自然数的平方和立方的一些规律及其证明

平方和公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

立方和公式：1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

首先给出网上的推导：

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

......

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

平方和的经典题目：

立方和的另类推导：

(1)

(2)

第i行与第i列，到i^2为止的数之和(包括i^2)即使i^3 (3)

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下：一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)

平方和立方和公式推导

数学][转载]自然数平方和公式推导及其应用 (2009-07-29 12:13:14) 转载▼ 标分类：游戏数学签：杂谈 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。设：S=12+22+32+…+n2 另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一： S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S， (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 S1=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) 第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+...+n)+n.. (3) 由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

前n个自然数的平方和及证明

帕斯卡与前n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1，移项可得（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，此式对于任何自然数n 都成立。依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1，（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 － 1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到（n ＋1）3 －1＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ，现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1），即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。

100以内的平方数与立方数

平方表平方根平方数平方根平方数平方根平方数平方根平方数 1 1 26 676 51 2601 76 5776 2 4 27 729 52 2704 77 5929 3 9 28 78 4 53 2809 78 6084 4 16 29 841 54 2916 79 6241 5 25 30 900 55 3025 80 6400 6 36 31 961 56 3136 81 6561 7 49 32 1024 57 3249 82 6724 8 64 33 1089 58 3364 83 6889 9 81 34 1156 59 3481 84 7056 10 100 35 1225 60 3600 85 7225 11 121 36 1296 61 3721 86 7396 12 144 37 1369 62 3844 87 7569 13 169 38 1444 63 3969 88 7744 14 196 39 1521 64 4096 89 7921 15 225 40 1600 65 4225 90 8100 16 256 41 1681 66 4356 91 8281 17 289 42 1764 67 4489 92 8464 18 324 43 1849 68 4624 93 8649 19 361 44 1936 69 4761 94 8836 20 400 45 2025 70 4900 95 9025 21 441 46 2116 71 5041 96 9216 22 484 47 2209 72 5184 97 9409 23 529 48 2304 73 5329 98 9604 24 576 49 2401 74 5476 99 9801 25 625 50 2500 75 5625 100 10000

自然数的和,平方和,立方和

For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+

∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n

推导自然数立方和公式两种方法

推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法通化市第一中学校刘天云邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n

那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k

1-100平方、立方表

1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900 31*31=961 32*32=1024 33*33=1089 34*34=1156 35*35=1225 36*36=1296 37*37=1369 38*38=1444 39*39=1521 40*40=1600 41*41=1681 42*42=1764 43*43=1849 44*44=1936 45*45=2025 46*46=2116 47*47=2209 48*48=2304 49*49=2401 50*50=2500 51*51=2601 52*52=2704 53*53=2809 54*54=2916 55*55=3025 56*56=3136 57*57=3249 58*58=3364 59*59=3481 60*60=3600 61*61=3721 62*62=3844 63*63=3969 64*64=4096 65*65=4225 66*66=4356 67*67=4489 68*68=4624 69*69=4761 70*70=4900 71*71=5041 72*72=5184 73*73=5329 74*74=5476 75*75=5625 76*76=5776 77*77=5929 78*78=6084 79*79=6241 80*80=6400 81*81=6561 82*82=6724 83*83=6889 84*84=7056 85*85=7225 86*86=7396 87*87=7569 88*88=7744 89*89=7921 90*90=8100 91*91=8281 92*92=8464 93*93=8649 94*94=8836 95*95=9025 96*96=9216 97*97=9409 98*98=9604 99*99=9801 100*100=10000 1——100的平方表

平方和与立方和公式推导

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

专题立方和差公式和差的立方公式

专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1 计算：（1）2(32)(964)y y y +-+；（2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++；（3）2(21)(421)x x x +++。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+；（2）原式=333311(5) ()12528x y x y -=-；（3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。例2 计算：（1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++；（2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+；（3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；

最详细的立方和公式

立方和公式 a A3+ b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 ) ?立方差公式 aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 ) -3项立方和公式 aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac) 推导过程： aA3+bA3+cA3-3abc =(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 ) =[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac) 文字表达 ?立方和，差公式两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差) -3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

