山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A版
2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲 三角恒等变换(九大题型)(课件)
题型一：两角和与差公式的证明
题型一：两角和与差公式的证明
题型二：两角和与差的三角函数公式
题型二：两角和与差的三角函数公式
题型二：两角和与差的三角函数公式
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
2024
高考一轮复习讲练测
第02讲 三角恒等变换
目录
CONTENTS
01
考情分析
02
网络构建
03
知识梳理 题型归纳
04
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
（1）会推导两角差的余弦公式
（2）会用两角差的余弦公式推导
出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余 弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、 余弦、正切公式推导二倍角的正 弦、余弦、正切公式，并进行简
(1)1－cos α＝ 2sin2α2 ，1＋cos α＝ 2cos2α2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝
sin
α 2±cos
α2 2
.(升幂公式)
1－cos 2α
1＋cos 2α
1－cos 2α
(3)sin2α＝ 2 ，cos2α＝ 2 ，tan2α＝ 1＋cos 2α .(降幂公式)
常用结论
a a2＋b2.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α .
(2)公式C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α . 2tan α
(3)公式T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲 三角恒等变换(九大题型)(课件)
小组内成员需积极参与讨论，提出自 己的观点和看法，并认真倾听他人的 意见，共同探讨问题，形成小组结论 。
小组讨论过程记录与展示
讨论过程
小组成员们围绕主题展开讨论，从不同 的角度分析了世界多极化与经济全球化 的关系及影响，探讨了各自在现实生活 中的实际应用和意义。
VS
展示方式
每个小组选派一名代表，将小组讨论的结 论进行展示，可以采用PPT、口头表述等 方式，将小组的讨论成果呈现给全班同学 。
CHAPTER 03
经济全球化发展现状及挑战
经济全球化概念及表现
经济全球化是指商品、服务、资本、 劳动力等生产要素跨越国界和地区进 行流动和配置，以实现最优资源配置 和全球经济一体化的过程。
经济全球化的表现包括贸易自由化、 投资全球化、金融全球化、区域经济 一体化等。
全球化发展现状及趋势
全球化发展现状
主要大国及地区力量对比
美国
全球唯一的超级大国，拥有强大 的经济、科技和军事实力。
中国
快速崛起的经济大国，拥有庞大 的市场和人口。
俄罗斯
拥有丰富的资源和强大的军事实 力。
印度
人口众多的发展中大国，拥有丰 富的资源和军事实力。
日本
经济强国，拥有先进的科技和产 业体系。
欧洲
一体化程度较高的地区，拥有强 大的经济和科技实力。
全球经济联系日益紧密，各国间贸易、投资、金融等领域的 合作不断深化。同时，全球范围内的贫富差距也在不断扩大 。
全球化发展趋势
未来全球化将继续深入发展，技术进步将进一步推动全球化 进程，新兴市场和发展中经济体在全球经济中的地位将进一 步上升。
全球化面临挑战及应对策略
全球化面临挑战
全球化面临着多种挑战，包括全球经济不稳定、贸易保护主义、技术变革带来 的就业压力等。
考点07 三角恒等变换与解三角形【暑假期学习】新高三一轮复习理科数学人教版(原卷+解析)
考点07三角恒等变换与解三角形一、选择题1．化简2cos 24sin tan 44αππαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．cos αB ．sin αC ．1D ．122．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．123．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13CD4．在ABC中，c =，45B =︒，60C =︒，则b =（）A．2B．2C ．322D5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6A π=，则ABC ∆解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定二、填空题6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =，则sin sin sin a b cA B C++++=_______.7．已知sincos 223θθ+=，则sin θ=_____.8．若tan 2α=，则sin 2α=.三、解答题9．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且32,cos 5a B ==.（1）若4b =,求sin A 的值;（2）若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.10．在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状．一、选择题11．下列命题中，不正确的是（）A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若60B =︒，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形D ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰三角形12．在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2A+C =B ，1,a =3,b =则ABC S ∆等于（）A ．2B ．3C ．32D ．2二、填空题13．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝________.三、解答题15．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，,5, 1.4ADC AB BD π∠===（1）求AD 和sin B ；（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C .考点07三角恒等变换与解三角形一、选择题1．化简2cos 24sin tan 44αππαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．cos αB ．sin αC ．1D ．12【答案】D【解析】化简分母得，24sin tan 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221cos 21tan 2=421tan cos sin 2(1sin 2)cos sin 2cos sin 2cos 2πααααααααααα⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⋅⋅+-=+⋅+=-=.故原式等于12.故选D ．2．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】A【解析】因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-，又tan()3αβ-=，tan 2β=，故5tan -116α==-.故选A.3．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13CD【答案】D【解析】∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c =，故选D ．4．在ABC 中，c =，45B =︒，60C =︒，则b =（）A ．2B ．2C ．322D 【答案】D【解析】在ABC 中，c =，45B =︒，60C =︒由余弦定理有：sin sin c b C B =,即sin sin 45sin sin 60c B b C ⋅︒===︒故选D5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6A π=，则ABC ∆解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】C【解析】在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以24962c c =+-⋅，即250c -+=，解得3372c =或3372c =，所以ABC ∆解的个数是2.故选C二、填空题6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =，则sin sin sin a b cA B C++++=_______.【答案】【解析】因为,,A B C 成等差数列且A B C π++=，所以3B π=即3B π=，所以外接圆的直径3223sin 32b R B ===，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得223sin sin sin a b cR A B C ++==++，故填23.7．