2018年高考数学(理科)二轮复习：寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)含解析
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件导数的简单应用
[典例]
(2017· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝exex－a－a2x.
❶
(1)讨论 f(x)的单调性； (2)若fx≥0，求 a 的取值范围． [解答示范]
❷
(一)搭桥——找突破口
(一)搭桥——找突破口
第(1)问： 欲讨论 f(x)的单
第(2)问： 欲求 a 的取值范围， 调性，应先求 f(x)的定义 应想到找出有关 a 的不等关 系．由 f(x)≥0，则应求 f(x)的最 小值，借助(1)的结论可得．
g(1))处的切线方程为 9x＋y－1＝0，则曲线 y＝f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为________．
解析：由已知得 g′(1)＝－9，g(1)＝－8， 1 x 1 9 1 又 f′(x)＝ g′ 2 ＋2x，∴f′(2)＝ g′(1)＋4＝－ ＋4＝－ ， 2 2 2 2 1 f(2)＝g(1)＋4＝－4，∴所求切线方程为 y＋4＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y＋6＝0.
[答案] 2x－y＝0
[类题通法] 1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的 3 种类型及方法
(1)已知切点 P(x0，y0)，求切线方程 求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率 k，求切线方程 设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式 写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜 率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式 写出方程．
π f′2＝1，则
a＝(
)
解析：∵f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且 π π π ∴sin ＋ cos ＋a＝1，即 a＝0. 2 2 2
18学年高二数学寒假作业第09天导数的几何意义的应用理新人教A版
第09天导数的几何意义的应用高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线设函数f(x)=(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.（1）求f(x)的解析式;（2）证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.【参考答案】（1）f(x)=（2）见试题解析.【试题解析】（1）求导可得f'(x)=由题意,可得212321(2)abab⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩,因为a,b∈Z,故f(x)=（2）在曲线上任取一点(x0,x0由f'(x0)=1知过此点的切线方程为()200200[1111(]1)x xy x xx x-+-=----.令x=1,得y所以切线与直线x=1的交点为令y=x,得y=2x0-1,所以切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1). 显然直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).1||2x0-1-1|2x0-2|=2,所以所围成的三角形的面积为定值2.【名师点睛】（1）求曲线在某点处的切线时，要注意切点既是曲线上的点也是切线上的点，即切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程，利用这个方法可以确定一些未知的常数．（2）函数()y f x=在某点处的导数、曲线()y f x=在某点处切线的斜率和倾斜角，这三者是可以相互转化的．（3）当曲线()y f x=在点00((),)xf x处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x x=．（4）注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线()y f x=在点00((),)x f x处的切线方程是000()()()yf x f x x x-='-；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．学霸推荐1ABC D2．已知曲线及曲线上一点P(1，－2)．（1）求曲线在P点处的切线方程；（2）求曲线过P点的切线方程．1．【答案】C【解析】设切点为（,则011axy⎧=⎪⎨⎪=⎩2．【解析】（1）由f(x)＝x3－3x得，f′(x)＝3x2－3.过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求切线方程为y＝－2.。
2018大二轮高考总复习理数课件：自检18 导数及其运用
自检18：导数及其运用
A组 高考真题集中训练
栏
目 导 航
考点1 导数的运算及几何意义 考点2 导数的应用
导数的运算及几何意义
1．(2014· 全国卷Ⅱ)设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝ ( D ) A．0 C．2 B．1 D．3
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋ 8 2)x＋1相切，则a＝________ ．
1 解析：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋x，y′|x＝1＝2． ∴曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1． ∵y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， ∴a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)． y＝2x－1， 由 消去 y， 2 y ＝ ax ＋ a ＋ 2 x ＋ 1 ， 得 ax2＋ax＋2＝0.由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8．
πx 4 ． (2014· 全国卷Ⅱ ) 设函数 f(x) ＝ 3sin m . 若存在 f(x) 的极值点 x0 满足 x 2 0＋ [ f (x0)] 2<m2，则 m 的取值范围是( C ) A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
1 1 C．－3，3 1 B．－1，3 1 D．－1，－3
1 2 解析：法一：取 a＝－1，则 f(x)＝x－3sin 2x－sin x，f′(x)＝1－3cos 2x－cos x，但 2 2 f′(0)＝1－3－1＝－3＜0， 不具备在(－∞， ＋∞)单调递增的条件， 故排除 A、 B、 D． 故 选 C．
高考数学(理科)二轮复习【专题2】导数及其应用(含答案)
第3讲导数及其应用考情解读(1)导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．(2)利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值.热点一导数的运算和几何意义例1(1)(2014·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．答案(1)5x＋y－3＝0(2)4解析(1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0.(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0，又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 30，又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32，代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3)＝________.(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.答案 (1)36－4π(2)2 解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′(π3)＋cos x ．所以f ′(π3)＝2×π3f ′(π3)＋cos π3.所以f ′(π3)＝36－4π. (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π2)＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a ＝2.热点二 利用导数研究函数的性质例2 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0,4]时，求函数f (x )的最小值．思维启迪 (1)直接求f ′(x )，利用f ′(x )的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f (x )的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到． 解 (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ， 所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1.当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下：故f (x )单调增区间为(－a －1，＋∞)．(2)由(1)得，f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)； 单调增区间为(－a －1，＋∞)．所以当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,4]上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为 f (x )min ＝f (0)＝a ；当0<－a －1<4，即－5<a <－1时， f (x )在(0，－a －1)上单调递减， f (x )在(－a －1,4)上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (－a －1) ＝－e－a －1；当－a －1≥4，即a ≤－5时，f (x )在[0,4]上单调递减， 故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (4) ＝(a ＋4)e 4.