公式证明 1.迭代法: 我们知道: 0次方和的求和公式2N A0=N 即 1人0+2人 0+...+nP=n 1次方和的求和公式INA仁N(N+1) /2 即 1A1+2A1+...+nA仁n(n+1 ) /2 2次方和的求和公式 2N|A2=N(N+1)( 2N+1) /6 即 1人2+2人2+…+n人2=n(n+1 )( 2n +1) /6 ――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1，迭代即得。取公式：(X+1) A4-XA4=4 XXA3+6XXA2+4XX+1 系数可由杨辉三角形来确定那么就得出: (N+1)人4-24=423+622+4屮1 NA4-(N-1)A4=4(N-1)A3+6(N-1)A2+4(N-1)+1 (N-1)A4-(N-2)A4=4(N-2)A3+6(N-2)A2+4(N-2)+1 2人4-1人4=4 X1A3+6 X1A2+4 X1+1 ... (n) 于是⑴+⑵+⑶+ ..... +(n )有左边=(N+1) A4-1 右边=4 (1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6 (1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4 (1+2+3+……+N)+N 所以呢把以上这已经证得的三个公式代入 4( 1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6( 1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4( 1+2+3+……+N)+N=(N+1) A4-1

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下：一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1

2017最新立方公式推导

前n个自然数的和: 1+2+...+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和:前n个自然数的和: 1+2+...+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和: n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+ ...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+ n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

立方差公式

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 推导过程 1.证明如下： (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2) =(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 2.（因式分解思想）证明如下： a3-b3=a3-a2b-b3+a2b =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式及其推广： (1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (2) a n+ b n=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+ b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。 a n表示a的n次方。字母表达

立方和公式立方差公式三项立方和公式推导过程：完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加正整数范围中

注：可用数学归纳法证明 2公式证明编辑迭代法一我们知道： 0次方和的求和公式，即 1次方和的求和公式，即 2次方和的求和公式，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式，迭代即得。具体如下：

(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3+ 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二取公式：系数可由杨辉三角形来确定那么就得出： …………⑴ …………⑵

自然数立方的规律研究

自然数立方的规律研究我喜欢数学，因为在数学王国里有许多有趣的规律。上学期的一天，我在做正方体体积的计算练习，13=1、23=8、33=27、43=64、53=125……这些答案是否存在什么规律呢？于是我开始仔细地研究。我把这些答案的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，就发现了一定的规律，于是我列了一张表，如下：我归纳一下得出这样的普遍规律：自然数n除以3，当余数=1，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得1；当余数=2，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得8；当余数=0，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得9。这只是偶然吗？后面的自然数立方也遵循这个规律吗？于是我

开始验证我发现的规律。验证结果让我太高兴了，我立刻把这个发现告诉全家人，大家纷纷拿笔来计算，最后也都符合我发现的这个规律。我太自豪了，这可是我自己动脑筋思考和研究的结果，也许这还是个伟大的发现呢！妈妈笑着提醒我，“你再研究研究，为什么自然数立方会有这样的规律呢？” 对呀，为什么呢？于是，我又进入了新一轮的苦思冥想，经过几番挫折，我都没有成功，后来我逐个突破，先从余数是0的开始，这个自然数n就是3的倍数，即n=3x（x=1，2，3，……），那么， n3=27x3=9×3x3，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数，9的倍数各个位数之和一定是9的倍数，所以将各个位数上的数字相加，

直到求出的和是个位数时，结果一定是9。啊哈，我越来越接近成功了！再来看，当余数是1时，这个自然数n就是3的倍数加1，即n=3x+1（x=0，1，2，3，……），那么，n3=（3x+1）3=27x3+27x2+9x+1=9（3x3+3x2+x）+1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再加1，那么结果一定是9+1=10，1+0=1，哈哈，第二关闯关成功！最后看，当余数是2时，这个自然数n就是3的倍数减1，即n=3x-1（x=1，2，3，……），那么，n3=（3x-1）3=27x3-27x2+9x-1=9（3x3-3x2+x）-1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再减1，那么结果一定是9-1=8，哈哈，第三关闯关成功！耶！我兴奋地大叫并跳了起来。学习数学真是一个快乐的过程，自然数立方的规律问题是我自己在平时学习中发现的，我联系所学的数学知识，仔细思考、归纳总结并想办法证明，让我体会到在数学海洋里遨游的无穷乐趣，我要是能掌握更多的数学知识，我一定会收获更多的快乐。肖老师留言：下周一上交的是方案，类似于我昨天给你的样本那样简写即可。月底交的文章要详尽，可参考我刚才给你发的范文。

立方和公式

立方和公式立方差公式三项立方和公式推导过程：完全立方公式 (a- b)3=a3+3ab2- 3a2b- b3 立方和累加正整数范围中注：可用数学归纳法证明公式证明

