第11讲 排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学 新东方内部
高考数学第11讲-排列组合二项式定理与概率统计复习专题课件新人教A版
分析： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子 里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
C135
455
因此，不同的分配方案共有455种 .
9
2.基本方法
⑸剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个
盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球
(3)*当A、B不互斥时：
A A·B B
新疆 王新敞
奎屯
0
a0 a1 a2 an f (1)
a0 a1 a2 (1)n an f (1)
a0 a2 a4
f (1) f (1) 2
a1 a3 a3
f (1) f (1) 2
17
3.二项式定理
如： (2009湖北卷理)设
（
2 x)2n 2
a0
a1x
a 2
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
如： 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列：有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
有A62 =30种插入法
几个元素不能相邻
也共可有以多看少作条是不同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
2024年排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习
思维导图——排列、组合、二项式定理、概率知识点默写——排列、组合与二项式定理*1、分类加法计数原理：*2、分步乘法计数原理：3、排列数mn A 的含义：4、计算：m n A =*5、在m n A 中，若m n <，这样的排列叫作；若m n =，这样的排列叫作；6、阶乘!n =；nn A =；规定，0!=；7、组合数mn C 的含义：8、计算：m n C ==；9、组合数的性质（1）m n C =；（2）1m m n n C C -+=；（3）0121n nn n n n n C C C C C -+++++=.10、（1）对于*n N ∈，()na b +=.该公式所表示的定理叫作，右边的多项式叫作()na b +的；展开式共有项数为项.（2）二项展开式的通项1r T +=，表示第项.（3）二项展开式中的二项式系数为；项的系数是指.11、（1）对称性：与首末两端的两项的二项式系数相等，即(0,1,2,,)r n rn n C C r n -==（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数n 为偶数时，最大的二项式系数为，最大二项式系数为第项；当n 为奇数时，最大的二项式系数为，最大的二项式系数为第项.（3）二项式系数之和为.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数项的二项式系数之和相等，即：==.12、若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，令，得0127a a a a ++++=.一、特殊元素特殊位置优先1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？二、相邻元素捆绑法2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？三、不相邻问题插空法3、一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则所有节目共有多少种出场顺序？四、定序问题倍缩法、空位法、插入法4、7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法？五、排列组合混合问题先选后排法5、有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同装法？六、元素相同问题隔板法6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？七、平均分组问题除法策略7、有6本不同的书，平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？八、合理分类与分步策略8、在一次演唱会上共有10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？九、构造模型策略9、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？。
【参考实用】高考数学冲刺-排列组合二项式定理、概率统计.doc
排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。
⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数：=7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。
2021年高考数学试题分项版解析 专题11 排列组合、二项式定理 理(含解析)
2021年高考数学试题分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理（含解析）1.【xx高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是．2.【xx高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【xx高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【xx高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B．C．D．【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.5、【xx高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【xx高考重庆，理12】的展开式中的系数是________(用数字作答).【答案】【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.【考点定位】二项式定理【名师点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【xx高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .【答案】．【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：．8.【xx高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.【答案】.【解析】，所以的系数为.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【xx高考天津，理12】在的展开式中，的系数为 .【答案】【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【xx高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【xx高考福建，理11】的展开式中，的系数等于．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式中项为，所以的系数等于．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【xx高考北京，理9】在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式，准确计算指定项的系数.13.【xx高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【xx高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.【xx高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C xx x x⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以项只能在展开式中，即为，系数为【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【xx高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．27669 6C15 氕vJ40087 9C97 鲗L35622 8B26 謦28031 6D7F 浿37770 938A 鎊40002 9C42 鱂29902 74CE 瓎29455 730F 猏^25521 63B1 掱。
排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
2021高考数学查缺补漏集中营 排列、组合、二项式定理、概1(1)
2021高考数学查缺补漏集中营：排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．把握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．明白得排列的意义，把握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．明白得组合的意义，把握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．把握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的大体公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、彼此独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与彼此独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行实验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是能够重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101.(2)以该人经历自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101.例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，此题是等可能性事件问题，且Card(I1)=123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(n m n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
