2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔部分学校高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔部分学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋃=（ ）A ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B ．{}1x x <C ．112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x >-【答案】D【分析】先对集合A 和集合B 进行化简，接着用并集运算即可得到答案【详解】解：因为{}12102A x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，{}{}111B x x x x =<=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-， 故选：D2．命题“R x ∃∈，23+3<0x x -”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，23+3<0x x - B ．R x ∀∈，23+30x x -≥ C ．R x ∃∈，23+30x x -＞ D ．R x ∃∈，23+30x x -≥【答案】B【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出答案．【详解】∵命题“R x ∃∈，2330x x -+<”为特称命题，特称命题的否定是全称命题， ∴命题“R x ∃∈，2330x x -+<”的否定是“x ∀∈R ，2330x x -+≥”． 故选：B3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()221()1x x f x x +=+，()g x x =B ．()f x x =，()g x =C ．()1f x =，()g x x =D ．()f x x =，2()x g x x=【答案】A【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【详解】对于A 中，函数()221()1x x f x x x +==+的定义域为R ，函数()g x x =的定义域为R ，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数；对于B 中，函数()f x x =和()2,0,0x x g x x x x x ≥⎧===⎨-<⎩的定义域都是R ，但对应法则不同，所以不是同一个函数；对于C 中，函数()1f x =的定义域为R ，函数()g x x =的定义域为()(),00,∞-+∞，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D 中，函数()f x x =的定义域为R ，2()x g x x=的定义域为()(),00,∞-+∞，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：A ．4．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,4 B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．(]0,4【答案】A【分析】求得()()045f f ==，()21f =，作出函数()f x 在区间[]0,m 上的图象，数形结合可得出实数m 的取值范围.【详解】因为()()045f f ==，()21f =，作出函数()f x 在区间[]0,m 上的图象如下图所示：由上图可知，当24m ≤≤时，函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1， 故选：A.5．“01x <<”是“111x x +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】根据分式不等式求解111x x +>+，再判断充分性与必要性即可. 【详解】因为21111001111x x x x x x x +>⇒-+>⇒>⇒>-+++且0x ≠，充分性成立， 所以“01x <<”是“111x x +>+”的充分不必要条件. 故选：A6．若实数m ，0n >，满足21m n +=，以下选项中正确的有（ ） A ．mn 的最小值为18B ．11m n+的最小值为C ．2912m n +++的最小值为5 D ．224m n +的最小值为12【答案】D【分析】直接利用均值不等式判断A ；根据“1”的代换的方法判断B ；整理21m n +=为()()2125m n +++=，利用“1”的代换的方法判断C ；对21m n +=作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数m ，0n >，21m n ∴+=≥整理得18mn ≤，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取““=，故选项A 错误；()112m n m n +=+(112)33n mm n m n+=++≥+当且仅当221m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取““=，故选项B 错误； 21m n +=，()()2125m n ∴+++=，()()2912921212512m n m n m n ⎛⎫⎡⎤∴+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()(2218111131355125n m m n ⎡⎤++=++≥+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当01m n =⎧⎨=⎩时取““=， 但已知0m >,故不等式中的等号取不到， 29512m n ∴+>++，故选项C 错误； 21m n +=，()()222222222124442424m n m n mn m n m n m n ∴=+=++=++⋅≤+， 22142m n ∴+≥，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取““=，故选项D 正确，故选：D7．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有（ ）人． A ．2 B ．6 C ．8 D ．9【答案】C【分析】利用韦恩图进行求解，设出未知数，列出方程组，求出只参加球类一项比赛的人数.【详解】如图所示：设只参加球类一项比赛的人数为x ，同时参加田径和球类的人数为y ，只惨叫田径的人数为z ， 则++3=13++2=915+++=30x y y z x y z ⎧⎪⎨⎪⎩， 解得：=8x ，所以只参加球类一项比赛的人数为8. 故选：C8．已知关于x 的一元二次不等式2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a ba b -+的最大值为（ ）A ．1B ．14C ．