已知23sincos 223θθ+=，则sin θ=_____.【答案】13【解析】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故填138．若tan 2α=，则sin 2α=.【答案】45【解析】sin 2α.故填45三、解答题9．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且32,cos 5a B ==.（1）若4b =,求sin A 的值;（2）若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.【解析】（1）∵3cos 05B =>,且0B π<<，∴24sin 1cos 5B B =-=，由正弦定理得sin sin a b A B=，∴42sin 25sin 45a BA b⨯===；（2）∵1sin 42ABC S ac B ∆==，∴142c 425⨯⨯⨯=，∴5c =，由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =10．在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状．【解析】（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，0120A =；（2）由（1）得：001sin sin sin sin(60)cos sin sin(60)22B C B B B B B +=+-=+=+故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.一、选择题11．下列命题中，不正确的是（）A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若60B =︒，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形D ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰三角形【答案】D【解析】A ：在ABC ∆中，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >，故本命题是正B ：因为ABC ∆是锐角三角形，所以02C <<π，由三角形内角和定理可知；02A B ππ<--<，即有22A B A B ππ+>⇒>-，因为ABC ∆是锐角三角形，所以,A B 为锐角，因此可得：sin sin()cos 2A B B π>-=，故本命题是正确的；C ：由余弦定理可知；2222cos b a c ac B =+-⋅，又因为60B =︒，2b ac =，所以有：2222220()0ac a c ac a c ac a c a c =+-⇒+-=⇒-=⇒=，因此ABC ∆是等腰三角形，而60B =︒，所以ABC ∆是等边三角形，故本命题是正确的；D ：由正弦定理可知；sin sin a b A B=，而cos cos a A b B =，所以有11sin cos sin cos sin 2sin 2sin 2sin 222A AB B A B A B =⇒=⇒=，,(0,)2,2(0,2)A B A B ππ∈∴∈ ，于是有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形，因此本命题不正确.故选D.12．在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2A+C =B ，1,a=b =则ABC S ∆等于（）ABC ．32D ．2【答案】C【解析】∵A +C ＝2B ，A +B +C ＝180°，∴B ＝60°，∵a ＝1，b＝，sin B＝2，∴由正弦定理sin a A ＝sin b B 得：sin A ＝asin B b1＝12，∵a ＜b ，∴A ＜B ＝60°，∴A ＝30°，即C ＝90°，则sin C ＝1．所以11=sin 11=222ABC S ab C ∆=⨯二、填空题13．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A =15°，∠CBD =75°，AB =1km ，△BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD =BCcos 15°=001sin 302sin 60=36km ．故填6．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝________.【答案】512π【解析】由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=，所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =，因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2B BC C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==，因为cos02B≠，所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=，即3B π=，53412C ππππ∴=--=.故填512π.三、解答题15．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，,5, 1.4ADC AB BD π∠===（1）求AD 和sin B ；（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C .【解析】（1）344ADB πππ∠=-=，设AD x =，在ABD ∆中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即22512(2x x =+-⨯-，解得22x =-2x =，2AD ∴=.在ABD ∆中，22sin 52sin 55AD ADB B AB∠===.故AD =，sin 5B =.（2）由(1tan )(1tan )2++=B C 得tan tan 1tan tan C B C B +=-，tan tan tan()11tan tan C BC B C B++==-∵,B C 是三角形内角，∴(0,)B C π+∈，4B C π∴+=由（1）知sin 5B =，(0,2B π∈ ，25cos 5B ∴===，210sin sin()sin cos cos sin (cos sin )444210C B B B B B πππ=-=-=-=．。
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析
Word File山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析撰写人：XXX第 2 课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简 1.化简tanα＋1tan π4 ＋α2＝( ) A.cosα B．sinα C.1cosα D.1sinα 答案 C 解析原式＝2tan α21－tan 2 α2＋1－tan α21＋tan α2 ＝2tan α2 ＋1－tan α221－ta n 2 α2＝1＋tan 2 α21－tan 2 α2 ＝cos 2 α2 ＋sin2 α2cos 2 α2 －sin2 α2＝1co sα . 2.化简：1＋sinθ＋cosθsin θ2 －cosθ22＋2cosθ(00，∴ 2＋2cosθ＝4cos 2 θ2 ＝2cosθ2 . 又(1＋sinθ＋cosθ) sin θ2 －cosθ2 ＝2sin θ2 cosθ2 ＋2cos2 θ2 sin θ2 －cosθ2 ＝2cos θ2sin 2 θ2 －cos2 θ2＝－2cos θ2 cosθ，故原式＝－2cos θ2 cosθ2cos θ2＝－cosθ. 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 1. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果为________．答案－2sin4 解析原式＝ 4cos 2 4＋2 sin4－cos4 2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π40，θ∈ 0，π2，所以 02)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2 ，π2，则α＋β＝________. 答案－3π4 解析由根与系数的关系且 a>2 得，tanα＋tanβ＝－3a0.所以tanα0)在区间－π4 ，3π4上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是( ) A.12 ，23 B. 13 ，23 C.13 ，23 D. 12 ，23 答案 D 解析 f(x)＝2sinωx ·1－cos ωx＋π22－sin 2 ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin 2 ωx＝sinωx. 所以区间－π2ω ，π2ω(ω>0)是函数 f(x)含原点的递增区间．又因为函数 f(x)在－π4 ，3π4上单调递增，所以－π4 ，3π4⊆－π2ω ，π2ω，所以－π2ω ≤－π4 ，π2ω ≥3π4，又ω>0，所以 00)个单位长度，平移后的图象关于 y 轴对称，则 a 的值可能为( ) A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3 答案 B 解析 f(x)＝2 3sinx·cosx－2cos 2 x＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin 2x－π6.