2012中考数学一轮复习课件 专题二十五锐角三角函数
【例1】(2011·乐山中考)如图，在4×4的正方形网格中， tanα =( )
(A)1 【思路点拨】
(B)2
1 (C) 2
(D) 5
2
【自主解答】选B.根据网格的特点：设每一小正方形的边 长
的对边 为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的 tan 2. 的邻边
定义
a b (D) cosA sinB
)
【解析】选B.过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,
AD AD ,所以AD=b cosA,同理,BD=a cosB,所以 cosA AC b
c=AB=AD+BD=b cosA+a cosB,又∠A+∠B=90°,所以 cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=a sinA+b sinB.
特殊角的三角函数值
锐角30°、45°、60°的三角函数值在有关的计算题和证 明题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正 切值可以总结成以下口诀：“1、2、3，3、2、1，3、9、
1 2 1 27！”即： 3 ； 3 ， 2 ，； 3 ， 3. ， ， 1， 2 2 2 2 2 2 3
【例2】(2010·凉山中考)计算：
∵ sin AC ，
AB
∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米).
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约为 5.6米.
方位角的应用
方位角是在规定“上北下南，左西右东”的原则下， 确定物体的位置的一种方法；方位角往往与解直角三角形 的知识联系在一起进行考查，当然有时也与行程问题中的 方程联系在一起.
【例】(2010·杭州中考)如图，台风中Leabharlann 心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知
台风移动的速度为30千米/时，受影响区
域的半径为200千米，B市位于点P的北偏 东75°方向上，距离点P 320千米处. (1)说明本次台风会影响B市； (2)求这次台风影响B市的时间.
【思路点拨】
【自主解答】(1)作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,由条件知, PB=320,∠BPQ=30°,得BH=320×sin30°=160<200,∴本次 台
【解析】设河宽AB为x m，在Rt△ABC中，
AB BC 3 x m ， tanACB 在Rt△ABD中， AB 3 x m , BD tanADB 3 由CD=BC-BD，得 3x 3 x 60 ,所以x 30 3 . 3
答案： 3 30
10.(2011·金华中考)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当
BC 900 sinBAC sin60
= 600 3(米),
所以 t 600 3 2 3 3.4 (分),
5 60
即船从A处到B处约需3.4分.
8.(2010·湖州中考)河堤横断面如图所 示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是
1 3 (坡比是坡面的铅直高度BC与水平 ∶
宽度AC之比)，则AC的长是( (A) 5 3 米 (B)10米
锐角三角函数的概念与性质
锐角三角函数的概念是指锐角的正弦、余弦、正切的概念； 锐角的三个三角函数是在直角三角形中定义的，其正弦值
等于锐角的对边长除以直角三角形的斜边长；余弦值等于
锐角的邻边长除以斜边长；正切值是锐角的对边长除以锐 角的邻边长；锐角的三角函数有时还可以放到平面直角坐 标系中定义；锐角的三角函数将直角三角形的边与角之间 建立了数量关系，是解直角三角形重要的参数.
4 ∴ PC 12 x 60， PB PC2 BC2 602 802 100. 5 5
答：此时海检船所在的B处与城市P的距离为100海里.
1.(2010·日照中考)如图，在等腰 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是 AC上一点，若 tanDBA 1 ，则AD的
) (D) 3 10 米 米.
(C)15米 ,∴
【解析】选A.∵
BC AC 1 3 ∶ ∶
AC 3BC 5 3
9.(2011·南通中考)如图，测量河宽 AB(假设河的两岸平行)，在C点测得 ∠ACB=30°，在D点测得∠ADB=60°,
又CD=60 m，则河宽AB为 _____m(结果保留根号).
风会影响B市.
(2)如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风 中心移动到P2时, 台风影响结束. 2002 1602 240 由(1)得BH=160千米, 由 P1P2 2 条
240 t 8 30
件得BP1=BP2=200千米,所以
(千米),
∴台风影响的时间为
(小时).
则下列各式成立的是( (A)sinA=cosA (B)sinA>cosA (C)sinA>tanA (D)sinA<cosA 【解析】选B.当∠A>45°时,BC>AC,所以sinA>cosA. )
5.(2011·黄冈中考)cos30°=( (A) 1
2
)
2
(B) 2
2
(C) 3
(D) 3
2
【解析】选C.由三角函数的定义知cos30 3 .
