凸包常见算法
凸包convexhullppt课件
Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长 我们先来看一个问题，POJ 1113。 题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。 解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远 点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。 个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简 单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法： 这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法 就像一对卡壳卡住凸包 旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对 踵点的个数不超过3N/2个 也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问 题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;
凸包算法公式
凸包算法公式凸包是计算几何中的一个重要概念，而凸包算法公式则是解决相关问题的关键工具。
咱先来说说啥是凸包。
想象一下，你面前有一堆散落在地上的钉子，然后你拿一个橡皮筋把最外层的钉子圈起来，让橡皮筋形成的形状能够完全包住所有钉子，这个形状就是这堆钉子的凸包。
凸包算法有好几种，比如 Graham 扫描法、Jarvis 步进法等等。
咱就拿 Graham 扫描法来说说它涉及的公式。
Graham 扫描法里，首先要找到一个基准点。
通常找纵坐标最小的点，如果有多个这样的点，就选横坐标最小的那个。
找到这个点后，其他点就按照和这个基准点的极角大小进行排序。
这里就涉及到计算极角的公式啦。
对于两个点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，极角θ 可以通过反正切函数来计算，公式是：θ = atan2(y2 - y1, x2 - x1)。
计算出极角后，就可以开始扫描了。
从基准点开始，依次检查相邻的三个点，如果这三个点构成的转向是逆时针的，那就保留中间那个点；如果是顺时针的，就把中间那个点去掉。
这里判断转向的公式就比较关键了。
对于三个点 A(x1, y1)、B(x2,y2)和 C(x3, y3)，可以通过计算向量叉积来判断转向。
如果叉积大于 0 ，就是逆时针；小于 0 ，就是顺时针。
向量叉积的公式是：(x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) 。
我记得之前有一次参加数学建模比赛，题目就和凸包算法有关。
当时我们小组几个人，一开始对这些公式和算法都不太熟悉，急得像热锅上的蚂蚁。
大家一起熬夜查资料、讨论，一遍遍地推导公式，尝试不同的方法。
特别是在计算极角和判断转向的时候，总是出错。
但经过不断地尝试和纠错，我们终于搞清楚了这些公式的应用，成功解决了问题，还拿到了不错的名次。
总之，凸包算法公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的原理和规律，多做练习，就能熟练运用啦。
不管是在数学研究中，还是在实际的计算机图形学、地理信息系统等领域，凸包算法都有着广泛的应用。
凸包算法
长 江 大 学 地 球 科 学 学 院
遗留有一个问题 就是处理共线的问题 有时候我们需要凸包边上的点也考虑到 有时候却需要去掉这些点 我们通常称在凸包顶点处的点为极点 如果我们只要求保留极点而去除在边上的点 我们只需在取外侧的点的时候 碰到共线的点取最远的 相反 如果我们要保留所有在边上的点我们只需要在共线的点中取最近的 同样由于参考点的性质 所有向量之间的到角都是在180度以内 不会产生错误
我们经常关注一个点集的凸包 这也是计算几何学的一个基本问题，现在 已经有成熟的算法可以求出平面点集的凸包，凸包有着优美而实用的 性质 我们可以利用凸包把一个杂乱的点集所包含的信息进行有效的 概括、梳理。
2 Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)
Graham扫描算法维护一个凸壳 通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响 凸性的点 最后形成凸包 算法主体由两部分组成 先是排序 后是扫描 分块讲解一下