将其图象向左平移 a 个单位长度，所得图象对应的解析式为 y＝2sin 2x＋a－π6＝2sin 2x＋2a－π6，因为平移后的图象关于 y 轴对称，所以2a－π6 ＝kπ＋π2 ，k∈Z.即a＝kπ2＋π3 ，k∈Z.当 k＝0 时，a＝π3 . 2.(2020·石家庄模拟)设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|b>c B．b>a>c C.c>a>b D．a>c>b 答案 D 解析 a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝si n13°. b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°.c＝1－tan 2 39°1＋tan2 39°＝1－sin2 39°cos 2 39°1＋sin2 39°cos 2 39°＝cos 2 39°－sin 2 39°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a>c>b. 2.化简cos 2 x－π12＋sin 2 x＋π12＝( ) A.1＋ 12 cos2x B．1＋ 12 sin2x C.1＋cos2x D．1＋sin2x答案 B 解析原式＝1＋cos 2x－π62＋1－cos 2x＋π62＝1＋ 12cos 2x －π6－cos 2x＋π6＝1＋12 ·2sin2xsinπ6 ＝1＋12 sin2x. 3.(2020·湖北重点中学联考)已知 A(x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转30°到 OB，交单位圆于点 B(x B ，y B )，则 x A －y B 的最大值为( ) A. 2 B.32 C．1 D. 12 答案 C 解析设 x 轴正方向逆时针转到射线 OA 的角为α，根据三角函数定义 x A ＝cosα，y B ＝sin(α＋30°)，所以 x A －y B ＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12 cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为 1.故选 C. 4.(2020·济南一模)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若 m 2 ＋n＝4，则m n2cos 2 27°－1 ＝( ) A.8 B．4 C．2 D．1 答案 C 解析由题意得 n ＝4－m 2 ＝4－4sin 2 18°＝4cos 2 18°，则m n2cos 2 27°－1 ＝2sin18° 4cos 2 18°cos54°＝2sin18°×2cos18°cos54°＝2sin36°sin36° ＝2，故选 C. 5.已知α 为第四象限角，sinα＋cosα＝ 15 ，则tanα2 的值为( ) A.－ 12 B. 12C．－ 13 D. 13 答案 C 解析将sinα＋cosα＝ 15 的等号两边同时平方，得 1＋2sinαcosα＝125 ，得2sinαcosα＝－2425 ，所以(sinα－cosα)2 ＝1－2sinαcosα＝ 4925 .因为α 为第四象限角，所以sinα0，所以sinα－cosα＝－ 75 ，结合sinα＋cosα＝15 ，解得sinα＝－35 ，cosα＝ 45 .所以 tanα2 ＝sin α2cos α2＝2sin α2 cosα22cos 2 α2＝sinα1＋cosα ＝－13 .故选C. 6.(2021·福州外国语学校适应性考试)已知 A，B 均为钝角，sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝5－ 1510，且 sinB ＝1010，则 A＋B＝( ) A. 3π4 B.5π4 C. 7π4 D. 7π6 答案 C 解析因为 sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝ 1－cosA2＋ 12 cosA－32sinA＝ 12 －32sinA＝5－ 1510，所以 sinA＝55，因为 A，B 均为钝角，所以 A＋B∈(π，2π)，由 sinA＝55得 cosA ＝－ 2 55，由 sinB＝1010得 cosB＝－ 3 1010，所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝22，所以 A＋B＝7π4. 7.(2020·洛阳三模)函数 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2x·sinπ4的单调递减区间是( ) A. kπ＋π8 ，kπ＋5π8，k∈ZB. kπ＋π8 ，kπ＋3π8，k∈ZC. kπ－π8 ，kπ＋3π8，k∈ZD.kπ＋3π8，kπ＋5π8，k∈Z 答案 B 解析 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2xsinπ4 ＝log 12 sin2x－π4.令 t＝sin 2x－π4，则 y ＝log 12 t.因为 y＝log12 t 在(0，＋∞)上是减函数，所以要求函数 y＝log 12 sin 2x－π4的单调递减区间，只要求出 t＝sin 2x－π4的单调递增区间，同时注意 t＝sin 2x－π4>0.由2kπ0，∴2sinα＝3cosα，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cosα＝213 ，sinα＝313 ，∴sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22sinα＋cosαsinα＋cosα 2 ＋cos 2 α－sin 2 α＝24cosα ＝268. 5.设函数 f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意x∈R，有 g x＋π2＝g(x)，且当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)．求函数 g(x)在[－π，0]上的解析式．解 (1)函数f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x ＝22 cos2xcos π4 －sin2xsinπ4＋sin 2 x ＝ 12 cos2x －12 sin2x＋12 －12 cos2x＝12 －12 sin2x，所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π2＝π. (2)当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)，即 g(x)＝ 12 －12 －12 sin2x ＝12 sin2x. 当x∈ －π2 ，0 时，x＋π2 ∈ 0，π2，因为 g x＋π2＝g(x)，所以 g(x)＝g x＋π2＝ 12 sin 2 x＋π2 ＝－ 12 sin2x. 当x∈ －π，－π2时，x＋π∈ 0，π2，可得 g(x)＝g(x＋π)＝ 12 sin[2(x＋π)]＝12 sin2x. 所以函数 g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－ 12 sin2x －π2 <x≤0 ，12 sin2x －π≤x≤－π2.山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直接证明与间接证明含答案解析中考化学《第十一单元,盐,化肥》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第一单元,走进化学世界》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第三单元,物质构成奥秘》巩固复习题精编（含详细答案解析）最新人教版三年级数学上册第一学期期末总复习教案教学设计全册Best work give best you最好的资料给最好的你。
新高考一轮复习特训 三角恒等变换 (含答案)高中数学 高考专区 一轮复习
2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
第二讲+三角恒等变换与解三角形(选填小题)+课件+2024届高三数学二轮复习
化简二重根式问题关键是变形成完全平方形式，开方时注意符号．
[深入探讨]对于二重根式 A＋2 B(A，B∈N*)能否化简，取决于把 A＋2 B整理成( M
＋ N)2 的形式，即AB＝ ＝MM＋ ·N，N， 若 A2－4B 是完全平方数便可以化简成功． 故选 D．
(3)(第一步：利用 tan θ＝12得到 sin θ 与 cos θ 的关系)因为 θ∈0，π2，所以 sin θ>0，cos
整理可得 sin Bcos A＝0，由于 B∈(0，π)，故 sin B>0，
据此可得 cos A＝0，所以 A＝2π， (第三步：利用 A＋B＋C＝π，求 B)则 B＝π－A－C＝π－π2－5π＝31π0. 故选 C．
则 cos(2α＋2β)＝( B )
A．79 B．19 C．－19 D．－79
(2)(倍角公式，重根式化简|2023·新高考Ⅱ卷，7)已知 α 为锐角，cos α＝1＋4
5，则
α sin2
＝( D )
A．3－8 5 B．－1＋8 5 C．3－4 5 D．－1＋4 5
(3)(三角恒等变换|2023·全国乙卷文，14)若 θ∈0，2π，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝ 同角三角函数基本关系中的知一求二．