3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 5. 3 2
解直角三角形及应用
解直角三角形是指利用直角三角形中的已知条件探求其他 未知元素，锐角的三角函数起着桥梁的作用. 利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把 实际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添
cos60 1
1
2010
|2 8 |
2 0 tan30 1 2 1
【思路点拨】
【自主解答】原式 ( 1 )1 1 ( 8 2)
2
2( 2 1) 1 ( 2 1)( 2 1)
= 22 2 22 2 2 =-2.
4.(2011·茂名中考)如图,已知:45°<A<90°,
PC ， 在Rt△APC中， tan67.5 AC
∴ PC AC tan67.5 12 x，
3 PC ∴ 在Rt△BPC中， tan36.9 ， PC BC tan36.9 105 x ， BC 4
5
∴12 x 3 (105 x) ，解得x=25，即AC=25，BC=80，
5
tanB＝( (A) 4
3
) (B)3
4 3 (C) 5 4 (D)
5 【解析】选B. 因 sinA＝BC ＝4 ，所以 BC 4 AB AB 5 5 Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2,所以AC 3 AB ，所以 5 AC 3 .故选B. tanB＝ BC 4
，在
3.(2011·福州中考)Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别 是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( (A) acosA bsinB (C) a b sin A sinB (B) asinA bsinB
50°≤α ≤70°时(α 为梯子与地面所成的角)，能够使人 安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全 攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC. (结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94, sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
【解析】当α=70°时，梯子顶端达到最大高度，
加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解
直角三角形的知识求解.
【例3】(2010·安徽中考)若河岸 的两边平行，河宽为900米，一只 船由河岸的A处沿直线方向开往对
岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，
船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分.(参考数 据：
3 1.7
)
【思路点拨】 【自主解答】如图,过点B作BC垂 直河岸,垂足为C,则在Rt△ACB中, 有AB
数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.
1.掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三 角函数值进行计算. 2.了解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡度的概
念，会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.
3.会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化 为解直角三角形的计算问题.
4.本讲知识常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标 系、一元二次方程结合命题，在解题时为了减少失误，求 解各未知元素时，应尽量代入已知条件中的数值，少用中 间过程中计算出的数值.
(A)北偏东20°方向上 (B)北偏东30°方向上 (C)北偏东40°方向上 (D)北偏西30°方向上
【解析】选Ｃ.设A点正北方向有点E,B点正北方向与AC延长
线交于点D,由题意可知AC=1 000 m，BC=500 m，
∠EAB=70°，∠DBC=20°，AE∥BD，所以∠ABD＋ ∠EAB=180°，可得∠ABD=110°，则∠ABC=90°；因 AC=2BC，可得∠CAB=30°，所以∠EAC=40°，即小霞在营 地A的北偏东40°方向上.故选C.
5
长为(
)
(A)2
(C) 2
(B) 3
(D)1
【解析】选A.过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△DBE中，
1 tanDBA ，设DE=x，则BE=5x，又因为在等腰Rt△ABC 5
中，所以AE=DE=x，所以AB=5x+x=6x，又在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=6，则AB 6 2 ,即 2 6x，x 2 ，所以 6
信心源自于努力
结合近年中考试题分析，锐角三角函数的内容考查主 要有以下特点: 1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特 殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三
角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多
以中、低档题出现.
人教版初三数学《锐角三角函数1精》公开课ppt课件
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1
B
∠A的对边
sinA
斜边
斜边
∠A的对边 cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
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∠A的对边 ∠A的邻边
2
特殊角三角函数值
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3
仔细观察,说说你发现
特殊角这三张角表函有数哪值些规律?
锐角α 三角 函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2
1 2
3
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4
例1、求下列各式的值. (1) cos260°+sin260°
(2)csoi ns4455 -tan45
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5
应用生活
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视 线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然
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O B
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7
1?scio n232s40+ 5+ta2 t4an5n + c3o s0 26 isn3 0 0
2、已知：α为锐角，且满 足 3tan2-4t a+ n3 =0，求α的度 数。 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
1-2sinAcosA
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8
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后他很快就算出旗杆的高度了。
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
24.3 锐角三角函数 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册
课堂新授
2. 锐角三角函数的表示法 (1)在sin A，cos A，tan A中，三角函数的符号一定要小 写，不能大写. (2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表 示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A， cos α，tan B等；当锐角是用三个大写英文字母或数字 表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如 sin ∠ABC，sin ∠1等.