所以函数f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥－1，－e－a －1， －5<a <－1，(a ＋4)e 4， a ≤－5.思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax，a ∈R .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2ax 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤g (x )min ，x ∈[2，＋∞)，∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (2)＝1.∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以f (x )min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3， 解得a ＝e 22(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以f (x )min ＝f (e)＝1＋2ae＝3，得a ＝e ，适合题意． 综上a ＝e.热点三 导数与方程、不等式例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与函数y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)利用F ′(x )确定单调区间；(2)k ＝F ′(x 0)，F ′(x 0)≤12分离a ，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化． 解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数．由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )，∴F (x )在(0，a )上是减函数． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)得k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥－12x 20＋x 0恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即a 的最小值为12.(3)若y ＝g (2a x 2＋1)＋m －1＝12x 2＋m －12的图象与y ＝f (1＋x 2)＝ln(x 2＋1)的图象恰有四个不同交点，即12x 2＋m －12＝ln(x 2＋1)有四个不同的根，亦即m ＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12有四个不同的根．令G (x )＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12.则G ′(x )＝2xx 2＋1－x ＝2x －x 3－x x 2＋1＝－x (x ＋1)(x －1)x 2＋1当x 变化时，G ′(x )和G (x )的变化情况如下表：由表知G (x )极小值＝G (0)＝12，G (x )极大值＝G (－1)＝G (1)＝ln 2.又由G (2)＝G (－2)＝ln 5－2＋12<12可知，当m ∈(12，ln 2)时，y ＝G (x )与y ＝m 恰有四个不同交点．故存在m ∈(12，ln 2)，使函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点．思维升华 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)．①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0<x < －12a ， 则f ′(x )>0，故f (x )在(0, －12a]上是增函数； 若x >－12a，则f ′(x )<0， 故f (x )在[－12a，＋∞)上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数； 当a <0时，f (x )在(0,－12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24< －12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.1．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)>0的必要不充分条件．2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．3．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论.真题感悟1．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(－ln 2,2)解析设P(x0，y0)，∵y＝e－x＝1e x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝e ln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．2．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. (1)解 因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ， f ′(x )＝3x 2＋3>0， 故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明 令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3， h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3， 且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4. 若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3， h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3. 令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数． 所以，t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4. 故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ，故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3， 此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 押题精练1．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.2．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x ，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0； ∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数， ∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2；又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3，∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0，∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时函数f (x )取得最大值为18，x ＝2时函数f (x )取得最小值为12－ln 2.(2)由(1)知当x ∈[1,3]时，12－ln 2≤f (x )≤18，故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]．∴⎩⎨⎧g (0)<318g (2)<318，解得a <3116，∴实数a 的取值范围是(－∞，3116)．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为________． 答案 x －y －2＝0解析 由已知，得点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0.2．(2014·课标全国Ⅱ改编)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，所以a ＝3.3．(2014·陕西改编)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为________．答案 y ＝1125x 3－35x解析 设所求解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， ∵函数图象过(0,0)点，∴d ＝0.又图象过(－5,2)，(5，－2)，∴函数为奇函数 ∴b ＝0，代入可得－125a －5c ＝2①又y ′＝3ax 2＋c ，当x ＝－5时y ′＝75a ＋c ＝0②由①②得a ＝1125，c ＝35∴函数解析式为y ＝1125x 3－35x . 4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为________________________________________________________________________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.5．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是________． 答案 [34，1) 解析 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0， 所以x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)．令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a .由g ′(x )<0得－3a 3<x <0. 从而g (x )在x ∈(－3a 3，0)上是减函数，又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧ 0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，所以34≤a <1. 