循环数列的通项公式
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
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数列知识点总结
数列知识点一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列：1,2,1,2,….;1,1,2,2,3,3,4,4,….; 循环数列：1,2,3,1,2,3,1,2,3,….. 通项公式n a ； 前n 项和公式n S二、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n若1a 满足由1--=n n n S S a 推出的n a ，则需要统一“合写”； 若不满足，则数列的通项应分段表示。
三、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、d a a n n =--212、d a a n n =--1、d a a n n =--111、211-++=n n n a a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= (其中1a 为首项、k a 为已知的第k 项)当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+= 当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0； 当0=d 时（01≠a ），1na S n =是关于n 的正比例式。
4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列，公差为d m 2。
6、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{nS n是等差数列，公差为2d。
数列通项的五种求法
数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。
下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。
一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。
(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32 (4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1.（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n na n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n 小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。
二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。
（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1. （3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,12113210--=∴⨯-⨯---n a n n n （3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n , ∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22n n a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。
斐波那契数列for循环
斐波那契数列for循环斐波那契数列（FibonacciSequence）是希腊数学家费波那契（LeonardoFibonacci）提出的数学规律，也叫黄金分割数列。
它是一个由1开始，后面任意两个数字相加所组成的数列。
现在“斐波那契数列for循环”已被用于计算机编程语言中，将原有的递归算法改为for循环，给程序提高效率。
本文将详细介绍斐波那契数列for循环的内容、使用场景以及如何实现等。
一、斐波那契数列for循环的内容斐波那契数列是由以下的递推公式来定义：F(n)=F(n-1)+F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
它的特点是每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的for循环的实现方法是声明一个数组，通过for循环来对其中的元素进行赋值，并最终输出斐波那契数列。
二、斐波那契数列for循环的使用场景斐波那契数列for循环可以应用在许多场景中，比如用来求解数字分割问题、计算最大公约数、计算凸多边形重心等等。
斐波那契数列也可以用于计算机编程中，比如求一个数组中指定位置的元素值、动态规划问题求解、数字游戏的实现、智能算法优化等。
三、斐波那契数列for循环的实现1.声明一个数组，同时声明一个int型变量，初始值为1；//声明一个数组，元素类型为long intlong int f[100];int n = 1;2.为数组元素赋值，第一个元素为0，第二个元素为1。
f[0] = 0;f[1] = 1;3.使用for循环对数组元素赋值，从第三个元素开始，每一项的值为前两项的和。
for(int i = 2; i < n; i++){f[i] = f[i-1] + f[i-2];}4.输出数组元素，即可获得斐波那契数列的结果。
for(int i = 0; i < n; i++){printf(%d,,f[i]);}经过上述四个步骤，就可以实现斐波那契数列for循环，最终得到的斐波那契数列结果会根据n的取值而变化。
8递归数列的通项(3)
初 等 数 学 专 题 研 究
这是一个三阶循环公式 将得到一个次数较高的特征方程，求解计算量大。 下面针对 {bn } 的几种特殊情形给出求数列 {a } n 通项公式的一般方法。
初 等 数 学 专 题 研 究