解析 (1)(第一步：利用正弦定理边化角)由题意结合正弦定理可得 sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，
(第二步：结合诱导公式和两角和的正弦公式求 A)即 sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋ B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，
[小结论]△ABC 中，sinC＝sin(A＋B)，cosC＝－cos(A＋B)，sinC2＝cosA＋2 B，cosC2＝ A＋B sin 2 .
山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 三角函数(2)(
三角恒等变换1、已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.解 (1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝co s αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.2、已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，∴0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 3、已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.4、设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案172505、已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________．解析 ∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin 2α＝429，cos 2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.答案23276．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． A.12 B.33 C.22 D.32解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝12.答案 A 7.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )．A ．－79 B.79 C.29 D ．－23解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝13.所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos 2α－1)＝1－2cos 2α＝79.答案 B8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )．A.1825B.725 C ．－725 D ．－1625 解析 因为sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，所以sin 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝1825－1＝－725.答案 C9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )． A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析 因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17. 答案 B10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A.255 B ．－3510 C ．－255 D ．－31010解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3，因为π2＜α＜π，所以解得cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010，所以原式＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255.答案 C11．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 答案 ± 312、已知cos 4 α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4 α＝(sin 2 α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2 α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－15613．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．解 (1)f (x )＝12cos x ＋32sin x －cos x＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，∴f (2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32sin 2α－12cos 2α ＝32×2425－12×725＝243－750. 14．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6的值．(2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝14－32，求sin α的值．解 f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝－32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6＝－32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π3＋π3＝0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14－32，∴0＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14＜12，又∵α∈()0，π，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－154，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝14×12＋154×32＝1＋358. 15．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )．A.1318B.1322C.322D.16解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.答案 C15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足t an (α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )． A.14 B.34 C.34 2 D.32解析 由tan(α＋β)＝4tan β，得tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β，解得tan α＝3tan β1＋4tan 2β，因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan β＞0.所以tan α＝31tan β＋4tan β≤321tan β·4tan β＝34，当且仅当1tan β＝4tan β，即tan 2β＝14，tan β＝12时取等号， 所以tan α的最大值是34. 答案 B16.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，则tan 2α＝________.解析 由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝3cos α，即32sin α＝52cos α，所以tanα＝533， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×5331－⎝ ⎛⎭⎪⎫5332＝－5311. 答案 －5311。
新考法高考数学(人教A版山东专用)一轮复习专题4三角函数与解三角形(课件80)
5 22
考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式
2．和积转化法求值已知sinα＋cosα＝m，求三角函数值的两种方法：方法
一：联立
通过解方程组求解；方法二：两边同时平方可得
1＋2sinαcosα＝m2 sin 2α＝m2－1，再通过二倍角公式求解．
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、 转化，注意所求需要开方时要根据角所在象限判断结果的正负符号．
20
考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式
例3、(1)[山东潍坊202X模拟]已知
() A.