课堂新授
2-1. 已知sin α＝34，α为锐角， 求cos α和tan α的值. 解：如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°. 设∠A＝α，BC＝3k(k＞0)． ∵sin α＝BACB＝34， ∴AB＝4k.
课堂新授
由勾股定理，得 AC＝ (4k)2－(3k)2＝ 7k，
∴cos
α＝AACB＝
课堂新授
∴sin2A＋cos2A＋2sin A·sin B＝1＋2sin A·sin B＝196， ∴2sin A·sin B＝79， ∴(sin A－sin B)2＝sin2A＋sin2B－2sin A·sin B＝29， ∴sin A－sin B＝± 32.
课堂新授
知识点 3 特殊角的三角函数值
(tan－1)键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数 的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐 角时，要用到 SHIFT sin (sin－1)， SHIFT cos (cos－1) 或 SHIFT tan (tan－1)键.
课堂新授
解： 原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋ cos244° ＋ … ＋ cos22° ＋ cos21° ＝ (sin21° ＋ cos21°) ＋ (sin22° ＋ cos22°) ＋ … ＋ (sin244° ＋ cos244°) ＋ sin245° ＝44＋( 22)2＝4412.
中考数学总复习 第四单元 三角形 第25课时 锐角三角函
∴cosA- 23=0 且 1-tanB=0, ∴cosA= 3,tanB=1,
sin ������
C.sin ������
sin ������
图 25-4 D.cos ������
cos ������
课前考点过关
8.[2018·日照] 如图 25-5,在边长为 1 的小正方形构成的 网格中,半径为 1 的☉O 的圆心 O 在格点上,则∠BED
������ 的正切值等于 ������ .
图 25-5
【答案】1
2
【解析】
如图,在 Rt△ABC 中,AB=2,BC=1, ∴tan∠BAC=������������������������ =12.∵∠BED=∠BAC, ∴tan∠BED=12.
课前考点过关
9.[2018·眉山] 如图 25-6,在边长为 1 的小正方形组成的 网格中,点 A,B,C,D 都在这些小正方形的顶点上,AB,CD 相交于点 O,则 tan∠AOD= 2 .
⑥1
⑨ ������
课前考点过关
考点三 锐角三角函数之间的关系
1.sin2A+cos2A=① 1
.
2.sinA=cos(90°-∠A),即一个锐角的正弦值等于它余角的② 余弦值 .
3.cosA=sin(90°-∠A),即一个锐角的余弦值等于它余角的③ 正弦值 .
4.tanA·tan(90°-∠A)=1,即一个锐角的正切值等于它余角的④正切值的倒数 .
C.300tanα 米
D. 300 米
tan ������
图 25-3
课前考点过关
7.[2018·丽水] 如图 25-4,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为 ( B )
中考数学锐角三角函数(共56张PPT)
二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离； (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解：(1) ∵AE=80，∠BAE=30°，∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答：旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答：海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+ sin283°≈0．122+0．992=0．9945; sin222°+ sin268°≈0．372+0932=1．0018; sin229°+ sin261°≈0．482+0．872=0．9873; sin237°+ sin253°≈0．602+0．802=1．0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算：4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示，点C,E,A在同一直线上，点D,E,B在 同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m， C处与D处的距离为34 m，∠C=90°，∠ABE =90°，∠BAE=30°. (2≈1．4，3≈1．7)
图Z28-7
A.
m
B.
m
九年级数学锐角三角函数课件19页PPT
定义:A锐角(与2)A余同的弦角正b的的弦平正、方弦余C 弦平、方于和1 等
正函切数、. 都和叫等做于∠？A的锐角三角
5
cosB=__13___5_，
(3)同角的正弦 和余弦,与正切
正弦值 与余弦值 的比等于
tanA = ____1_2_
有何关系？
正切值
锐角三角函数(复习)
二、几个重要关系式
450
300
C
A
300 450┌
B 4cmC
D
随堂练习
３ 如图,根据图中已知 数据,求△ABC其余各边 A
20
的长,各角的度数和 B 550 △ABC的面积.
250
C
A
４ 如图,根据图中已 知数据,求AD.
250 550┌
B 20 C
D
随堂练习
５ 如图,根据图中已
知数据,求△ABC其余各 A 边的长,各角的度数和 a
△ABC的面积.