12D【答案】B【解析】由不等式的解集可得2ab =且0a >，再利用基本不等式可求22a ba b -+的最大值.【详解】因为关于x 的一元二次不等式2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故0a >且1680ab ∆=-=，故2ab =.又()()2222114424a b a b a b a b a b ab a b a b a b---===≤+-+-+-+-， 当且仅当2a b -=即11a b ==-. 故选：B.【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，注意将原有的代数式配凑成和为定值或积为定值的形式，注意“一正二定三相等”的要求.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞C．函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]4,12 【答案】AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A ；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C ；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为[]22-,，所以2212x -≤-≤， 解得1322x -≤≤，即()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，11111111x x x y x x x x -+==-=-=------， 所以1y ≠-，即函数1xy x=-的值域为()(),11,-∞--+∞，故B 不正确；对于C，令t =21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，0t ≥，所以当14t =时，该函数取得最大值，最大值为178，所以函数2y x =+17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，()()222413f x x x x =-+=-+，其图象的对称轴为直线1x =，且()13f =，()212f -=，所以函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]3,12，故D 不正确． 故选：AC ．10．已知,,,,,a b c d e f 均为实数，下列命题正确的是（ ） A ．已知0a b >>，则存在负数c 使b b ca a c+<+成立 B ．“22ac bc ≥”是“a b ≥”的充分不必要条件 C ．若0a b >>，0c d >>，0e f >>，则ac bde f< D ．若正数,a b 满足11a b a b+>+，则a b > 【答案】AC【分析】A 、C 、D 利用作差法转化为商或积的形式，结合已知条件、不等式性质判断正误；B 令2c =0结合充分性定义即可判断正误.【详解】A ：()()()()()b b c b a c a b c c b a a a c a a c a a c ++-+--==+++，而0a b >>，若c 为负数，则()0c b a ->，当||||c a >时()0a a c +<，此时b b ca a c+<+成立，正确； B ：当2c =0时，,a b 的大小不确定，即“22ac bc ≥”不能推出“a b ≥”，充分性不成立，错误； C ：()()ac bd acf bde bde acf e f ef ef-----==，而0a b >>，0c d >>，0e f >>，则0f e ->->，故0acf bde ->->，0ef >，故0ac bde f -<，即ac bd e f<，正确； D ：111()()()(1)0b a a b a b a b a b ab ab-+-+=-+=-->，故a b <时01ab <<，原不等式也成立，错误. 故选：AC11．对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ）A ．()()3.9 4.2f f -=B ．()(1)f x f x =+C ．函数()f x 的最大值为1D ．方程()102f x -=有无数个根 【答案】BD【解析】由函数()[]f x x x =-的定义进行判断A ，由题意画出函数的图像，可对B ，C ，D 进行判断【详解】解：因为()[]f x x x =-，所以( 3.9) 3.9(4)0.1,(4.2) 4.240.2f f -=---==-=， 所以()()3.9 4.2f f -≠，所以A 错误；作出,01(){1,122,23x x f x x x x x ⋅⋅⋅≤<=-≤<-≤<⋅⋅⋅的图像，如图所示，由图像可知()f x 没有最大值，且为周期为1的函数，所以B 正确，C 错误， 方程()102f x -=有无数个根，所以D 正确， 故选：BD12．已知()266,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若互不相等的实数123x x x 、、满足()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ）A ．17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．123x x x ++的取值范围为11,63⎛⎫⎪⎝⎭C ．236x x +=D ．120x x +=【答案】ABC【分析】结合分段函数的解析式作出()f x 的图像，先利用一元二次函数的对称轴性质易得236x x +=，再确定17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则123x x x ++11,63⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，最后由图像易得()()11,x f x 与()()22,x f x 不一定关于y 轴对称可知，120x x +=不一定成立. 【详解】作出()f x 的图像，如图所示． 设()()()123===f x f x f x a ，则34a -<<．由()f x 的图像及一元二次函数的对称轴性质可知，236x x +=，故C 正确； 令343x +=-，解得73x =-，所以17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故A 正确；结合上述分析易知123x x x ++的取值范围为11,63⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；()()11,x f x 与()()22,x f x 不一定关于y 轴对称，故120x x+=不一定成立，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题13．已知函数f (x )=2102(1)0xx x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，，，则不等式f (x )≥1-的解集是____.