void Graham(int n) { int i,top=2; Pt[n]=Pt[0]; Stack[0]=Pt[0]; Stack[1]=Pt[1]; Stack[2]=Pt[2]; for(i=3;i<=n;i++) { while(Cross(Stack[top1],Stack[top],Pt[i])<=0&&top>1) top--; Stack[++top]=Pt[i]; } }
有了向量 我们就可以选取一个最外侧的点了
长 江 大 学 地 球 科 学 学 院
利用向量 我们可以比较哪个点"更外侧" 比如点K和点I 我们利用向量JK乘以向量JI得到一个数 这 个数应该是负数 说明I比K更外侧 两个向量的比较具有传递性 所以我们可以像N个数里取 最大的数一样取出最外侧的 遍历所有点 每个点都和现有最外侧的点比较 得到新的最 外侧的点
凸包面积和周长的计算
凸包面积和周长的计算凸包是在平面上给定的一组点中构成的最小凸多边形。
凸包的面积和周长是计算凸包重要的指标，可以用来分析数据分布的紧密程度和形状特征。
本文将介绍凸包的定义和生成算法，并详细说明如何计算凸包的面积和周长。
一、凸包的定义凸包是指在平面上给定的一组点中，由这些点构成的最小凸多边形。
凸多边形的特点是：任意两点之间的线段都在多边形内部。
凸包是凸多边形中的最小面积的凸多边形，即是在所有凸多边形中，面积最小的凸多边形。
二、凸包的生成算法1. Jarvis算法（也叫作包裹算法或者旋转卡壳算法）：该算法基于以下思想：从一组点中找到一个起始点，将其作为凸包的一个顶点。
然后，从这个点开始，寻找下一个能保证凸包深度最大的点，并将其加入凸包。
不断重复这个过程，直到回到起始点为止。
该算法的时间复杂度为O(nh)，其中n是点的个数，h是凸包的顶点数。
2.快速凸包算法：该算法基于Graham扫描算法改进而来。
首先选择一个y坐标最小的点，将其他点按照与这个点的连线的极角进行排序。
然后依次处理排序后的点，对每个点进行判断，如果点在逆时针方向上，则加入凸包，否则舍弃。
最后得到凸包。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，是一种高效的凸包生成算法。
三、凸包面积的计算凸包的面积可以用以下公式进行计算：S = (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1 - x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn) / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)是凸包的顶点的坐标。
计算凸包的面积可以通过以上公式进行求解，公式中的坐标是有顺序的，要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入。
四、凸包周长的计算凸包的周长可以通过计算凸包顶点之间的距离之和来得到。
对于凸包的n个顶点，可以依次计算相邻顶点之间的距离，并将其累加得到凸包的周长。
保证计算的正确性需要注意以下几点：1.凸包的顶点要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入，以保证计算出的面积和周长的结果正确。
convexhull函数
convexhull函数Convex Hull是计算凸包的一种常用算法，它是一个包围一组点的最小凸多边形。
凸包问题在计算机图形学、计算几何学和计算机视觉等领域中都有广泛的应用，用于解决诸如寻找最远点、点集包含关系判断等问题。
Convex Hull算法有多种实现方式，最常见的包括Graham Scan、Jarvis March以及Quick Hull。
下面将详细介绍Graham Scan算法。
1.算法思想：Graham Scan算法的基本思想是通过构建一个逆时针的类环排序，先找到最低的点（Y轴最小，如果有多个，则选择X轴最小的点），然后将其与其他所有点按照相对于最低点的极坐标进行排序。
排序后，按顺序将点加入凸包，同时保持凸包的有序性。
最后，返回生成的凸包。
2.算法步骤：a.找到最低点：遍历所有的点，找到Y轴最小值最小，并记录最低点的索引。
b.极坐标排序：除最低点外的其他点，根据其相对于最低点的极坐标进行排序。
c.构建凸包：依次将点加入凸包，同时根据凸包的有序性，维护凸包的结构。
d.返回凸包。
