5，6，4，1，2，写出S（C）的值；（Ⅱ）对于数字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A：a1，a2，…，a n中两个数字a i，a j（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b1，b2，…，b n，求证：S（A）+S（A'）为奇数．【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；分类讨论；分析法；排列组合．【分析】（Ⅰ）由逆序对的定义，列举即可得到所求值为10；（Ⅱ）考察排列D：d1，d2，…，d n﹣1，d n，运用组合数可得排列D中数对（d i，d j）共有个，即可得到所有S（A）的算术平均值；（Ⅲ）讨论（1）当j=i+1，即a i，a j相邻时，（2）当j≠i+1，即a i，a j不相邻时，由新定义，运用调整法，可得S（A）+S（A'）为奇数．【解答】解：（Ⅰ）逆序对有（3，1），（3，2），（5，4），（5，1），（5，2），（4，1），（4，2），（6，4），（6，1），（6，2）则S（C）=10；（Ⅱ）考察排列D：d1，d2，…，d n﹣1，d n与排列D1：d n，d n﹣1，…，d2，d1，因为数对（d i，d j）与（d j，d i）中必有一个为逆序对（其中1≤i＜j≤n），且排列D中数对（d i，d j）共有个，所以．所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为．而对于数字1，2，…，n的任意一个排列A：a1，a2，…，a n，都可以构造排列A1：a n，a n﹣1，…，a2，a1，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．所以所有S（A ）的算术平均值为．（Ⅲ）证明：（1）当j=i+1，即a i，a j相邻时，不妨设a i＜a i+1，则排列A'为a1，a2，…，a i﹣1，a i+1，a i，a i+2，…，a n，此时排列A'与排列A：a1，a2，…，a n相比，仅多了一个逆序对（a i+1，a i），所以S（A'）=S（A）+1，所以S（A）+S（A'）=2S（A）+1为奇数．（2）当j≠i+1，即a i，a j不相邻时，假设a i，a j之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，a i，k1，k2，…k m，a j，…，a n，先将a i向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，a i，k2，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A1）与S（A）的奇偶性不同，再将a i向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，a i﹣1，k1，k2，a i，k3，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同，以此类推，a i共向右移动m次，得到排列A m：a1，a2，…，k1，k2，…，k m，a i，a j，…，a n，再将a j向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，…，k m，a j，a i，…，a n，以此类推，a j共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：a1，a2，…，a j，k1，…，k m，a i，…，a n，即为排列A'，由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S（A）+S（A'）为奇数．综上，得S（A）+S（A'）为奇数．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和排列组合的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．21。
北京西城区2013届高三上学期期末考试数学(理科)试题
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，R t △A B C 中，90ACB ︒∠=，3A C =，4B C =．以A C 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；C D =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______． 12．已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12P F F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2B C =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线A F ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线M N 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nniji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．……………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．…………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A C B C BA=， ………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sin sin()12464C πππ+==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=．………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin A C B C B A=， ………………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+………………11分所以 △ABC 的面积1sin 22S AB BC B =⋅=………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． …………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD ． ……7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线D z AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以D z ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4A B =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=；411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =．………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． (1)分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈．……9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ．……………13分。
西城高三期末理科数学含答案
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则AB =（ ）（A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____ 10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ． 若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上． 若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB EAC PAD ⊥ABCD B AC E --8282100（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =． (3)分 因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =，………………5分所以 π3B =． ………………6分 解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B=， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =， ……………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为512C A Bπ=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， ………………11分 所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C =⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B=， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得1AB =+ ………………11分所以 △ABC 的面积1sin 2S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以线PB EAC ⊥PA PDC CD PA ⊥ABCD CD AD ⊥CD ⊥ABCD Dz ⊥ABCD4(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E )1,0,3(-=)0,4,4(-=EAC=()x,y,z n 0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 1=x (1,1,3)=n ABCD (0,0,1)=v |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v B AC E --B AC E --11113-AD M BC N PM MN ABCDCDMN //⊥MN PAD PD PA =⊥PM AD ,,MP MA MN xyz M -4=AB (2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---)1,0,3(-=)0,4,4(-=EAC=()x,y,z n 0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 1=x =n )3,1,1(ABCD=v )1,0,0(|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v B AC E --B AC E --11113-4032841005++=4029631004++=X90,45,30,15-433(90)545P X ==⨯=133(45)5420P X ==⨯=411(30)545P X ==⨯=111(15)P X =-=⨯=X1904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=n 5n -依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥．所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=．………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分 设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。