迭代法一我们知道： 0次方和的求和公式，即 1次方和的求和公式，即 2次方和的求和公式，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式，迭代即得。具体如下： (k+1) 3 - k3 = (k3 + 3k 2 + 3k + 1) - k3 = 3k 2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 332 ×1+1 2 - 1=3×1 +3 332 ×2+1 3 - 2=3×2 +3 332 ×3+ 1 4 - 3=3×3 +3 332 ×4+1 5 - 4=3×4 +3 ?? 332 (n+1)- n= 3 ×n + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1) 3-1 3= 3 ×(1 2+22 +32+?? +n2) + 3×(1+2+3+?? +n)+n×1 n3 + 3n 2 + 3n + 1 - 1 = 3 ×(1 2+22 +32+?? +n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12+2 2+32+ ?? + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入 (1)式，整理後得 1 3 + 2 3 + 3 3 + ?? + n 3=[n(n+1)/2] 2 迭代法二

取公式：系数可由杨辉三角形来确定那么就得出： ????⑴ ????⑵ ????⑶ ???? ????(n). 于是⑴ +⑵+⑶+?+(n) 有左边 = 右边 = 把以上这已经证得的三个公式代入，得移项后得等号右侧合并同类项后得即推导完毕。因式分解证明

由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 怎么推导？利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1即可 13-03=3×02+3×0+1 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 …… (n+1)3-n3=3n2+3n+1 ∴(n+1)3＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1) …… Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1) 方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1. 由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6. 方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1), 即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6 整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3, 所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...

初中常用数的平方立方及开平方开立方表

精品文档 1—30 的平方 2 的1—10 次方 12 = 1 2 222= 484 21= 2 22 = 4 232= 529 22=4 32 = 9 242= 576 23=8 42 = 16 2 252= 625 24= 16 52 = 25 262= 676 25=32 62 = 36 272= 729 26= 64 72 = 49 282= 784 27= 128 82 = 64 2 292= 841 28= 256 92 = 81 2 302= 900 29= 512 102= 100 210 1024 11 2= 121 1—10 的立方 12 2= 144 13= 1 2 132= 169 23= 8 14 2= 196 33= 27 2 152= 225 43= 64 16 2= 256 53= 125 172= 289 63= 216 182= 324 73= 343 2 192= 361 383= 512 20 2= 400 393= 729 21 2= 441 103= 1000 精品文档 1欢迎。下载

1-20 平方根，1-10 立方根表平方根VI= 1 V2 = 1.4142135623731 V3 = 1.73205080756888 V4 = 2 V5 = 2.23606797749979 V6 = 2.44948974278318 V7 = 2.64575131106459 V8 = 2.82842712474619 V9 = 3 V10 = 3.16227766016838 VII= 3.3166247903554 V12 = 3.46410161513775 V13 = 3.60555127546399 V14 = 3.74165738677394 V15 = 3.87298334620742 V16 = 4 V17 = 4.12310562561766 V18 = 4.24264068711928 V19 = 4.35889894354067 V20 = 4.47213595499958 立方根 3V1 = 1 3V2 = 1.25992104989487 3V3 = 1.44224957030741 3V4 = 1.5874010519682 3V5 = 1.7099759466767 3V6 = 1.81712059283214 3V7 = 1.91293118277239 3V8 = 2 3V9 = 2.0800838230519 3V10 = 2.15443469003188 2欢迎。下载

常用自然数平方立方标准表格.doc

常用自然数平方立方平方立方 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729 10 100 1000 11 121 1331 12 144 1728 13 169 2197 14 196 2744 15 225 3375 16 256 4096 17 289 4913 18 324 5832 19 361 6859 20 400 8000 21 441 9261 22 484 10648 23 529 12167 24 576 13824 25 625 15625 26 676 17576 27 729 19683 28 784 21952 29 841 24389

常用自然数平方立方平方立方平方立方 2 4 8 16 256 4096 3 9 27 17 289 4913 4 16 64 18 324 5832 5 25 125 19 361 6859 6 36 216 20 400 8000 7 49 343 21 441 9261 8 64 512 22 484 10648 9 81 729 23 529 12167 10 100 1000 24 576 13824 11 121 1331 25 625 15625 12 144 1728 26 676 17576 13 169 2197 27 729 19683 14 196 2744 28 784 21952 15 225 3375 29 841 24389 常用自然数平方立方平方立方平方立方 2 4 8 16 256 4096 3 9 27 17 289 4913 4 16 64 18 324 5832 5 25 125 19 361 6859 6 36 216 20 400 8000 7 49 343 21 441 9261 8 64 512 22 484 10648 9 81 729 23 529 12167 10 100 1000 24 576 13824 11 121 1331 25 625 15625 12 144 1728 26 676 17576 13 169 2197 27 729 19683 14 196 2744 28 784 21952 15 225 3375 29 841 24389