3.具体实现：下面是Graham Scan算法的伪代码实现：a.找到最低点：minPoint = points[0]for p in points:if p.y < minPoint.y or (p.y == minPoint.y and p.x < minPoint.x):minPoint = pb.极坐标排序：orientation = getOrientation(minPoint, point1, point2)if orientation == 0:return distSq(minPoint, point2) >= distSq(minPoint, point1) else:return orientation == 2c.构建凸包：hull = [minPoint]for i in range(1, len(sortedPoints)):while len(hull) > 1 and getOrientation(hull[-2], hull[-1], sortedPoints[i]) != 2:hull.pophull.append(sortedPoints[i])d.返回凸包：return hull4.时间复杂度：Graham Scan算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为点的数量。
【算法】凸包问题--分治法
【算法】凸包问题--分治法凸包问题--分治法求能够完全包含平⾯上n个给定点的凸多边形。
⽰例：⼀、分治法：（⼀）算法思路：（这⾥所说的直线都是有向直线的。
）将数组升序排序，若x轴坐标相同，按照y轴坐标升序排序。
最左边的点p1和最右边的点p_n⼀定是该集合凸包的顶点。
该直线将点分为两个集合，上包为S1，下包为S2。
在p1 p_n线上的点不可能是凸包的顶点，所以不⽤考虑。
在上包S1中，找到p_max(距离直线p1p_n最远距离的点)，若有两个距离同样远的点，取∠p_max p1 p_n最⼤的那个点（即△p_max p1 p_n⾯积最⼤）。
（⼀次递归到这⾥结束）找出S1中所有在直线p1 p_max左边的点，这些点中⼀定有构成上包中左半部分边界的顶点，⽤上⾯的算法递归查找点，直到上包就是以p1和p_n 为端点的线段。
下包S2中找下边界同理。
*如何判断点是否在直线p1 p_max左边（同 p1 p_n上⽅）？如果q1（x1，y1），q2（x2，y2），q3（x3，y3）是平⾯上的任意三个点，那么三⾓形△q1 q2 q3的⾯积等于下⾯这个⾏列式绝对值的⼆分之⼀。
当且仅当点q3=（x3，y3）位于直线q1 q2的左侧时，该表达式的符号为正，该点位于两个点确定的直线的左侧。
（⼆）实现中碰到的问题如何⽤快速排序来排序Point类（内有坐标x,y）的⼀维数组？按照x坐标排序很简单，若碰到x相同，y不同的怎么办？在快排的原基础上修改，以j向前逼近说明：（第⼀个while循环）当前⽐较数的横坐标>基准点的时，j向前逼近。
此处不加等于号，排序是不稳定的，即相等元素的相对位置可能发⽣改变。
（快排详见博客：（第⼆个while为添加内容）⽐较相等元素的纵坐标，基准点的更⼩，j继续向前逼近，即相等元素的相对位置不发⽣改变；否则，则改变。
也就是将原来快排中while循环拆分为两个，增加相等元素另外⽐较纵坐标的情况。
while (i < j && points[j].getX() > center.getX()) {j--;}while (i < j && center.getX() == points[j].getX() && points[j].getY() > center.getY()) {j--;}/** (i<j)若points[j].getX()< center.getX()或 center.getX() ==* points[j].getX()且points[j].getY()<center.getY() 以上两种情况，需要赋值*/if (i < j)// 跳出循环也有可能时因为i=j，所以这⾥要判断⼀下points[i++] = points[j];如果使⽤全局数组visit标识点是否访问，能确定凸包的所有顶点，但怎么顺序输出?在已经求的凸包顶点⾥逐⼀确定边界，判断是不是所有点都在这条边界的⼀侧，如果是则确定⼀条边界。
凸包算法及凸包融合
凸包算法及凸包融合凸包算法是计算凸包的一种常用算法，它可以找到一组点集中最外层的凸多边形。
凸包融合是指将两个凸包合并成一个新的凸包，能够通过减少顶点数目来优化计算效率。
凸包算法主要有以下几种常见的实现方法：1.枚举算法：对于点集中的每一对点，判断其他点是否位于这两点所确定的直线的一侧。
如果所有点都在一侧，则这两点是凸包上的边。
时间复杂度为O(n^3)。
2. Graham扫描算法：选取一个点作为基准点，将其他点按照相对于基准点的极角大小进行排序。
然后依次处理每个点，判断其是否属于凸包。
时间复杂度为O(nlogn)。
3. Jarvis步进算法（也称为包裹法）：从点集中选取一个临时点p，然后找到与p相邻的点集中极角最小的点q，将q加入凸包中。
