轴上向量的坐标运算及其运算
e
b a
C A B ：相关概念：
e ，使e 的方向与l 同方向。
根据向量对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数a xe =。
e 叫做轴l 的基向量,x 叫做a 在l 上的坐标或数量) .x 的绝对值等于a 的长,当a 与e 同方向时, x 是正数a 与e 反是负数.
结论:
1a x e =,2b x e =,则a b
=⇔1x =a b +12()x x e =+ 轴上两个向量相等的充要条件是他们的坐标相等向量和的坐标等于两个向量的坐标的和已知轴l 和一单位向量e ,在l 上任取三点
()0
AB BC AC
ABe BCe ACe
AB BC e ACe e AB BC AC
+=+=+=≠∴+=
：沙尔公式 AB+BC=AC
坐标运算：
1)引入：a P
0x 在数轴上的坐标：设向向量a 平行于,则点a 所唯一
OP 在x 轴上的坐标也就是点P 在轴0x ,则点P OP 的坐标为的坐标为
2AB x =-应用举例 例3a e =，2b e =-。
试问向量与是否:a b 。
解：由2b e =-得代入12
e b =-，代入3a e =得 32
a b =- a 与b 平行且:a b =32。
例2：已知数轴上的三点AB 、BC 、CA 的坐标和长度。
AB=（-2）-4， 6AB =-
4
BC=-
CA=
10
本节课主要讲述了轴上向量的坐标、a在l上的坐标2
=
AB x
轴上两向量相等的充要条件。
向量坐标运算公式总结
向量坐标运算公式总结向量坐标是一种实用的数学工具，在许多领域如物理、生物学和数学中。
这些坐标的变化可以用一组等式来表示，这些等式称为“向量坐标运算公式”。
什么是向量坐标运算公式？它们可以帮助我们更好地理解空间，并进行精确计算。
它们可以在特定的三维空间中识别物体，以及在空间中的每一点的特定位置。
简言之，向量坐标运算公式是特殊的空间中的物体及其每个点的维度和位置的一组规则。
它们由一系列向量计算运算组成，例如距离公式，到定位和定位转换。
在向量坐标运算公式中，两点间的距离是特定的，可以通过取样数据点来确定。
它可以表示为$d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，其中$x_1$和$x_2$表示两点的横坐标，$y_1$和$y_2$表示两点的纵坐标。
另一个重要的向量坐标运算公式是旋转映射公式，即坐标系的变换公式，它可以把一个坐标轴从一个旋转轴移动到另一个旋转轴。
它可以表示为$(xy=(xcos{theta}-ysin{theta},xsin{theta}+ycos{theta})$，其中$theta$表示旋转角度，$x$和$y$表示旋转后的新坐标。
此外，向量坐标运算公式还包括缩放映射公式，即坐标中某些度量单位之间的变换公式，它可以用来实现数学变换，将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中，在这个转换的过程中，每个坐标的值都可能会发生某种变化。
如果当前的坐标系尺寸为$(a,b,c)$，那么坐标变换的公式如下：$x=ax, y=by, z=cz$，其中$x$表示变换后的横坐标，$y$表示变换后的纵坐标，$z$表示变换后的纵坐标。
综上所述，向量坐标运算公式是一组特殊领域内空间物体及其每点位置的变换规则，主要包括距离公式、旋转映射公式和缩放映射公式。
这些公式在很多领域内，如物理学、生物学和数学中都有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解空间，并进行精确计算。
向量坐标的运算的所有公式
向量坐标的运算的所有公式在数学的世界里，向量坐标的运算公式就像是一把把神奇的钥匙，能帮助我们打开各种难题的大门。
先来说说向量加法的坐标运算公式。
假如有两个向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，那么它们相加后的向量坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
这就好比你在操场上跑步，从起点出发，先向东跑了 x₁米，向北跑了y₁米，然后又接着向东跑了 x₂米，向北跑了 y₂米，那最终你的位置坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
再看看向量减法的坐标运算公式。
还是这两个向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，相减后的向量坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
我想起有一次我和朋友一起玩拼图游戏，我们把拼图分成了两部分，一部分的位置可以用一个向量坐标表示，另一部分用另一个向量坐标表示。
当我们要把这两部分拼接到一起时，就得算出它们的相对位置，这时候向量减法的坐标运算公式就派上用场啦。
还有数乘向量的坐标运算公式。
如果有一个实数λ 与向量 A(x, y) 相乘，那么得到的向量坐标就是(λx, λy) 。
这就好像是把一个物体按照一定的比例放大或缩小，坐标也跟着相应地变化。
向量数量积的坐标运算公式也很重要。
对于向量 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) ，它们的数量积等于 x₁x₂ + y₁y₂。
这让我想到了物理中的力做功的问题，力和位移都可以用向量来表示，通过这个公式就能算出力做的功。
在实际解题中，这些公式常常需要我们灵活运用。
比如说，有一道题给出了两个向量的坐标，让我们求它们的和与差。
这时候，我们只要把对应的坐标相加或相减就可以了。
又比如，要判断两个向量是否垂直，就可以通过它们数量积的坐标运算结果是否为 0 来判断。
总之，向量坐标的运算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多做练习，多联系实际生活中的例子去理解，就一定能掌握它们，让数学变得不再那么可怕。
就像我们在生活中面对各种困难，只要找到合适的方法和工具，就能轻松应对，走向成功！。
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
在进行向量运算时，我们经常需要进行向量的坐标运算。
向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算。
