南大的微积分教材
微积分课件(导数的应用-南京大学
5-2 一阶导数的应用
例5 确定 y 3 x2 的单调区间。
解 函数的定义域为 (,)
y
2
1
x3
2
3
33 x
由于 y 0 则无驻点；
当x=0时 y 不存在，则x=0为奇点
（也可以是单调区间分界点）
讨论 得函数在 (,0) 递减，(0,) 递增。
10
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-3 二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定（如图）
y y
y=f(x)
y=f(x)
1
0a
2
bx
2
1
x
0a
b
a图
b图
直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方； 曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。
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《微积分》
教学课件
南京 **大学 高数教研室
1
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❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
第五章 导数的应用
内容导航
➢ 前言 ➢ 理论基础：中值定理 ➢ 一阶导数的应用
3
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❖ 序言
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.1.1) 导数和高阶导数
速度和曲率
问题 1 我们坐高铁的时候车厢前的屏幕上会显示速度. 在数学上如何定义速度, 如何计算速 度?
问题 2 如何从数学上刻画曲线的弯曲程度? 质点做匀速直线运动和曲线运动的差别是由什 么因素引起的?
注1 我们用导数来刻画这些量. 速度是位移的导数, 加速度是速度的导数, 因此是二阶导 数; 曲率也用二阶导数来刻画. Einstein: 时空的弯曲等价于引力!
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
则称 f
在 x0
处
可导, 此极限称为 f 在 x0 处的导数, 记为 f (x0).
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
三角函数的导数
例1 (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
证明.
设 x0
∈ R, 利用 lim
x →0
sin x x
=1
可得
lim
x →x0
sin x x
− sin x0 − x0
=
lim
x →x0
sin[(x
− x0)/2] cos[(x (x − x0)/2
+ x0)/2]
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 3 第三章连续函数 (3.4.1) 连续函数的整体性质
|f | + 1
m
最值定理
定理 1 (最值定理) 设 f ∈ C0[a, b], 则 f 达到最小值和最大值.
最值定理
定理 1 (最值定理) 设 f ∈ C0[a, b], 则 f 达到最小值和最大值.
证明. 以最大值为例. 根据引理 2, f 有上界, 其上确界记为 M. 如果 f 总是不等于 M, 则 M − f 为正连续函数. 根据引理 1, M − f 有正下界, 记为 δ. 此时 M − δ 为 f 的上界, 这与 M 为上确界(最小上界)相矛盾.
常见例子
例1 设 f : [a, b] → [a, b] 为连续函数, 则存在 ξ ∈ [a, b], 使得 f (ξ) = ξ.
证明. 考虑连续函数 F (x) = f (x) − x, 则 F (a)F (b) = f (a) − a f (b) − b ≤ 0, 由零值定 理, 存在 ξ ∈ [a, b], 使得 F (ξ) = 0, 即 f (ξ) = ξ.
常见例子
例1 设 f : [a, b] → [a, b] 为连续函数, 则存在 ξ ∈ [a, b], 使得 f (ξ) = ξ.
证明. 考虑连续函数 F (x) = f (x) − x, 则 F (a)F (b) = f (a) − a f (b) − b ≤ 0, 由零值定 理, 存在 ξ ∈ [a, b], 使得 F (ξ) = 0, 即 f (ξ) = ξ.
当 |x
− y|
<
1 N
时
|f (x) − f (y )|
<
ε/2.
注意到
当0
≤
j
≤
m − 1 时,
mi +j mn
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 2 第二章数列极限 (2.4.1) 数列极限的Cauchy准则
定理,
它有一个收敛子列 {amk },
设
lim
k →∞
amk
=
α.
我们要证明 {an}
也收敛于 α.
按
照定义, 任给 ε > 0, 存在 K , 当 k > K 时 |amk − α| < ε/2. 同时, 存在 L, 当 m, n > L
时 |an − am| < ε/2. 记 N = max{K + 1, L + 1}, 则 mN ≥ N > L, 于是当 n > N 时
由前例即知 {an} 是 Cauchy 数列, 因此收敛.
A
−
ank
,
则存在 nk+1 > nk , 使得 ank+1 > sup A − εk+1. 利用夹挤原理即可看出我们找出的这 个子列单调递增地收敛于 sup A.
Bolzano 致密性定理
证明(续). (2) 有某一项等于 sup A, 比如 am1 = sup A. 记
A1 = A \ {a1, a2, · · · , am1},
=
1 1+an
<
1;
进一步,
当
n
≥
1
时 an+1
=
1 1+an
>
1 2
.
这说明,
当n
≥
3
时
|an+1 − an| =
1
1
−
1 + an 1 + an−1
=
|an − an−1|
(1 + an)(1 + an−1)
≤ (4/9)|an − an−1| ≤ · · · ≤ (4/9)n−2|a3 − a2|,
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.5.1) 积分的推广
1 dx √
1
= arcsin x = π.