然后将q作为新的临时点p，重复以上步骤，直到回到第一个点。
时间复杂度为O(nh)，其中h是凸包的边数。
4.快速凸包算法：通过空间分割和递归的方法进行凸包计算，时间复杂度为O(nlogn)。
凸包融合是指将两个凸包合并成一个新的凸包，通常需要满足以下条件：1.相交边的共享：两个凸包如果相交，那么它们的公共边必须都在新的凸包中。
2.外部边的合并：如果两个凸包没有相交，那么合并后的凸包应该包含两个凸包的外部边。
3.顺序性：合并后的凸包应该按照某种规定的顺序进行连接。
凸包融合算法的一种常见方法是基于边的融合。
具体步骤如下：1.找到两个凸包之间的最近边，并将其作为起始边。
2.沿着其中一个凸包的边界向对面的凸包前进，每次选取与当前边最接近的边。
3.如果新选取的边与已经选取的边形成了一个角度大于180度的三角形，那么停止前进，并将新选取的边作为起始边。
4.重复步骤2和步骤3，直到回到起始边。
凸包融合算法可以减少凸包的顶点数量，从而提高计算效率。
例如，对于两个有m和n个顶点的凸包，假设m > n，则融合后的凸包最多有m+n个顶点，而不是m*n个顶点。
融合后的凸包可以保留原始凸包的边界信息，并且减少了计算和存储开销。
凸包 扩展系数-概述说明以及解释
凸包扩展系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：凸包是计算几何学中的重要概念，它是一个包含给定点集中所有点的最小凸多边形。
凸包的计算方法和算法在计算机图形学、模式识别、地理信息系统等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，为了更好地描述点集之间的几何关系，人们引入了凸包扩展系数这一概念。
凸包扩展系数可以帮助我们衡量凸包在空间中的扩展程度，进一步优化算法和提高计算效率。
本文将系统地介绍凸包的定义、计算方法和算法，以及凸包扩展系数的定义和计算方法，旨在深入探讨凸包在实际应用中的意义和作用。
1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将首先对凸包进行简要概述，介绍凸包的基本概念，并说明本文的目的。
引言部分将帮助读者了解本文所要讨论的主题，并对文章的重点和方向有一个初步的了解。
在正文部分，将详细介绍凸包的定义和基本概念，以及凸包的计算方法和算法。
通过对凸包的详细讨论，读者可以深入了解凸包的特性和计算过程，从而更好地理解凸包扩展系数的定义和计算方法。
在结论部分，将总结本文的内容，讨论凸包在不同领域的应用和意义，并介绍凸包扩展系数的定义和计算方法。
结论部分将对本文所讨论的内容进行一个简要的总结，同时展望凸包在未来的研究和应用方向。
1.3 目的:本文的目的在于探讨和分析凸包扩展系数在计算机图形学和几何学中的重要性和应用。
通过详细介绍凸包的定义、基本概念和计算方法，引出了凸包扩展系数的概念。
在这一部分，我们将重点讨论凸包扩展系数的定义和计算方法，以及其在实际应用中的意义和作用。
同时，我们也将探讨如何利用凸包扩展系数来优化算法和提高计算效率。
通过深入研究凸包扩展系数的相关理论和实践，希望能够为读者提供全面的了解和思考，推动相关领域的研究和发展。
2.正文2.1 凸包的定义和基本概念凸包是指包围一组点集的最小凸多边形。
其中，凸多边形意味着多边形内部的所有角度都小于180度。
凸包在计算机图形学、几何学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
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凸包问题是一个经典的几何问题，常见的求解凸包问题的算法有：
增量法：也称为Graham扫描法，其基本思想是从所有点中选择几个点，然后通过这些点将所有其他点组合成凸集。
该方法需要对所有点进行排序，然后按顺序添加点到凸包中。
分治法：该方法将凸包问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题。
子问题的解可以合并以产生原始问题的解。
这种方法需要一些技巧来确保子问题的解可以正确地合并。
穷举法：也称为暴力求解法，通过枚举所有可能的情况来找到凸包。
这种方法对于小规模的问题可能是可行的，但对于大规模的问题效率低下。
旋转卡壳算法：该方法基于动态规划的思想，通过不断旋转坐标轴来找到凸包上的点。
该算法在实现上相对复杂，但具有较好的时间复杂度。
随机采样算法：该方法通过随机采样点来找到凸包。
该算法的优点是具有较低的时间复杂度，但结果的准确性取决于采样点的数量。
这些算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择适合的算法。