Bα
β
C
A
６ 如图,根据图中
已知数据,求AD.
α β┌ Ba C D
斗图表情包 biaoqing888/ 斗图表情包
第28章 锐角三角形（复习）
锐角三角函数(复习)
一、基本概念练 习 1
如AB右C图中1.所正∠弦示C=的90sRi°ntA⊿，= bac a=5，2b.余=1弦2， c5osA= c
那么si3n.正A切= __11_2t3a_n_A，=
a b
cosA=__13____ ,
B
思考
(正1)弦互c与余余两弦角有的a 相 等
2 3
,
3
思
考
在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角 边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接 AD使∠D=15°求tan15°的值。
2012版中考数学 第二十五讲锐角三角函数精品课件(含10 11真题)66页
【解析】 2 3 (1)112.
cos30 3 233232233235.
3 2
解直角三角形及应用
解直角三角形是指利用直角三角形中的已知条件探求其他未 知元素，锐角的三角函数起着桥梁的作用. 利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实 际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添加辅 助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三 角形的知识求解.
5
tanB＝( )
(A) 4
(B) 3
(C) 3
(D) 4
3
4
5
5
【解析】选B. 因 sinA＝BC＝4 ，所以 BC 4 AB ，在
AB 5
5
Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2,所以 AC 3 AB ，所以
5
tanB＝AC 3 .故选B.
BC 4
3.(2019·福州中考)Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是
结合近年中考试题分析，锐角三角函数的内容考查主要 有以下特点:
1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊 角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形 有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、 低档题出现.
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数 学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.
有AB BC 900
sinBAC sin60
= 600 3(米), 所以 t600 32 33.4(分),
560
即船从A处到B处约需3.4分.
8.(2019·湖州中考)河堤横断面如图所 示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是 1∶ 3 (坡比是坡面的铅直高度BC与水平 宽度AC之比)，则AC的长是( ) (A) 5 3 米 (B)10米 (C)15米 (D)1 0 3 米 【解析】选A.∵ BC ∶ AC1∶3,∴ A C3B C53米.
2012年中考数学一轮复习精品讲义 锐角三角函数 人教新课标版
第二十八章锐角三角函数本章小结小结1 本章概述锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握． 小结2 本章学习重难点【本章重点】通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A ，c os A ，tan A )，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【学习本章应注意的问题】在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力．小结3 中考透视这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分． 知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义 直角三角形中解直角【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A 3B ．tan A ＝12C ．cos B 3D ．tan B 3分析 sin A ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC 3，cos B ＝BC AB ＝12．故选D. 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( ) A ．35 B ．45 C ．34 D ．43分析在Rt △ABC 中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==．故选D. 分析在Rt △ABC 中，BC 222254AB AC -=-3，∴sin A ＝35BC AB =．故填35． 专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－31)0．分析 cos 45°＝22． 解：原式＝3＋22－12＋2． 例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭9＋(－1)2007－cos 60°． 分析 cos 60°＝12． 解：原式＝12＋3＋(－1)－12＝3－1＝2． 例6 计算|2|＋(cos 60°－tan 30°)08分析 cos 60°＝12，tan 303，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0＝1， 21十＋22＋1．例7 计算312-⎛⎫ ⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|32-.分析 tan 603解：原式＝8－13132＝10.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例8 如图28－124所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边的中点，BC ＝14，AD＝12，sin B ＝45． (1)求线段DC 的长；(2)求tan ∠EDC 的值.分析在Rt △ABD 中，由sin B ＝AD AB，可求得BD ，从而求得CD ．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE ＝12AC ＝EC ，则∠EDC ＝∠C ，所以求tan ∠EDC 可以转化为求tan C . 解：(1)∵AD 是BC 边上的高，∴AD ⊥BC在Rt △ABD 中，sin B ＝AD AB ． ∵AD ＝12，sin B ＝45，∴AB ＝15， ∴BD 22AB AD -221512-9．∵BC ＝14，∴CD ＝5．