2 B．- 2 C．－2
5
5
则sin2α－sinαcosα的值是
D．2
(2)[宁夏银川202X模拟]已知 ________．
tan α＝2，则cos α＝
21
考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式
的最大值是
.
【答案】1
36
考点二 三角恒等变换
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成绩能力
37
考点二 三角恒等变换 必备知识 全面把握
1．和差角公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
.
5
考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式
(2)弧度制
①角α的弧度数公式为|α|＝ l ，其中l是以α为圆心角时所对圆弧的长，
2024届高考数学一轮复习：三角函数分类汇编 第02讲 三角恒等变换(和差公式、倍角公式)(教师版)
第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sinα2＝±1－cos α2.(2)cos α2＝±1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈【分析】由题得原式=sin15cos75cos15sin 75︒︒+︒︒，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=sin15cos 75cos15sin 75=sin(1575)sin 901︒︒+︒︒+== .故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝tan tan 1tan tan a αββ-+＝4334133-+⨯＝13，故选：C.【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A,B ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()=]44cos sin 2sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=+++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin cos =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C.【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 12θθθ+=，则：3sin cos 12θθ=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin63πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A.【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】8748135︒+︒=︒，令87,48αβ=︒=︒，则()tan tan tan tan13511tan tan αβαβαβ++=︒==--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+-=-，即tan87tan 48tan87tan 481︒+︒-︒︒=-.故选：A.【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于sin α的方程，解之即可求得sin α的值.【详解】2π1sin sin sin sin cos 322ααααα⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2αα=，π1sin sin 32ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又2ππsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11sin cos cos sin 22αααα-，则sin 0α=故选：A【分析】直接利用和角的正切公式求解.【详解】由题得11tan +12tan 3141tan 12πααα+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.故答案为：3【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβαβαβαβ++=+++=++-+π1tan (1tan tan )tan tan 24αβαβ=+-+=，故答案为：2【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==.故选：D.【答案】3【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴sin tan cos ααα∴==故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】已知πsin 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2ππ5sin 2cos 22sin 1249ααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以22ππ2cos 12sin 122243αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2sin 3α=-，所以2221cos212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．22179cos42cos 2121981αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=，cos 1010αα⎫-=⎪⎪⎭sin θ=，cos θ=()αθ-，∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=，又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin 10α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.45.【答案】5-3【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31, 53 -【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为2cos12sin2αα=-，而α为锐角，解得：sin2α===故选：D．【分析】根据同角三角函数关系求得cosθ，再根据半角公式即可求得结果.【详解】因为37πsin,3π52θθ=-<<，故可得4cos5θ==-，又23sin sin cos sin5222tan3121coscos cos225θθθθθθθθ-=====-+.【分析】根据诱导公式求出cosθ，再利用平方关系可求sinθ，然后利用公式1cos sintan2sin1cosθθθθθ-==+即可求解.【详解】解：因为1cos()3πθ+=，所以1cos 3θ=-，又θ是第二象限角，所以sin 3θ=，所以1cos tan 2sin θθθ-=故选：B ．【分析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化成正余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，代入即可求解．【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+.故选：C.A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan2sin θθθ-=【分析】根据直角三角形中的定义写出sin ,cos θθ，用θ表示出BCH ∠，然后分析可得．【详解】由已知COB θ∠=，则π22CBO θ∠=-，2BCH θ∠=，又tan2BH CH θ=，sin CH OC θ=，cos OHOCθ=，BH OH OB OC +==，因此11cos tan sin OHBH OC CH CH OCθθθ--===，故选：C ．【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()0322f A =-=，∴1A =∴π()sin 2sin()3f x x x x ==-ππππ()2sin(2sin 121234f =-=-=故答案为：1，【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos sin cos 33232334x x x x x f x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ．【答案】2（2,2k k Z π+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k -=，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.【答案】6-（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数ϕ的一个取值即可.【详解】()sin cos()f x x x ϕ=++可化为()sin cos cos sin sin f x x x x ϕϕ=+-，所以()()sin 1sin cos cos f x x x ϕϕ=-+，设a ==则1sin cos ()sin cos f x a xx a a ϕϕ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设1sin cos cos ,sin a aϕϕθθ-==，则()()sin f x a x θ=+，因为函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为所以=1sin 2ϕ=-，所以π2π6k ϕ=-或5ππ26k ϕ=-，其中Z k ∈，故答案为：π6-（答案不唯一）.2【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出()f x 的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32+.故答案为:32.【答案】2/0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为:12.【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒D 选项错误.故选：D【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到224sin sin cos cos 22αβαβ=，再由余弦的倍角公式，得到22224sin sin (12sin )(12sin )2222αβαβ=--，令22sin ,sin 22x y αβ==，求得12x y +=，结合22cos cos 12sin 12sin 22αβαβ+=-+-，即可求解.