在本文中，我们将详细介绍向量的坐标运算公式及其应用。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标分别为(A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>)和(B<sub>1</sub>,B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)，则它们的加法结果为：A +B = (A<sub>1</sub> + B<sub>1</sub>,A<sub>2</sub> + B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> +B<sub>3</sub>)向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A 和 A + (B + C) = (A + B) + C。
向量的加法在几何上表示两个向量的相对位移，例如在物理学中，可以用来计算物体在不同力的作用下的位移。
2. 向量的减法向量的减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标分别为(A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>)和(B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)，则它们的减法结果为：A -B = (A<sub>1</sub> - B<sub>1</sub>, A<sub>2</sub> - B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> - B<sub>3</sub>)向量的减法也满足交换律和结合律，即A - B ≠ B - A 和 A - (B - C) ≠ (A - B) - C。
高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.1 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案
向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ DA.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误．．的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0C. D.例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B . C. D.2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ， 使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠bA. (1)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y的值为（ C ）A －41，８ B.41 C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。
直角坐标系中的向量运算
直角坐标系中的向量运算直角坐标系中的向量具有非常重要的地位，在物理学、力学、几何学等领域中得到了广泛应用。
通过向量运算，可以描述和求解各种复杂的几何关系和物理问题。
本文将介绍直角坐标系中的向量基本概念、向量加法、向量减法、数量积和向量积，并探讨其相应的计算方法和几何意义。
1. 向量的基本概念在直角坐标系中，向量可以用有序数对或坐标表示。
例如，一个向量a可以表示为a = (a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量a在x、y和z轴上的分量，也称作向量的坐标或分量。
2. 向量加法向量的加法满足交换律和结合律。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的和向量c = a + b的分量满足c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，c₃ = a₃ + b₃。
直观上，向量加法表示将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
3. 向量减法向量的减法可通过向量加法来实现。
对于两个向量a和b，它们的差向量c = a - b可以表示为c = a + (-b)，即向量a加上向量-b的结果。
向量-b即为向量b的每个分量取相反数得到的向量。
差向量的分量计算规则与向量加法相同。
4. 数量积（点积）数量积，也称点积（Dot Product），是两个向量的数量乘积再相加的结果。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的数量积a·b（或a*b）定义为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
数量积可以用来求解向量的模、夹角和判断两个向量是否垂直。
5. 向量积（叉积）向量积，也称叉积（Cross Product），是两个向量的向量乘积。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积a×b定义为一个新的向量c = (c₁, c₂, c₃)，其中c₁ = a₂b₃ - a₃b₂，c₂ =a₃b₁ - a₁b₃，c₃ = a₁b₂ - a₂b₁。
2018学年高中数学人教B版必修4课件：2-1-5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 精品
向量共线问题
[探究共研型]
探究1 已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否 共线？
【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a＝ λb即可.
若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n). ∵m，n不共线，∴6－λ＝8λ3＝，4. ∵不存在λ同时满足此方程组，∴a与b不共线.