【答案】[4-，2]【解析】由题意得0112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，或20(1)1x x >⎧⎨--≥-⎩，，从而可求得答案 【详解】由题意得0112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，或20(1)1x x >⎧⎨--≥-⎩，， 解得4-≤x ≤0或0<x ≤2， 即不等式的解集为[4-，2]. 故答案为：[4-，2].14．若不等式()()232240a x a x -+--<对于一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是______；【答案】(-【分析】讨论二次项系数30a -=和30a -≠两种情况下不等式恒成立，分别解不等式求解即可.【详解】当30a -=，即=3a 时，不等式化为240x -<，解得2x <，不满足题意； 当3a ≠时，则须满足()()23<0<3Δ=42+163<0a a a a a -⇒---⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩a ∴-<综上可得，实数a 的取值范围是(-，故答案为：(-.15．设函数()21,<=2+1,ax x af x x ax x a --≥⎧⎨⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的取值范围是______；【答案】(],1-∞-【分析】求出()221f x x ax =-+的对称轴为=x a ，得到要想()f x 存在最小值，需要，()1f x ax =-单调递减，且在=x a 处，1y ax =-的函数值要大于等于221y x ax =-+的函数值，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】当x a ≥时，()221f x x ax =-+的对称轴为=x a ，要想()f x 存在最小值，当x a <时，()1f x ax =-单调递减，且在=x a 处，1y ax =-的函数值要大于等于221y x ax =-+的函数值，故0a <且222121a a a -≥-+②，解②得：1a ≥或1a ≤-， 综上：1a ≤- 故答案为：(],1-∞-.16．设()()2,32(0)1x f x g x ax a a x ==+->+，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则a 的取值范围是____．【答案】35[,]22【分析】先求得()1[0,]2f x ∈，进而得到()()032,13g a g a =-=-，根据任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，得到1[0,][32,3]2a a ⊆--，即可求解.【详解】由题意，函数()21x f x x =+，当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()22211111111()24x f x x x x x ===+++-，因为01x <≤，可得11x ≥，则2111()224x +-≥，所以()102f x <≤， 所以()012f x ≤≤， 又因为()32(0)g x ax a a =+->，且()()032,13g a g a =-=-， 对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立， 可得1[0,][32,3]2a a ⊆--，即320132a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得3522a ≤≤，所以实数a 的取值范围为35[,]22.四、解答题17．已知集合611A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}121B x a x a =+≤≤+. (1)若3a =时，求A B ；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){|45}x x ≤≤； (2)(],2-∞.【分析】（1）先解分式不等式得集合A ，再根据交集定义运算即得； （2）由题可得B A ⊆，然后分B =∅，B ≠∅讨论结合条件即得. 【详解】(1)由611≥+x ，可得501x x -≤+， 解得15x -<≤，所以集合{|15}A x x =-<≤，又3a =时，可得47{|}B x x =≤≤， 所以{|45}A B x x ⋂=≤≤； (2)由A B B =，可得B A ⊆，当B =∅时，211a a +<+，即0a <时，此时B =∅，满足B A ⊆；当B ≠∅时，则21111215a a a a +≥+⎧⎪+>-⎨⎪+≤⎩，解得02a ≤≤，综上可得，实数a 的取值范围是(],2-∞.18．（1）已知实数0,0,a b >>求证：3322a b a b ab +≥+．（2）已知,,a b c 为正实数，求证：111a b c bc ac ab a b c++≥++． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差后分解因式，判断符号即可证得结论；（2）利用基本不等式证得222a b c ab bc ac ++≥++，两边同时除以abc 即可证得结论．【详解】（１）证明：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+-22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0,0,0a b a b >>∴+>，而2()0a b -≥2()()0a b a b ∴+-≥故3322()()0a b a b ab +-+≥即3322a b a b ab +≥+（2）证明：由2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥相加得2222()222a b c ab bc ac ++≥++，所以222a b c ab bc ac ++≥++，因为0abc >，上式两边同时除以abc 得：111a b c bc ac ab a b c++≥++． 19．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案. 【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭， 由均值不等式，得2720072008482848224048528m S x x x x=++≥⋅+=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．20．已知函数()2|1||2|f x x x =++-．（Ⅰ）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象；（II ）若不等式2()2f x a a ≥-对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3,1()4,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，作图见解析；（II ）[1,3]-．