【详解】解：由tan tan tan tan122αβαβ⋅⋅⋅=，可得sin sin sinsincos cos coscos2222αβαβαβαβ=，又由正弦的倍角公式，可得224sin cossin coscos cos cos cos222222ααββαβαβ=，即22224sinsin cos cos (12sin 2sin )2222αβαβαβ==--，令22sin,sin 22x y αβ==，则4(12)(12)1224xy x y x y xy =--=--+，解得12x y +=，所以22cos cos 12sin12sin 22()122x y αβαβ+=-+-=-+=.故选：C.【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】αQ 为第二象限角，π3π4sin ;cos 4545αα⎛⎫⎛⎫+=∴+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式)111πsin cos sin sin cos sin 2222224ααααααα⎛⎫=+--=-=- ⎪⎝⎭.πππ424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.【分析】利用两角和的正弦公式化简得到sin αα=利用辅助角公式得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出α，从而得解.【详解】因为πππ1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2π2π2π1sin sin cos cos sin sin cos 33322ααααα⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭，又π2πsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin αα+=，所以1sin cos 222αα+=，即πsin 32α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为α为锐角，所以ππ5π336α<+<，所以π2π33α+=，所以π3α=，即tan α=.【分析】首先求出cos37︒()()4sin 53sin cos53cos 53sinsin 534545545︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为3sin 375︒≈，所以4cos 375︒=≈，sin 8cos532︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-sin 5353sin cos53cos5353sin sin cos 45cos sin 4545cos 45sin sin 453455︒︒-︒︒︒︒︒︒+︒︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选：B【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tan tan =tan 1tan()tan αββααββαββ+-+-=++⋅，又因为cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，所以(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos cos (1sin )cos 1sin tan 1sin cos cos (1sin )cos (1sin )1cos 1sin cos (1sin )ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-= ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan7144αβαβαβ--++===-⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【答案】4-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sincos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫== ⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故答案为：14-【基础过关】【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为πsin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2π2ππcos 2cos 2cos 2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π312sin 12355α⎛⎫⎛⎫=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2sin sin 22sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβ++=⇒=⇒+=，进而可得tan tan 32tan tan tan tan 2αβαβαβ+=⇒=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---=，故选：D【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线210x y -+=的倾斜角为α，所以tan 2α=.所以222222222cos2cos sin 1tan 12311sin cos 2sin 12tan 12293αααααααα---====-=-++++⨯.故选：B.【分析】首先求出sin2α，即可得到2sin cos αα，再根据sin cos αα+=.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，sin 0α>，cos 0α>，又7cos29α=，所以sin29α==，即2sin cos 9αα=，所以sin cos αα+=13=+=.故选：C【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，因为3ππ2α<<，所以sin 0α≠，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，所以()sin cos αβα+=-.故选：B【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】因为cos sin sin2cos sin 1cos2ααβααβ-=+-，所以2cos sin 2sin cos cos sin 112sin ααββααβ-=+-+，所以cos sin cos cos sin sin ααβααβ-=+，所以1tan 11tan tan ααβ-=+，即tan tan tan 1tan βαβα-=+，即1tan tan tan tan αβαβ--=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ--==-+.故选：C【分析】先根据二倍角公式化简条件得：()cos sin 0ααβ++=，再根据角的范围及诱导公式得()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可得7π2αβα+=-，化简求值即可.【详解】由()()sin21sin 1cos2cos 0αβαβ++-=，得()2sin21sin 2sin cos 0αβαβ++=，①化简①式，得()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，又3ππ2α<<，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，因为3π5π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，7π5π3π5π2π,,2222α⎛⎫⎛⎫-∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，且sin y x =在3π5π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以7π2αβα+=-，所以7π22αβ+=，则7π24βα+=，所以tan 12βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：B ．【答案】5-/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，又222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα---==++，代入tan 3α=-得24sin 22cos 5αα-=-.故答案为：45-1010【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出2πsin(2)3α+，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为πtan(23α+=-，则222πππ2sin(cos()2tan()2ππ4333sin(2sin 2()πππ335sin ()cos ()tan ()1333αααααααα++++=+===-+++++，则π2π4cos(2)sin(2635αα+=+=-，即2π42cos ()1125α+-=-，解得πcos()1210α+=±，所以πcos()12α+的值为1010.故答案为：10-或10【能力提升】【分析】根据积化和差公式可得()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由()sin cos sin βαβα=+得()()1sin sin sin 122βαβααβα+--⎡⎤⎦=⎣++⎡⎤⎦⎣，进而()1sin sin 2sin 212βαββ=+-，则()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβαβαβ=+=+所以()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，则22222sin 22sin cos sin cos tan 1tan 3cos 24sin 2cos 2sin cos 2tan 13ααααααβαααααα=====-+++.故选：A.【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】πππππcos cos[()]sin(2cos 32666αααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πtan()26α∴+=，222πππ2sin()cos()2tan()πππ4666sin 22sin()cos(πππ3665sin ()cos ()tan (1666ααααααααα+++⎛⎫+=++=== ⎪⎝⎭+++++.