情形一： {bn } 为常数数列 bn = b 即 an +1 = ran + b 这时，我们设想，如果b能够拆解成两个部分， 使 an+1 = ran + b 能改写成： 的形式。那么数列 {a n + x } 就成为公比为r的等比数列。 问题是这样的待定数x是否存在？ 将 an +1 + x = r (an + x ) 还原成 an +1 = ran + x ( r 1) 的形式， 与 an +1 = ran + b 比较， 由于
与
an+1 = ran + bn + c 比较，
由于
r ≠1
所以方程组
初 等 数 学 专 题 研 究
( r 1) x = b x + ( r 1) y = c
有解，即前面的设想成立。
例2：求数列：an+1 = 4an + 5n, a1 = 1 的通项公式。 解：设 an +1 = 4an + 5n 可以改写成
bn = an +1 ran , bn+1 = an + 2 ran +1
初中数学单循环双循环公式
初中数学单循环双循环公式初中数学单循环双循环公式1. 单循环公式•等差数列求和公式公式：Sn = n(a1 + an) / 2解释：等差数列的前n项和等于首项与末项之和乘以项数的一半。
例子：求1到100的所有自然数之和。
解答：首项a1 = 1，末项an = 100，项数n = 100。
使用公式Sn = n(a1 + an) / 2，代入a1 = 1，an = 100，n = 100，得到Sn = 100(1 + 100) / 2 = 5050。
•等比数列求和公式公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)解释：等比数列的前n项和等于首项乘以对应的尾项的幂差除以公比与1的差。
例子：求1 + 2 + 4 + 8 + … + 256的和。
解答：首项a1 = 1，尾项an = 256，公比q = 2，项数n = 8。
使用公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入a1 = 1，q = 2，n = 8，得到Sn = 1 * (1 - 2^8) / (1 - 2) = 1* (1 - 256) / (-1) = 255。
2. 双循环公式•二项式定理公式：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + … + C(n, n) * a^0 * b^n解释：二项式定理表示一个二项式的n次幂可展开为一系列项的和，其中每一项由二项式系数和幂次方组成。
例子：展开(2x + 3y)^3。
解答：根据二项式定理，展开公式为(2x + 3y)^3 = C(3, 0) * (2x)^3 * (3y)^0 + C(3, 1) * (2x)^2 * (3y)^1 +C(3, 2) * (2x)^1 * (3y)^2 + C(3, 3) * (2x)^0 * (3y)^3。
化简后得到(2x + 3y)^3 = 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3。
高考数列基本公式是什么
高考数列基本公式是什么高考数列基本公式1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);高考数学等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;用构造数列方法求通项公式题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1=2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……(1)求{an}通项公式 (2)略解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
高三数学数列的概念试题答案及解析
高三数学数列的概念试题答案及解析1.已知函数由下表定义：若，（），则．【答案】2【解析】，，，可知数列是循环数列周期为4，所以.【考点】1函数的表示方法；2数列.2.数列{an }的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0【答案】A【解析】∵当n∈N*时,a4k+1=(4k+1)cos(2kπ+)=0,a4k+2=(4k+2)cos(2kπ+π)=-(4k+2),a4k+3=(4k+3)cos(2kπ+)=0,a4n+4=(4k+4)cos(2kπ+2π)=4k+4,∴a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2.则S2012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a2009+a2010+a2011+a2012)=2×503=1006.3.已知正项数列{an }中,a1=1,且log3an,log3an+1是方程x2(2n1)x+bn=0的两个实根.（1）求a2,b1;（2）求数列{an}的通项公式;（3）若,是前项和, ,当时,试比较与的大小.【答案】（1），；（2）；（Ⅲ）当时,,当时, ．【解析】（1）是方程的两个实根，有根与系数关系可得，，，求，的值，可利用对数的运算性质，及已知，只需令即可求出，的值；（2）求数列的通项公式，由得，，所以，即，得数列的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列，分别写出奇数项和偶数项的通项公式，从而可得数列的通项公式；（Ⅲ）若,是前项和, ,当时,试比较与的大小，此题关键是求数列的通项公式，由（1）可知，可得，当时, =0,=0,得，当时,有基本不等式可得，从而可得0+=，即可得结论．试题解析：（1）,当时,,,,（2）,,的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列.,,（3）当时, =0,=0,.当时,0+=综上,当时,,当时, .或猜测时,用数学归纳法证明①当时,已证②假设时,成立当时,即时命题成立根据①②得当时,综上,当时,,当时,【考点】求数列的通项公式，数列求和．4.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足, .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.【答案】（I）；（Ⅱ）【解析】（I）由已知条件解方程组可得首项和公差，通项公式即可求出。
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循环数列的通项公式