【解】
(1)根据向量求和的多边形法则，有
→ AD
＝ A→B ＋ B→C ＋
→ CD
＝(e＋2f
)＋
(－4e－f )＋(－5e－3f )＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f ＝－8e－2f .
(2)证明：因为A→D＝－8e－2f ＝2(－4e－f )＝2B→C，即A→D＝2B→C.
所以A→D∥ B→C，且A→D的长度为B→C 的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD
【自主解答】 (1)∵AC＝5， ∴c－(－4)＝5，∴c＝1. (2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6， 即d＋2＝6或d＋2＝－6， ∴d＝4或d＝－8.
(3)因为C→D＝C→A＋A→D＝－A→C＋A→D， 而A→C＝－3AD， 所以C→D＝－(－3A→D)＋A→D＝4A→D，所以3C→D＝12A→D， 又－4A→C＝－4×(－3A→D)＝12A→D， 故3C→D＝－4A→C.
4.向量 A→B 的坐标常用AB表示，则 A→B ＝ABe. A→B 表示向量，而AB表示数量，且 有AB＋BA＝0.
5.轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB ＝ x2－x1 ，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
6.数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则 |AB|＝ |x2－x1| .
向量的坐标运算法则
向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。
在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。
本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。
1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。
公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。
2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。
公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。
3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。
公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。
4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。
公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。
例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。
内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。
5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。
公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。
向量坐标运算的所有公式
向量坐标运算的所有公式在数学的广阔天地里，向量就像是一群活跃的小精灵，而向量坐标运算的公式则是我们掌控这些小精灵的魔法咒语。
接下来，让咱们一起瞧瞧这些神奇的公式吧！咱们先从最简单的向量加法坐标运算公式说起。
假设咱有两个向量，$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，那么它们相加之后得到的向量$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$的坐标就是$(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
这就好比你在操场上跑步，先向东跑了$x_1$米，向北跑了$y_1$米，然后又向东跑了$x_2$米，向北跑了$y_2$米，那你最终的位置就是向东跑了$x_1 + x_2$米，向北跑了$y_1 + y_2$米。
再来说说向量减法的坐标运算公式。
还是上面那两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们相减得到的向量$\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}$的坐标就是$(x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
打个比方，你从学校出发，先向东走了$x_1$米，向北走了$y_1$米，然后又往回走，向西走了$x_2$米，向南走了$y_2$米，那你现在的位置相对于学校的坐标变化就是向东走了$x_1 - x_2$米，向北走了$y_1 - y_2$米。
还有向量数乘的坐标运算公式。
如果有一个实数$k$和向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，那么数乘之后得到的向量$\vec{e}=k\vec{a}$的坐标就是$(kx_1, ky_1)$。
这就像你跑步的速度加快了$k$倍，原来向东跑$x_1$米，向北跑$y_1$米，现在速度变了，跑的距离也就相应地变成了$kx_1$米和$ky_1$米。
说到这儿，我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙总是搞混加法和减法的公式。
我就跟他说：“你就想象自己是个小探险家，向东走、向北走是积累路程，向西走、向南走就是减去路程，这样是不是好理解多啦？”嘿，这招还真管用，那孩子后来就很少出错啦。
向量及其坐标表示法
3 2 a y a cos 6 4 , 3 2 az a cos 6 4. 3
例6 已知作用于一质点的三 个力为F1 i 2k , F2 2i 3 j 4k , F3 j k , 求其合力F的大小及方向角。
单位向量：模为1的向量.
0
0 2
1
不考虑起点位置的向量.即只考虑向量 自由向量： 的大小和方向，而不论它的起点在何处. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
a
:
： b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
: a
a:
向量的加减法
[1] 加法： a b c
{a x bx , a y by , a z bz }; a ( a x )i ( a y ) j ( a z )k
a x , a y , az .
例3 已知a {3,5,1}, b {2,2,2}, c {4,1,3} 求(1)a b ( 2)2a 3b 2c
2 2
2
y
cos
az a x a cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量可表示为
0 a a |a |
{cos , cos , cos }.
例4 已知M 1 1,2,3, M 2 4,2,1，求 M 1 M 2的模 及方向余弦。
a AB OB OA
3. 向量运算的坐标表达式 设 a {a x , a y , az }, b {bx , b y , bz },
则 a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k