6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，下列结论正确的是________． ①f (x )>g (x )；②f (x )<g (x )；③f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )；④f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )．答案 ③解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，12) 解析 f ′(x )＝(ax ＋1)′(x ＋2)－(x ＋2)′(ax ＋1)(x ＋2)2＝a (x ＋2)－(ax ＋1)(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，令f ′(x )<0，即2a －1<0，解得a <12. 8．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________． 答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.10．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12) 解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x－a ) ＝ln x ＋1－2ax (x >0)，令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x，设φ(x )＝ln x ＋1x， 则φ′(x )＝－ln x x 2. 易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，大致图象如图．若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点，∴0<2a <1，∴0<a <12. 二、解答题11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知，f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2(x ≠1)， 求导得y ′＝3x 2＋2x －1＝0得x 1＝－1，x 2＝13， 得到极值点分别在－1和13处， 且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图如图．h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 13．设函数f (x )＝a e x (x ＋1)(其中，e ＝2.718 28…)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值；(3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b .由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线．∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]上单调递减，在[－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2(－3<t <－2)，2e t (t ＋1)(t ≥－2). (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0.∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k； 由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )内单调递减，在[ln 1k，＋∞)内单调递增． ①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0， 不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0. ③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )内单调递减，在[ln 1k，＋∞)内单调递增．F(x)min＝F(ln 1k)＝ln k(2－ln k)>0，满足F(x)min≥0.综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．。
2018届高考数学二轮复习寒假作业四导数的运算及几何意义注意解题的速度文20180117250
寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt 0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10π rad/s.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22解析：选D 由题意可得y ′＝e x，则所求切线的斜率k ＝e 2，所求切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝e 22.5．已知函数y ＝f (x )满足f (1)＝2，f ′(1)＝－1，则曲线g (x )＝e xf (x )在x ＝1处的切线斜率是( )A ．－eB ．eC ．2eD ．3e解析：选B ∵g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )， ∴g ′(1)＝e f (1)＋e f ′(1)＝e.6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e 4解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝ex ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t4x －t4ln t 4＋t2＋1，所以由题意，得－t4ln t 4＋t2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f′(1)<f′(2)<f (2)－f (1)B ．f′(2)<f (2)－f (1)<f′(1)C ．f′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f′(1)<f (2)－f (1)<f′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2 －f 1 2－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f 2 －f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上 解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．(2017·云南统测)已知函数f (x )＝a xln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：415．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)， 则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32， 解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋32 16．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， ∴k ＝－4e x＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π。
(寒假总动员)2018-2019年秋年高二数学寒假作业 专题12 导数的概念与运算(背)
专题12 导数的概念与运算 【背一背】一、函数)(x f y =的平均变化率：设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应地改变)()(0x f x x f y -∆+=∆，则平均变化率为x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为1212)()(x x x f x f --)(x f 在0x x =处的导数1）定义：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
2）导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。
对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。
三、导函数如果)(x f 在开区间),(b a 内每一点x 都是可导的，则称)(x f 在区间),(b a 可导。
这样，对开区间),(b a 内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '。
于是，在区间),(b a 内，)(x f '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数。
记为)(x f '或y '（或x y '）。
四.导数的四则运算法则：（1）导数的四则运算法则： 若f(x)、g(x)均为可导函数，则 (1) [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)； (2) [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)；(3) [cf(x)]′＝cf′(x)(c 为常数)； (4) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (5))()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡(g(x)≠0).（2）复合函数的导数:设函数)(x u ψ=在点x 处有导数)(x u x ψ'=',函数)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数)(u f y u '=',则复合函数f y =)]([x ψ在点x 处有导数,且x u xu y y '⋅'='. 五.几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e x x a a log 1)(log ='(7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 六、注意事项1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则x u x u y y '⋅'=',应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后。
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：3-6导数与函数 精品
＝x－1，因而 f(x)的图像恒在 y＝x－1 的下方，则当 x∈(0，1]
时，函数 f(x)的图像上任意两点连线的斜率均不小于 1，即
f（m）m－－nf（n）≥1，故mn mnmn≥em－n.