江苏省丹阳高级中学 杨松扣
大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集：｛ 1，2，3，…，n ｝。
因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。
我们先从数列 1-，1，1-，1，…谈起，大家利用得较多的是n )1(-，
三角形式还可以写成πn cos 和)n 2
sin(π-π的形式。
这样数列 1，2，1，2，1，2，… 可以构造成： 2123-，2123+，2123-，2123+，2123-，2
123+，…… ， 它的通项公式可以写成： 2
1)1(23a n n ⨯-+= (n ∈N)， 或者写成： )n 2
s i n (2123a n π-π+= (n ∈N)， 或者写成： π+=
n c o s 2123a n (n ∈N)， 一般地，数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成： π-++=n c o s )a b (2
1)b a (21a n (n ∈N)。
如何求数列}b {n ：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…… 和数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式呢？ 注意到 1，2，3可以分解成 12-，02+，12+的形式，如果我们能给出1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式便可以了，这可以理解成周期为3的数列，我们，把它与周期为π的函数x tan y = 进行改造，使它们能发生联系。
事实上，当 x 分别为3π-，0，3π，32π，π，34π，……时，x tan 的值分别为3-，0，3，3-，0，3，……这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：
π-)2n tan(31，
∴ π-+=)2n tan(31
2b n (n ∈N)。
下面再讨论数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式。
我们先做以下变换：
扩大 2倍：
2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……
减去它们的平均数5：
3-， 1-， 1， 3， 3-， 1-， 1， 3，……
分解成两个数列：
(1) 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1，……
(2) 2-， 2-， 2， 2， 2-， 2-， 2， 2，……
(1)的通项公式为n )1(- 易得，(2)的通项只要求出1+，1+，1-，1-，1+，1+，1-，1-，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数(2-)。
以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：
)4
1n 21s i n (2c n 1π-π= (n ∈N)， ∴ 2-，2-，2，2，2-，2-，2，2，……的通项为：
)4
1n 21sin(22c n 2π-π-= (n ∈N)， ∴ 3-，1-，1，3，3-，1-，1，3，……的通项为：
)4
1n 21sin(22)1(c n n 3π-π--= (n ∈N)， 则原数列}c {n 的通项为：
)]4
1n 21sin(22)1(5[21c n n π-π--+= (n ∈N)。
此外还可以再把 1-，1-，1，1，1-，1-，1，1，……分成两个数列： 1-，0，1，0，1-，0，1，0，…… 和 0，1-，0，1，0，1-，0，1 ，…… 它们的通项公式分别为2)1n (cos π+ 和2
n cos π ， 经过化简便可得到同上一样的答案。
下面再讨论可转化成循环数列的一类数列的通项公式。
}a {n ：1，1，2，2，3，3，4，4，……；
}b {n ：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……；
}c {n ：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……；
对于数列}a {n 来说，当 n 为奇数时，)1n (2
1a n +=；当 n 为偶数时，
2
n a n =，则有： 2
)1(1n 212)1(1)1n (21a n n n -+⋅+--⋅+= ])1(1n 2[4
1n --+= (n ∈N), 也可以采用以下变形：
扩大一倍得}a {2n ： 2，2，4，4，6，6，……，
减去 n 得}n a 2{n -：1，0，1，0，1，0，……，
易得 ])1(1[4
1n a 2n n --=- (n ∈N)。
讨论}b {n ：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……，
乘以 3 得}b 3{n ：3，3，3，6，6，6，9，9，9，12，12，12，……， 减去 (n+1)得)}1n (b 3{n +-：1，0，1-，1，0，1-，……， 由前面讨论得它的通项公式：
π+-=31n t a n 3
1'b n (n ∈N) 即有： π+-=+-31n tan
31
)1n (b 3n (n ∈N) 整理可得：π+-
+=31n tan 331
)1n (31b n (n ∈N) 最后讨论}c {n ：
1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式。
乘以(－4)得：
4-，4-，4-，4-，8-，8-，8-，8-，12-，12-，12-，12-，……，
加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：
)]4
1n 21sin(22)1(5[21'c n n π-π--+= 又)4n (c 4'c n n ++-= 化简整理得：
]4
1n 21s i n (22)1(3n 2[81c n n π-π+--+= (n ∈N)。
由上讨论可见，象这样一些循环数列，均是通过三角函数的某些性质求出了它们的通项公式，只要平时注意观察、归纳，到时运用起来就得心应手了。