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北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B = （A ）{13}x x -≤<（B ）{13}x x -<<（C ）{1}x x <- （D ）{3}x x > 2. 已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//ABa ，则实数y 的值为（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8 3.已知A B C ∆中，1,a b ==45B =，则角A 等于（A ）150 （B ）90 （C ）60 （D ）304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 （A ）cos ρθ=（B ）sin ρθ=（C ）cos 1ρθ=（D ）sin 1ρθ= 5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞-（B ）[2,1]-- （C ）[1,2]-（D ）[2,)+∞6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是 （A ）35a a （B ）35S S （C ）nn a a 1+（D ）nn S S 1+7．如图，四边形A B C D 中，1A B A D C D ===，BD =BD C D ⊥.将四边形A B C D 沿对角线BD 折成四面体A BC D '-，使平面A BD '⊥平面BC D ，则下列结论正确的是（A ）A C B D '⊥ （B ）90BA C'∠=（C ）C A '与平面A B D '所成的角为30（D ）四面体A BC D '-的体积为13AB CD8．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2xf x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i 为虚数单位，则22(1i)=+______.10.在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____.11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.12.如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2B A A P =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则P T =_____.13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.[来源:]（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//A B 平面1A D C ； （Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值.17.（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率； （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列.18.（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若ABCC 11B 1A 1D坐标原点O 在以M N 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R .(Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.[来源:学科网]20.（本小题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = . （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（理科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 80 11. 412.3 13. 0x y ±=，3± 14.2注：13、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-2cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1A A ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱. ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11C C A D ⊥， ………………2分 又因为1111A B A C =，D 为11B C 中点，所以111A D B C ⊥. ……………3分 因为1111C C B C C = ,所以1A D ⊥平面11BB C C . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结O D ，因为11AC C A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为11B C 中点，所以O D 为11A B C ∆中位线， 所以1//A B O D ， ………………6分 因为O D ⊂平面1A D C ，1AB ⊄平面1A D C ， 所以1//A B 平面1A D C . ………………8分(Ⅲ)解： 因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形， 90BAC ∠= ，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -.设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，.1111(,,0),(0,11)22A D A C ==- ，， ………………9分设平面1A D C 的法向量为=()x,y,z n ，则有 1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n . ………………10分又因为AB ⊥平面11AC C A ，所以平面11AC C A 的法向量为(1,00)A B =，，………11分cos ,3A B A B A B⋅〈〉===n n n ， ………………12分因为二面角1D A C A --是钝角，所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-. ………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536. ………………4分（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==.………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=. ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分33361(3)20C P X C===，23363(4)20C P X C ===，243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====. ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得32c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分[来源:Z&xx&]所以，椭圆的方程为131222=+yx. ………………4分（Ⅱ）由22221,,x ya b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a bx x x x b a k-+==+， ………………6分依题意，O M O N ⊥，易知，四边形2O M F N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ………………8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 42224242188********a a k a aa a-+==---+-. ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<. ………………11分所以218k ≥，即(,],]44k ∈-∞-+∞ . ………………13分19.（本小题满分14分）解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………………3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………………6分 ②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a. …………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………8分④当12a >时，102a<<，在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有m ax m ax ()()f x g x <. ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，[来源:学科网] ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ……………11分②当12a >时，()f x 在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故m ax 11()()22ln 2f x f a aa==---.由12a >可知11ln lnln12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，m ax ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-. ………………14分20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n nnn -⨯=+=-+. ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n nn a =-+.………………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， ………………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k iii k a a a a kf k i i k i k i k+++--+====+++++，（其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有na n 76=； ………………10分当76i i a ≠时，17771166()()6(1)666(1)6i i k k iiia a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i i a >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调减数列； ②若76i i a <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a ik ++为单调增数列；………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}63236=--， 当B a ∈1时，数列}{n a n 中必有某数重复出现无数次. 当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{na n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分。