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第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方内部第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部第一一章排列组合与二项式定理1.排列数公式成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？2.1.(n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①cnmcnn？M1②cnm?cnm?1?cnm??1；kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？r？cnr1.⑤NN（n？1）！？Nn11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果，只有一种方法可以完成这项任务），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序的安排，无序的组合如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐标系中中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的一个顶点总共有10个点。
将这些点作为顶点可以形成三个三角形；（答复：cb90）⑥ 使用六种不同的颜色来分隔右图中的四个区域a、B、C和D，并且允许使用相同的颜色一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有d种不同涂法；（答：480）⑦ 同一个房间里的四个人每人写一张新年贺卡，然后每人拿一张别人寄来的新年贺卡。
分发这四张新年贺卡有不同的方式；（答：9）⑧f是集合m??a,b,c?到集合n???1,0,1?的映射，且f(a)?f(b)? F（c），则存在不同的映射；（答：7）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：首先考虑元素的约束条件，然后考虑其他元素；位置优先方法：首先考虑有限制的位置要求，然后考虑其他位置。
例如① 六个数字0、1、2、3、4和5可以构成一个四位偶数，而不需要重复________________；（答：156）②某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____；（答：6）（2）间接法（针对限制条件下的问题，首先考虑总体情况，然后删除不符合条件的所有情况）。
例如，在平面直角坐标系中，三角形的数量可以由六个点（0,0）、（1,2）、（2,4）、（6,3）、（1，-2）、（2，-1）确定。
（答：15）（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
如①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；（答：2880）② 一个人投篮8次，命中4次。
在这4个镜头中，正好有3个镜头连接在一起。
不同的数字是_;；（答：20）③把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：144）（4）非相邻（相间）问题插值法（当某些元素不能相邻或某些元素需要处于特殊位置时，可以使用插值方法，即先排列无限制元素条件的元素，然后根据需要在排列的元素之间插入有限制条件的元素）。
如3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有___种；（答：24）（5）定序排列用除法例如① 书架上有三本不同的书。
如果不方便保持这些书的相对顺序，则以不同的方式放置两本不同的书；（答：20）②某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新程序如果将这两个程序插入到原始程序列表中，则不同插入方法的数量为_;。
（答：42）（6）多元问题分类法。
例如① 在化工厂的实验生产中，需要依次投入两种化工原料，有五种原料，但a、B两种原料不能同时使用。
轮流投料时，如果使用a原料，甲方必须先投料，那么不同的实验方案是什么？种；（答：15）②某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；（答：36）③ 在9名翻译中，6名懂英语，4名懂日语。
其中五人被选中参加外交活动。
其中三人被要求担任英语翻译。
选择和拨号的方法如下：物种；（答案：90）④如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1?a2且a3?a2，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____；（答：240）（7）选取问题先选后排法。
如果一个产品有4个缺陷产品和6个正品，并且每个产品都不同且可区分，则取出一个产品进行测试，直到所有4个缺陷产品都被测试，那么最后一个缺陷产品在第五次测试中发现的不同情况的数量为u。
（答案：576）（8）至少是间接法。
如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）（9）分区方法可用于对相同的元素进行分组（索引分布）。
如①10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；）② 一家运输公司有七个车队，每个车队都有四辆以上的车辆和相同的型号。
从这七个车队中抽取10辆车组成一个运输车队，每个车队至少抽取一辆车，有多少种不同的抽取方法？（答复：84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。
例如，四名医生和六名护士组成一个医疗队。
如果他们被分配到四所学校为学生进行体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士。
有哪些不同的选择方法？物种（A:37440）；5.二项式定理：r0n1rn？瑞娜？cn1an？Bcnab？？？组合数cn称为R+1（a？B）n？cnrn？RR的二项式系数；展开式中有n+1项，其中R+L项是Tr？AB（r0，1，2，n）被称为二项展开的一般项。
二项式展开的一般术语的主要目的是找到指定的术语特别提示：项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。
如在(ax?b)n的展开式中，第r+1项的二项式系数为1rrn？cnrrab+CN项的系数为1；和（x？）n展开式中的系数是二项式系数；x17)的展开式中常数项是____；如①(2x3?（答：14）x②(1?x)3?(1?x)4???(1?x)10的展开式中的x3的系数为_____；（答：330）③数11100?1的末尾连续出现零的个数是____；（答：3）6、二项式系数的性质：mn？M（1）对称性：等于两端“等距”的两个二项式系数，即CN；？CN（2）增加和减少和最大值：二项式系数CRN在中间获得最大值。
当n为偶数时，为中等n间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值。
当n为奇数时，中间两项（第2n？1n？1和+1的二项式系数相等，同时取最大值。
22例如，① 在二项式（x？1）11的展开式中，系数最小的项的系数为__；（答：－462）② 在（1？X）n的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，然后n=_u。
（回答：17、18或19）（3）二项系数之和：n01r0213???cn?2n；cncn?cn???cn?cn?????cn?cn?????2n?1。
7.赋值方法：二项式展开式中的系数和929可通过使用“赋值方法”获得，如① 已知（1？3倍）| A9 |等于？a0？a1x？A.a2x？9x，然后是A0？a1？|a2 |？_;（答：49）②(1?2x)2021?a0?a1x?a2x2???a2021x2021，则(a0?a1)?(a0?a2)＋（答案：2022）？？（a0？a2022）=③设(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2nx2n,则a0?a2???a2n?_____。
3n？1（回答：）2?a?ar?18、系数最大项的求法：设第r项的系数ar最大，由不等式组?r确定r。
? 应收账？应收账？113在（x？x）10的展开式中，系数绝对值最大的项和系数最大的项。
2139105（答：系数绝对值最大的项为?15x2，系数最大的项为x3）八第十二章概率1.随机事件a的概率为0？p（a）？1，p（a）在哪里？1被称为不可避免的事件；什么时候p（a）？0被称为不可能事件P（a）=0；m2.古典概型（等可能事件的概率）：p(a)=。
理解这里m、ｎ的意义。
N例如（1），将数字1、2、3和4填入编号为1、2、3和4的四个正方形中，每个方框一个3数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）；8（2）（科学）假设10种产品中有4种缺陷产品和6种正品，并计算以下事件的概率：① 任何两个都有缺陷；② 取其中5个，正好有2个不良品；③ 取三个可以放回去的21044件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①；②；③；125152110④）213.几何概率：如果每个事件的概率仅与事件区域的长度、面积或体积有关构成事件a的区域的几何度量（长度、面积或体积）积成比例。
公式是p(a)=.实验的所有结果构成了该区域的几何测量，例如：在10cm2的面积内？取ABC中的任意点P，求出PBC面积小于5cm23的概率δ。
（答：）44.互斥事件：a、b互斥，即事件a、b不可能同时发生。
计算公式：p(a+b)＝p(a)+p(b)。
例如，（1）有两个口袋a和B，口袋a中有四个白球和两个黑球，口袋B中有三个白球和四个黑球，8）；21（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭。
当观察使用这部电话的人流时，它设定在特定的时间。
n个人使用电话或等待使用的概率是p（n），p（n）与时间t无关??1?n?n?5???p?0?,1计得到p?n????，那么在某一时刻，这个公用电话亭里2???0,n?6?32一个人也没有的概率p（0）的值是（答：）635.相反的事件：（A和B是相反的，也就是说，事件A和B不能同时发生，但A和B中必须有一个发生）。