【分析】（Ⅰ）利用零点分段法可得函数解析式，从而画出函数图象；（II ）利用()f x 的图象可得出()3f x ≥，所以223a a -≤，从而解得 a 的取值范围．【详解】（Ⅰ）函数的解析式3,1()4,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩函数的图象如下图所示:（II ）由题可知:而又由（Ⅰ）中()f x 的图象可得出()3f x ≥，所以223a a -≤，解得:13a -≤≤ 故:实数a 的取值范围是[1,3]-.【点睛】本题考查分段函数的解析式和图象，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.21．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++>，不等式()()21212x f x x ≤≤+对x ∈R 恒成立.(1)求a b c ++的值；(2)若该二次函数()y f x =图像与x 轴有且只有一个交点，对任意5,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()92f x mx ≥+恒成立，求x 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(,8][4,)-∞-+∞.【分析】(1)结合已知条件可知，(1)f a b c =++，然后根据已知条件求解(1)f 即可；(2)结合已知条件和(1)中结论求出()f x 的解析式，将不等式恒成立问题化成一个关于m 的一元一次不等式问题，然后利用一次函数性质求解即可.【详解】(1)由题意可知，(1)f a b c =++，因为不等式()()21212x f x x ≤≤+对x ∈R 恒成立，所以212(1)(11)22f ≤≤+=，即(1)2f =， 故2a b c ++=；(2)因为不等式()()21212x f x x ≤≤+对x ∈R 恒成立， 所以()220ax b x c +-+≥恒成立，所以()()()2222440b ac a c ac a c --=+-=-≤，所以,22a c b a ==-，又因为()y f x =图像与x 轴有且只有一个交点，所以判别式22(22)40a a ∆=--=，解得12a =， 从而211()22f x x x =++， 由对任意5,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()92f x mx ≥+恒成立， 即22280xm x x --+≤对任意5,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 不妨令2()228g m xm x x =--+，将此函数看成关于m 的一次函数，其中x 为参数， 由一次函数性质可得5()02(2)0g g ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得8x ≤-或4x ≥，故x 的取值范围为(,8][4,)-∞-+∞.22．已知函数2()(1)1f x x a x =-++.(1)解关于x 的不等式()1f x a >-+；(2)当0a =时，对∀[],1x t t ∈+，都有()3f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(3)当0a =时，对∀[]12,,1x x t t ∈+，都有12|()()|4f x f x -<恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)11t -<<；(3)(2,2)-【分析】（1）按照参数a 分类讨论并利用一元二次不等式解法去求解，即可得到不等式()1f x a >-+的解集；（2）先求得()3f x <的解集，再利用集合间的包含关系，即可求得实数t 的取值范围；（3）先按照参数t 分类讨论，分别求得函数()f x 在区间[],1t t +上的值域，再构造关于实数t 的不等式组，解之即可求得实数t 的取值范围.【详解】(1)由()1f x a >-+，可得2(1)11x a x a -++>-+，即(1)()0x x a --> 当1a <时，由(1)()0x x a -->，可得1x >或x a <当1a =时，由(1)()0x x a -->，可得1x ≠当1a >时，由(1)()0x x a -->，可得x a >或1x <综上，当1a <时，原不等式的解集为{1x x >或}x a <；当1a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠；当1a >时，原不等式的解集为{x x a >或}1x <(2)当0a =时，2()1f x x x =-+，若对∀[],1x t t ∈+，都有()3f x <恒成立， 即对∀[],1x t t ∈+，都有220x x --<恒成立，又由220x x --<可得12x -<<则有1t >-，且12t +<成立，解之得11t -<<，故实数t 的取值范围为11t -<<(3)当0a =时，2()1f x x x =-+，①当12t ≥时，2()1f x x x =-+在[],1t t +单调递增， ()f x 在区间[],1t t +上的值域为2211t t t t ⎡⎤-+++⎣⎦，； 若对∀[]12,,1x x t t ∈+，都有12|()()|4f x f x -<恒成立， 则有2412t t ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解之得122t ≤< ②当102t <<时， 2()1f x x x =-+在1,2t ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()f x 在区间[],1t t +上的值域为2314t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，； 若对∀[]12,,1x x t t ∈+，都有12|()()|4f x f x -<恒成立， 则有2144102t t t ⎧++<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解之得102t << ③当102t -<≤时， 2()1f x x x =-+在1,2t ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的值域为2314t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，； 若对∀[]12,,1x x t t ∈+，都有12|()()|4f x f x -<恒成立， 则有2144102t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩，解之得102t -<≤； ④当12t ≤-时，2()1f x x x =-+在[],1t t +单调递减， ()f x 在区间[],1t t +上的值域为2211t t t t ⎡⎤++-+⎣⎦，； 若对∀[]12,,1x x t t ∈+，都有12|()()|4f x f x -<恒成立， 则有2412t t ⎧<⎪⎨≤-⎪⎩，解之得122t -<≤- 综上，实数t 的取值范围为(2,2)-。