(2)在Rt △ADC 中，∵AE ＝EC ，∴DE ＝12AC ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C ∵tan C ＝AD DC ＝125,∴tan ∠EDC ＝tan C ＝125． 例9 如图28－125所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC .(1)求证AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长． 分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得AC ＝BD ．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD 的长． 证明：(1)∵AD 是BC 边上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°．在Rt △ABD 和Rt △ADC 中， ∵tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC ，tan B ＝cos ∠DAC ， ∴AD BD ＝AD AC，∴AC ＝BD . 解：(2)在Rt △ADC 中，sin C ＝1213，设AD ＝12k ，AC ＝13k ， ∴CD 22AC AD -5k ．∵BC ＝BD ＋CD ，AC ＝BD ，∴BC ＝13k ＋5k ＝18k ．由已知BC ＝12，∴18k ＝12，k ＝23， ∴AD ＝12k ＝12×23＝8． 例10 如图28－126所示，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝30＋3AB 的长．分析过点A 作AD ⊥BC 于D ，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD 是两个直角三角形的公共边，设AD ＝x ，把BD ，DC 用含x 的式子表示出来，再由BD ＋CD ＝BC 这一等量关系列方程，求得AD ，则AB 可在Rt △ABD 中求得．解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝x .在Rt △ADB 中，tan B ＝AD BD ，∴BD ＝tan tan 45AD AD B =︒＝x ， 在Rt △ADC 中，tan C ＝AD CD ，∴CD ＝tan AD C ＝tan30AD ︒3． 又∵BD ＋CD ＝BC ，BC ＝30＋3∴x 3＝30＋3∴x ＝30．在Rt △ABD 中，sin B ＝AD AB ， ∴AB ＝30sin sin 45AD B =︒22专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．例11 如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A 到水平地面上的距离AB ．(1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；(3)根据(2)中的数据计算AB ．解：(1)测量示意图如图28—128所示．(2)测量步骤．第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时小树顶端A 的仰角∠AHE ＝α.第二步：沿CB 方向前进到点D ，用皮尺量出C ，D 之间的距离CD ＝m ．第三步：在点D 安装测角仪，测得此时小树顶端A 的仰角∠AFE ＝β.第四步：用皮尺测出测角仪的高h ．(3)令AE ＝x ，则tan α＝x HE ，得HE ＝tan x α. 又tan β＝x EF，得EF ＝tan x β， ∵HE －FE ＝HF ＝CD ＝m ，∴tan tan x x αβ-＝m ，解得x ＝tan tan tan tan m αββα-． ∴AB ＝tan tan tan tan m αββα-＋h ． 例12 如图28－129所示，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C 处，则此时小船距港口A 多少海里?(结果保留整数，提示：sin 40°≈，cos 40°≈，tan 40°≈0．83913 1.732)分析此题可作CD ⊥AP 构造直角三角形求AC ，而CD ，AD 的长可转移到其他三角形中解决，可作BE ⊥AD ，CF ⊥BE ，CF ，BF 在Rt △BCF 中可求，进而求解．解：如图28－130所示，过点B 作BE ⊥AP ，垂足为点E ，过点C 分别作CD ⊥AP ，CF ⊥BE ，垂足分别为点D ，F ，则四边形CDEF 为矩形，∴CD ＝EF ，DE ＝CF ．∵∠QBC ＝30°，∴∠CBF ＝60°．∵AB ＝20，∠BAD ＝40°，∴AE ＝AB ·cos 40°≈20×≈，BE ＝AB ·sin 40°≈20×＝≈．又∵BC ＝10，∠CBF ＝60°，∴CF ＝BC ·sin 60°≈103＝3 BF ＝BC ·cos 60°＝10×＝5，∴CD ＝EF ＝BE －BF ≈－5＝．∵DE ＝CF ≈，∴AD ＝DE ＋AE ≈＋＝，由勾股定理得AC 22AD CD +2224.07.9+638.41≈25，即此时小船距港口A 约25海里．【解题策略】正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得∠CAD ＝45°，又在距A 处60米远的B 处测得∠CBA ＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)分析本题可作CE ⊥AB ，垂足为E ，求出CE 的长即为河宽．解：如图28－131所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，则CE 即为河宽，设CE ＝x (米)，则BE ＝x ＋60(米)．在Rt △BCE 中，tan30°＝CE EB 3＝60x x +, 解得x ＝31)≈81.96(米)．答：河宽约为81．96米．【解题策略】解本题的关键是设CE ＝x ，然后根据BE ＝AB ＋AE 列方程求解．例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C 点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B 点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD ＝45°，∠BCD ＝60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ．(231.7)分析在Rt △ABD 中，已知∠A ＝45°和AD ，可求AB ，BD ，在Rt △BCD 中，可利用求出的BD 和∠BCD ＝60°求出BC ，然后根据计算出的数据判断谁先到达．解：在Rt △ABD 中，∠A ＝45°，∠D ＝90°，AD ＝300，∴AB ＝AD cos452=︒＝2BD AD＝tan 45°，即BD ＝AD ·tan 45°＝300． 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝60°，∠D ＝90°，∴BC ＝sin 603BD =︒3CD ＝tan60BD ︒3＝3 1号救生员到达B 3002＝2≈210(秒)， 2号救生员到达B 30010032003-502503≈192(秒)， 3号救生员到达B 点所用的时间为3006＋3002＝200(秒)． ∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B .