故选：D【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 2422a =︒-︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒-︒︒，sin 25c =︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C【分析】先根据1111tan 1tan αα-=-+求出tan α，再利用二倍角得正切公式求出πtan 8，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由1111tan 1tan αα-=-+，得()21tan 1tan 1tan ααα+--=-，即2tan 2tan 10αα+-=，解得tan 1α=-又α为锐角，所以tan 1α=-又2π2tanππ8tan tan 21π481tan 8⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-，即2ππtan 2tan 1088+-=，解得πtan 18=-+πtan 18=-，所以π8α=，所以ππtan tan 184α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，22ππcos 2cos 2cos 155αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos 2cos cos 55αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2π2π2πcos cos sin sin 2cos cos 555ααα+=，得2πcos 05α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π2π9π,5510α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ52α+=，即π10α=.故选：D6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a<<【答案】A【分析】利用导数证明不等式当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，进而得sin 0.10.1tan 0.1<<，再讨论,a b c b 与1的关系即可判断.【详解】解：令()sin f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，函数()sin f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 00f x x x f =-<=，即sin x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()tan g x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22222222cos sin 1cos 1sin 110cos cos cos cos g x x x x xx x x x'+--=-=-==<，所以，函数()tan g x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 00g x x x g =-<=，即tan x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x所以，sin 0.10.1tan 0.1<<，因为sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，所以0,0,0a b c >>>所以，sin0.22sin 0.1cos 0.110sin 0.1100.110.2cos0.10.2cos 0.1a b ===<⨯=，即a b <2sin 0.110tan 0.1100.110.2cos 0.1c b ==>⨯=，即c b >所以，a b c <<故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，结合二倍角公式，比较,a b c b 与1的关系判断.【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b 与c ，a 与b ，利用中间值比较即可.【详解】记1()e ,(01)1xf x x x =-<<-，则22(1)e 1()(1)x x f x x '--=-，记2()(1)e 1x g x x =--，则2()(1)e x g x x '=-，又01x <<，所以2()(1)e 0x g x x '=-<，所以2()(1)e 1x g x x =--在(0,1)上单调递减，所以20()(0)(10)e 10g x g <=--=，则22(1)e 1()0(1)x x f x x --=<-'，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以0()(0)e 10f x f <=-=，故01x <<时，1e 01xx-<-，所以1515e 1415<=-，所以151e 14c =-<，又sin40sin80sin(6020)sin(6020)3120cos3055104b ︒+︒︒-︒+︒+︒==︒︒=>，所以14c b <<，记2(1)()ln ,(1)1x h x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=>+，所以2(1)()ln 1x h x x x -=-+在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h <=，即1x >时，2(1)ln 1x x x ->+，所以32(1)322ln 32512->=+，所以32lncos 202555a b =>>︒=，所以c b a <<.故选：D【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.【分析】由tan α，tan β的符号即可判断A ；由正弦函数的单调性可判断B ；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C ；用两角和的正切公式的变形可判断D.【详解】因为α，β为锐角，所以tan 0α>，tan 0β>，若tan α，tan β是方程2340x x --=的两根，由韦达定理得tan tan 40αβ⋅=-<，故A 错误；因为α，β为锐角且αβ>，函数sin y x =在π[0,2上单调递增，故B 正确；因为α，β为锐角，所以cos 0α>，cos 0β>，故221cos 1cos cossin ()cos cos 02222βαβααβ+--=-=+>，C 错误；因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅，又παβγ++=，所以tan()tan(π)tan αβγγ+=-=-，所以tan tan tan tan()(1tan tan )tan αβγαβαβγ++=+-⋅+tan (1tan tan )tan γαβγ=--⋅+tan tan tan αβγ=⋅⋅，故D 正确.故选：BD.【答案】2（答案不唯一）【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为2-，列出方程，即可得到结果.【详解】因为()()sin cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++()()cos sin 1sin cos x x x ϕϕθ=++=+其中，1sin tan cos ϕθϕ+=2=，即22cos 1sin 2sin 4ϕϕϕ+++=，即22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，则π2π2k ϕ=+，k ∈Z .当0k =时，π2ϕ=，即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2.【答案】5-/0.8-【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知sin α===cos α===，由二倍角公式得4sin 22sin cos 5ααα==-.故答案为：45-.【真题感知】【分析】根据积化和差及诱导公式即得.【详解】()()11sin 20cos70sin10sin 50sin 90sin 50cos60cos 4022︒︒+︒︒=︒+-︒-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1111sin 50cos 402242=-︒-+︒111cos 40cos 40422=-︒+︒14=.故选：A.【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：sin15cos 30sin 75sin15cos 30cos15︒︒︒=︒︒︒11sin 30cos30sin 60248=︒︒=︒=.故选：B.【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将24sin 225α=化简得到249cos ()450πα-=，再进一步变形即可求解.【详解】224sin 2cos 22cos ()14425ππααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则249cos ()450πα-=解得cos 410πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，745πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭.故选：D【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：()442222sin cos sin cos 2sin cos y x x x x x x=+=+-()2112sin cos 2x x =-21sin 212x =-+11cos 4131cos 42244x x -=-⋅+=+，因为函数的最小正周期2ππ42T ==.故选：B.【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为()sin y A x ωϕ=+的形式，再由2πT ω=可得到答案．【详解】πππ4sin 33cos 35sin 3444y x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(其中3tan 4ϕ=)，2π3T ∴=．故选：C ．【分析】利用二倍角公式判断π(0,2α∈，即可得到sin cos 0αα+>，再由()2sin cos 12sin cos αααα+=+计算可得.【详解】解：由2sin 22sin cos 03ααα==>，又(0,)απ∈，所以π(0,)2α∈，所以sin cos 0αα+>，又()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，所以3sin co s αα+=或3sin cos αα+=-（舍去），所以sin co s αα+故选：A ．