回顾 (1)本题考查利用导数研究曲线的切线、不等式的证明 等，考查考生的化归与转化思想．本题以函数 f(x)＝lnxx为原型函 数，入手点简单，但所涉及的问题有一定的高度，特别是第(2) 问不等式的证明，需经过多次转化．如果不善于转化或转化错误 则满盘皆输．
(2)若在[1，e](e＝2.718…)上存在一点 x0，使得 x0＋x10<mf(x0) 成立，
则构造函数 h(x)＝x＋1x－mf(x)＝x＋1x－mlnx＋mx 在[1，e]上 的最小值小于零．
h′(x)＝1－x12－mx －xm2 ＝x2－mxx－2 m－1＝（x＋1）（x2x－m－1）.(6 分) 令 h′(x)＝0，∵x∈[1，e]，∴x＝m＋1，
调研一 切线、恒成立
lnx＋k (2016·江 西 七 校 二 次 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ ex
(k∈R，e 是自然对数的底数)，f′(x)为 f(x)的导函数． (1)当 k＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； e－2＋1 (2)若 f′(1)＝0，试证明：对任意的 x>0，f′(x)< x2＋x 恒成
①当 m＋1≥e 时，即 m≥e－1 时，h(x)在[1，e]上单调递减， (8 分)
所以 h(x)的最小值为 h(e)，由 h(e)＝e＋1＋e m－m<0 可得 m>ee2－＋11，
因为ee2－＋11>e－1，所以 m>ee2－＋11；(10 分) ②当 m＋1≤1，即 m≤0 时，h(x)在[1，e]上单调递增， 所以 h(x)最小值为 h(1)，由 h(1)＝1＋1＋m<0 可得 m<－2； (11 分)
2018届高考数学二轮导数及其应用专题卷理(全国通用)
专题能力训练5 导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0<a<B.<a<C.a≥D.0<a<4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极大值点,2个极小值点B.2个极大值点,1个极小值点C.3个极大值点,无极小值点D.3个极小值点,无极大值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=.11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于∀t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能力训练5导数及其应用1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且0<y'≤1,当且仅当x=0时等号成立,故在函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象的切线中,x=0处的切线倾斜角最大,其值为,由此可知αmax=.故选D.7.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,又∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成立.故选A.8.A解析设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-ln x1=(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有因为x2<0<x1,所以0<<2.又a=ln x1+-1=-ln-1,令t=,所以0<t<2,a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),则h'(t)=t-1-<0,所以h(t)在区间(0,2)上为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln,所以a∈.故选A.9.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等的实根,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.10.5解析f'(x)=3x2+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,则3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.11.(-2,0)∪(2,+∞)解析令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)==g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0⇔解得x>2或-2<x<0.故不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).12.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是.13.14.①②③解析由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4)也是其增区间,①正确.a[f(1)-f(3)]≥0,即2a(11a-c)≥0,导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的判别式144a2-12ac=12a(12a-c),当a>0时,12a-c>11a-c≥0,判别式为正数,当a<0时,11a-c≤0,12a-c≤a<0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,②正确.注意到f'(2)=c-12a,则③转化为f'(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于x=2是导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故③正确.15.解 (1)因为当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a<x<1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上单调递增.当-1<x<a时,由f'(x)=3x2-1,知①当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以f(x)min=min=min=a-.②当a∈时,f(x)在上递增,在上递增,在(a,1)上递增,所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=16.解 (1)∵f'(x)=a=a ln x,令f'(x)>0,当a>0时,解得x>1;当a<0时,解得0<x<1,∴当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+∞);当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)①∵h(x)=g'(x)=x2-f'(x)=x2-a ln x,∴由题意得h(x)min≥0.∵h'(x)=x-,∴当x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h()=a-a ln,由a-a ln≥0,得ln a≤1,解得0<a≤e.∴实数a的取值范围是(0,e].②由(1)知a=e时,h(x)=x2-eln x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,当x=时等号成立,∴x∈N*时,2eln x<x2,令x=1,2,3,…,n,累加可得2e(ln 1+ln 2+ln 3+…+ln n)<12+22+32+…+n2,即ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).。
高考数学考点导数的几何意义以及应用#
考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。
(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。
(Ⅱ>求的单调区间。
(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。
(2>求函数的最大值。
(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。
另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
2018高考数学真题 理科 3.1考点2 导数几何意义及应用