【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键．例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．分析本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×12＝12(海里)．在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝3海里)．∵39，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险．【解题策略】此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．3)分析由于CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝3∴CD＝CE－DE＝323≈3，即这块广告牌的高度约为3米．例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：，求坝底宽BC.分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tan B＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tan B＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tan C＝11.5 DFCF，∴CF ＝1．5DF ＝×4＝6．又∵EF ＝AD ＝，∴BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝4＋＋6＝12．5．答：坝底宽BC 为12．5 m ．【解题策略】背水坡是指AB ，而迎水坡是指CD .例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB ．(参考数据：sin 20°≈，cos 20°≈，tan 20°≈，sin 23°≈，cos 23°≈，tan 23°≈0.424)分析要求AB 的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能直接求解，所以设AB 为未知量，即用AB 表示BD 和BC ，根据BD －BC ＝CD ＝30，列出关于AB 的方程．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝20°，∴BC ＝AB tan ∠CAB ＝AB tan 20°．在Rt △ABD 中，∠DAB ＝23°，∴BD ＝AB tan ∠DAB ＝AB tan 23°．∴CD ＝BD －BC ＝AB tan 23°－AB tan 20°＝AB (tan 23°－tan 20°)．∴AB ＝tan 23tan 20CD ︒-︒≈300.4240.364-＝500(m)． 答：此人距CD 的水平距离AB 约为500 m ．二、规律方法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．例19 当0°＜α＜9021sin α-的值． 分析由sin 2α＋cos 2α＝1，可得1－sin 2α＝cos 2α解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α． 221sin cos |cos |cos αααα-==.∵0°＜a ＜90°，∴cos α＞0．∴原式＝cos cos αα＝1． 【解题策略】以上解法中，应用了关系式sin 2α＋cos 2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经常用到，应当牢记，并灵活运用．三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素． 例20 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 5，b 15，解这个直角三角形．分析已知两直角边长a ，b ，可由勾股定理c 22a b +求出c ，再利用sin A ＝a c求出∠A ，进而求出∠B ＝90°－∠A ．解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2．∴c 222515+522a b +=2（）（）又∵sin A ＝51225a c ==，∴∠A ＝30°． ∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．【解题策略】除直角外，求出Rt △ABC 中的所有未知元素就是解直角三角形．专题7 数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y 3x 3，则cos α等于 ( )A ．12B 2C ．32D ．33分析∵y ＝－33x ＋33，∴当x ＝0时，y ＝33，当y ＝0时，x ＝1，∴A (1，0)，B 30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴OB ＝33，OA ＝1，∴AB ＝22OB OA +＝233，∴cos ∠OBA ＝12OB AB =. ∴OP ⊥AB ，∴∠α＋∠OAB ＝90°，又∵∠OBA ＋∠OAB ＝90°，∴∠α＝∠OBA ．∴cos α＝cos ∠OBA ＝12．故选A. 专题8 分类讨论思想【专题解读】当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向上还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30 km ，B ，C 间的距离是60 km ．要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，求交叉口P 与加油站A 的距离．(结果可保留根号)解：①如图28－138(1)所示，在Rt △BDC 中，∵CD ＝30，CB ＝60，∴∠B ＝30°．又PC ＝PB ，∴∠CPD ＝60°，∴DP ＝103．故AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)km ．②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP ＝(30－103)km ，故交叉口P 与加油站A 的距离为(30＋103)km 或(30－103)km ．【解题策略】此题针对P 点的位置分两种情况进行讨论，即点P 在线段AB 上或点P 在线段BA 的延长线上． 专题9 转化思想【专题解读】本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等．例23 如图28－139所示，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC ∥AD ，斜坡AB 的长为22 m ，坡角∠BAD ＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确某某体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 改到F 点处，则BF 至少是多少米?