【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==PA ==可得sin ,cos APC APC ∠∠则sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22221cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC ==PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以sin α=；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -=+α，即sin cos αα=cos =α则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得sin 4α=.故选：B.【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP = ，2||1OP =，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【分析】化简1sin 22y x =即得解.【详解】解：由题得1sin 22y x =，所以函数的最小正周期为2ππ2=.故答案为：π【分析】由辅助角公式即可求解.【详解】1sin cos )sin()22y x x x x ϕϕ=-=+=+,其中πsin ,,0552ϕϕϕ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭.而1sin()1x ϕ-≤+≤，所以1sin cos 2y x x =-.。
2021年高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A 版1．(xx·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．【解析】 由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】 32、（xx 山东）函数的最小正周期为 .【答案】【解析】2111sin 2cos 2cos 2sin 2222262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ . (1)函数f (x )＝3sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 的最大值为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D.12(1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3sin x ＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ∴当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1. 3、(xx·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6答案：由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时，m 取得最小值π6. 4、在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】 ∵b sin A ＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A ＜a ＜b ，故此三角形有两解．【答案】 B5、（xx 山东）的内角的对边分别是，若，，，则(A) (B) 2 (C) (D)16．(xx·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】 在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 【答案】 D7．(xx·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形． 【答案】 B8、（2011山东）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知. （I ）求的值； （II ） 若cosB=，【解析】(1)由正弦定理得所以=,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有,即,所以=2.(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：，即，解得a=1，所以b=2.9、（xx 山东）在△ABC 中，内角所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求证：成等比数列；(Ⅱ)若，求△的面积S .【答案】(17)(I)由已知得：，，，再由正弦定理可得：，所以成等比数列.(II)若，则，∴，，∴△的面积.h39853 9BAD 鮭 38960 9830 頰20460 4FEC 俬39129 98D9 飙39937 9C01 鰁30561 7761 睡$ ] &%f。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲 三角恒等变换与解三角形
1．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 【解析】 由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．
∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】 3
2、（2014山东）函数23sin 2cos 2y x x =
+的最小正周期为 . 【答案】T π=
【解析】233111sin 2cos sin 2cos 2sin 2222262y x x x x x π⎛⎫=
+=++=++ ⎪⎝⎭ 22
T ππ∴==. (1)函数f (x )＝3sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋x 的最大值为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D.12
(1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3
sin x ＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ∴当x ＋π6＝π2
＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1. 3、(2013·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )
A.π12
B.π6
C.π3
D.5π6
答案：由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时，m 取得最小值π6
. 4、在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
【解析】 ∵b sin A ＝24sin 45°＝122＜18， ∴b sin A ＜a ＜b ， 故此三角形有两解．
【答案】 B
5、（2013山东）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，
若2B A =，1a =，3b =，则c =
(A) 23 (B) 2 (C)2 (D)1
6．(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
【解析】 在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)．
∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .
∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3
. 【答案】 D
7．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
【解析】 ∵b cos C ＋c cos B
＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 2
2ac
＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 2
2a
＝2a 22a
＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2
，即△ABC 是直角三角形． 【答案】 B
8、（2011山东）在V ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a =cos B b .
（I ） 求sin sin C A 的值；
（II ） 若cosB=1
4，5b ABC V 的周长为，求的长.
【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b =2sin sin sin C
A
B -,
即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-, 即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =, 所以sin sin C
A =2.
(2)由(1)知sin sin C A =2,所以有2c
a =,即c=2a,
又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,
由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，
即22221
(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，
所以b=2.
9、（2012山东）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.
(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；
(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .
【答案】(17)(I)由已知得：
sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，
sin sin()sin sin B A C A C +=，
2sin sin sin B A C =，
再由正弦定理可得：2b ac =，
所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，
∴222
3
cos 24a c b B ac +-==，
27
sin 1cos C C -=，
∴△ABC 的面积1
177
sin 1222S ac B ==⨯⨯=.。