第三章导数及其应用第一节导数的概念及其运算考点2 导数几何意义及应用（2018·全国卷Ⅲ（理））曲线y＝（ax＋1）e x在点（0,1）处的切线的斜率为－2，则a＝________.【解析】∵y′＝（ax＋a＋1）e x，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，得a＝－3.【答案】－3（2018·全国Ⅱ卷（理））曲线y＝2ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为________．.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点（0,0），【解析】∵y＝2ln（x＋1），∴y′＝2x+1∴切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.【答案】2x－y＝0（2018·全国Ⅰ卷（理））设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x【解析】方法一∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋A．又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）恒成立，即－x3＋（a－1）x2－ax＝－x3－（a－1）x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选D．方法二∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a为偶函数，∴a＝1，即f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选D．【答案】D（2018·江苏卷）记f ′（x ），g ′（x ）分别为函数f （x ），g （x ）的导函数．若存在x 0∈R ，满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．（1）证明：函数f （x ）＝x 与g （x ）＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；（2）若函数f （x ）＝ax 2－1与g （x ）＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数f （x ）＝－x 2＋a ，g （x ）＝be x x .对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，＋∞）内存在“S 点”，并说明理由．【解析】（1）证明 函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x 2＋2x －2，则f ′（x ）＝1，g ′（x ）＝2x ＋2.由f （x ）＝g （x ）且f ′（x ）＝g ′（x ），得{x ＝x 2＋2x －2,1＝2x ＋2,此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S 点”．（2）函数f （x ）＝ax 2－1，g （x ）＝ln x ，则f ′（x ）＝2ax ，g ′（x ）＝1x . 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S 点”，由f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），得{ax 02−1=lnx 0,2ax 0=1x 0,即{ax 02−1=lnx 0,2ax 02=1,（*） 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12(e−12)2＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组（*），即x 0为f （x ）与g （x ）的“S 点”．因此，a 的值为e 2. （3）对任意a ＞0，设h （x ）＝x 3－3x 2－ax ＋A ．因为h （0）＝a ＞0，h （1）＝1－3－a ＋a ＝－2＜0，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在x 0∈（0,1），使得h （x 0）＝0.令b ＝2x 03ex 0(1−x 0)，则b ＞0.函数f（x）＝－x2＋a，g（x）＝be xx，则f′（x）＝－2x，g′（x）＝be x(x−1) x.由f（x）＝g（x）且f′（x）＝g′（x），得{−x2+a=be xx,−2x=be x(x−1)x2,即{−x2+a=2x03ex0(1−x0)·e xx,−2x=2x03ex0(1−x0)·e x(x−1)x2,（**）此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0,1）内的一个“S点”．因此，对任意a＞0，存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，＋∞）内存在“S点”．【答案】见解析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx 2B.－sin x x 2C.cos x －x sin x x 2D ．－cos x ＋x sin xx 2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin x x 2.2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π ra d/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10π rad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎛12(x －a )d x ＝⎠⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B ⎠⎛12(x －a )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1.6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰ f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 解析：选A 21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝π2＋43. 8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝⎛⎭⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4eC.e 24D.e 4解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx，则切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝⎛⎭⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝e x＋1，则由e x 0＋1＝t4，得切点坐标为⎝⎛⎭⎫ln t 4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t 4⎝⎛⎭⎫x －ln t 4＋1，即y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t 2＋1，所以由题意，得－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1，即ln t 4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<f (2)－f (1)B ．f ′(2)<f (2)－f (1)<f ′(1)C ．f ′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f (2)－f (1)2－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f (2)－f (1)2－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2. 12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ， f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ， 由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x | m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)， 则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋32 16．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，∴k ＝－4e x ＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x ＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π。