(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 68°≈，cos 68°≈，tan 68°≈，sin 50°≈，cos 50°≈，tan 50°≈1.1918) 分析将实际问题转化为数学问题是解题关键．解：(1)过B 作BE ⊥AD 于E ，则在Rt △ABE 中，sin ∠BAE ＝BE AB， ∴BE ＝AB ·sin 68°＝22sin 68°≈20.4(m)．(2)过F 作FG ⊥AD 于G ，连接FA ，则FG ＝BE ．∵AG ＝tan50FG≈，AE ＝AB ·cos 68°＝22cos 68°≈8．24， ∴BF ＝GE ＝AG －AE ≈≈8.9(m)．例24 如图28－140所示，A ，B 两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的X 围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(32≈1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan 30°，BC ＝PC ·tan 45°，∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45°＝100，∴3＋1)PC ＝100， ∴PC ＝50(33≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一X 长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保留整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)解：作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F ．∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝36°．根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm ．在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ， ∴AB ＝sin36BE ︒≈240.6＝40(mm)． 在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DF AD ， ∴AD ＝cos36DF ︒≈480.8＝60(mm)． ∴矩形ABCD 的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．例26 如图28－142所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1．8米．现计划在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?解：设正午时光线正好照在I 楼的一楼窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高x 米．过C 作CF ⊥l 于F ，在Rt △ECF 中，EF ＝(x －2)米，FC ＝30米，∠ECF ＝30°，∴tan 30°＝230x -,∴＝32． 答：新建居民楼Ⅱ最高只能建32)米．2011中考真题精选一、选择题1.（2011某某某某，14，3分）如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题4.5锐角三角函数中考数学第一轮总复习课件
(3)sinA+cosA_＞___1；sin2A+cos2A_＝___1, sinα=cos(_9_0_º_-_α_)；cosα=sin(_9_0_º_-_α_)；
典例精讲
锐角三角函数
知识点一
【例1】(1)式子2cos30º-tan45º- （1 tan 60 )2 的值是__0__.
5.已知△ABC中,AB=10,AC= 2 7,∠B=30º,则△ABC的面积等于_1_5__3_或__1_0__3_.
6.四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90º,tan∠ABD=
3 4
,AB=20，
BC=10,AD=13,则线段CD=1_7__或___8_9__.
A
A A
E F
B
DC
B
C´
02
解直角三角形
精讲精练
03 解直角三角形应用
考点聚焦
解直角三角形的应用
知识点三
1.视角,2.方向角(方位角),3.坡度(坡比),坡角:i=tanα=h:l.
在测量高度,宽度,距离等问题中,常见的构造的基本图形如下：
③利用反射构造相似. ②同一地点看不同点 ①不同地点看同一点
典例精讲
直角三角形应用
A
K
I
H
N
M
D
A
K
I
NH M
D
A
K
I
H N
M
D
E
O
B 图1 G
FE O
CB 图2 G
FE
O
C B 图3 G
F C
B. 1
c os2
1
C.sin2α+1 D.cos2α+1
2012年中考复习数学(练习版)课件6.3锐角三角函数和解直角三角线
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
图6-3-2
九年级 第六章第三节课中
解：（1）此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理即可。 如图6-3-3如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连结AM，BM．
tanα= （2）第一步，在 RtΔAMN 中，
MN MN ∴ AN = AN tanα MN MN tanβ= 第二步，在 RtΔBMN中， BN = BN tanβ
其中AN=d+BN,解得 MN =
d×tanα ×tanβ tanβ- tanα
图
九年级 第六章第三节课中
例3：为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往 该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西 45° 并距该岛20海里 的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现 在其北偏东60° 的方向有我军护航舰（如图6-3-4所示）,便发出紧急求救信 号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问 我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个 位．参考数据： 2 1.4, 3 1.7 ） 解：由图可知， ，画 ∠ACB = 30°, ∠BAC = 45° , BD⊥ AC于点D（如图）， 2 在 Rt△ABD 中，AB=20， ∴ BD = AB· B sin45° = 20× = 10 2 2 在 Rt△BDC 中， ∠ACB = 30°,
∴BC = 2×10 2 = 20 2 28
60°
C D
图6-3-4
45°
A
∴
28 0.47 60