1−x 2
−1 1 − x 2
−1
例4
设 p ∈ R, 讨论积分
1 0
dx xp
的敛散性.
解. 当 0 < a < 1 时,
1 dx a xp =
是收敛的.
− ln a,
1 1−p
(1
−
a1−p
),
p = 1, 因此只有 p < 1 时积分才 p = 1.
α→+∞
(Cauchy 准则) f 在 [a, ∞) 中的无穷积分收敛 ⇐⇒ 任给 ε > 0, 存在 M = M(ε),
β
使得当 β > α > M 时, f (x) dx < ε.
α
判别无穷积分收敛的基本方法
如果连续函数 f 在 [a, ∞) 中存在原函数 F , 则由微积分基本公式,
α
lim f (x) dx = lim F (α) − F (a),
−1 1 − x 2
解. √ 1
的原函数为 arcsin x, 因此
1 dx √
1
= arcsin x = π.
1−x 2
−1 1 − x 2
−1
例4
设 p ∈ R, 讨论积分
1 0
dx xp
的敛散性.
瑕积分的简单例子
例3 计算积分 1 √ dx .
−1 1 − x 2
解. √ 1
的原函数为 arcsin x, 因此
α→+∞ a
α→+∞
即积分是否收敛与极限 lim F (α) 是否存在是一致的.
α→+∞
微积分课件(导数的应用-南京大学)1368437页PPT
f (x) 0的地方 f (， x)凹； f (x)0的地方 f (， x)凸。
曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。
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序言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程
注意: 极值是局部概念---局部最大或最小；一个 函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小 值，但可能有多个极大值和极小值。
5-2 一阶导数的应用
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序言
第1章 函 数 第2章 导 数
如何求函数的极值？
第3章 定积分
第4章 求导方法
如下图所示： 第5章 导数应用
第6章 求积分方法
5-1 理论基础:中值定理
例2 试证当 x[a,b] 有 y 0 则y＝f(x)在[a，b]是增函数。
证 任 [x1,x2][a,b] ，由于 y 在[a，b]存在；
说明可用中值定理有 f( x 2 ) f( x 1 ) f( x 0 )x 2 ( x 1 )
其中 x1 x0 x2 由已知 f (x0)0 ， x2 x1 0
5-2 一阶导数的应用
函数单调性的判定 设函数y=f(x)在[a,b]连续，（a,b）可导，那么
y 0，f (x)在(a,b)内单调递增； y 0，f (x)在(a,b)内单调递减。
例3 判别函数 y ex 的单调性
解 因为y ex 0,x(,)
所以y ex在（，）内单调递减。
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
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数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.2.1) 可积的充要条件
可积函数类
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多. 或者 说, 间断点(振幅不为零的点)并不是很多. 从 Riemann 定理出发, Lebesgue 得到了关于可积函数的进一步刻画.
可积函数类
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多. 或者 说, 间断点(振幅不为零的点)并不是很多. 从 Riemann 定理出发, Lebesgue 得到了关于可积函数的进一步刻画. Lebesgue 说有界函数为可积函数当且仅当它“几乎处处”连续! (以后我们将讨论 其准确含义)
lim
ωi ∆xi =
π →0
i =1
lim [Sπ(f
π →0
)
−
sπ (f
)]
=
inf
π
Sπ (f
)
−
sup
π
sπ (f
).
(3) =⇒ (4): 这是显然的. (4) =⇒ (2): 如果存在分割 π, 使得 Sπ(f ) − sπ(f ) < ε, 则由
sπ(f ) ≤ sup sπ (f ) ≤ inf Sπ (f ) ≤ Sπ(f )
n
ωi ∆xi =
ωi ∆xi +
ωi ∆xi ≤ ε(b − a) + (M − m)ε.
i =1
{i|ωi <ε}
{i|ωi ≥ε}
由定理 1 (4) 知 f 可积.
可积函数类
推论 1 设 f 为有界函数, 若 f 只有有限个间断点, 则 f 可积.
可积函数类
推论 1 设 f 为有界函数, 若 f 只有有限个间断点, 则 f 可积.
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1. 《微积分》（第四版）作者：陈纪修、傅子义、关鸣译，南京大学出版社。
这是南京大学自己出版的教材，内容全面而且深入，适合有一定数学基础的学生。
2. 《微积分学教程》（第九版）作者：托马斯/Finney，机械
工业出版社。
这是一本经典的微积分教材，在全球范围内广泛使用，包含了大量的例题和习题，适合初学者和高等数学爱好者。
3. 《微积分（上、下册）》作者：王元，高等教育出版社。
这是一套有两本的教材，内容系统清晰，注重理论与实际计算的结合，适合初学者理解微积分的基本概念和方法。
当然，这仅仅是一些常用的微积分教材，还有很多其他的教材也很不错。
建议根据自己的学习需求和水平选择适合自己的教材。