高考文科数学分类汇编不等式
高考不等式知识点归类
高考不等式知识点归类在高中数学中，不等式是一大重要的内容，同时也是高考命题中常出现的类型。
掌握好不等式的知识点，对于高考数学的加分和应对考试来说，都有着重要的意义。
本文将对高考不等式的知识点进行归类和总结，希望能给高中生们带来一些帮助。
一、基础知识1. 不等式的定义和性质不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示形式。
它包含了大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号。
不等式的性质包括传递性、加法性、乘法性等，学生需要掌握不等式的基本定义和常用性质，才能更好地理解和解决相关题目。
2. 解不等式的基本方法解不等式是高考中的一种常见题型，而解不等式的基本方法包括图像法、代数法和区间法。
图像法即通过绘制函数图像的方式找出满足不等式的解集；代数法则是通过化简、分析和分类等方法求解；区间法则是将不等式转化为对应的区间表达式，通过判断区间的开闭性得到解集。
理解和掌握这三种解法是解决不等式问题的基础。
二、一元一次不等式1. 一次不等式的定义和性质一元一次不等式是基础的不等式类型之一，它的定义是含有未知数的一次幂的不等式。
一元一次不等式的性质包括相等的两侧同时加（减）一个数、相等的两侧同时乘（除）一个正数以及两个不等式之间的比较等。
学生需要通过大量的例题来熟悉并掌握这些性质。
2. 一元一次不等式的解法对于一元一次不等式的解法，主要包括图像法和代数法。
图像法是将不等式转化为开口向上或开口向下的平面图像，通过分析图像的位置和特征得到解集；代数法则是将不等式转化为等价的代数表达式，通过变换和化简求解。
熟练掌握这两种解法，并能够选择合适的方法来解题，是高考中得分的关键。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义和性质一元二次不等式是高中数学中比较复杂的不等式类型，它的定义是含有未知数的二次幂的不等式。
一元二次不等式的性质包括对称性、增减性以及开口向上或开口向下等。
学生需要通过大量的例题来加深对这些性质的理解。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法相对来说比较复杂，包括图像法、代数法和区间法等多种方法。
不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。
高中文科数学 不等式
第五讲、不等式十三、 不等式 （一）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
（二）一元二次不等式1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。
3.会解一元二次不等式。
（三）二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
（四）基本不等式：,0)2a ba b +≥> 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
不等式的概念与性质1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a2．不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性）（2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0推论2：nn b a b a >⇒>>0 推论3：nn b a b a >⇒>>0算术平均数与几何平均数1．常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a（2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+2最值定理:设xy y x y x 2,0.,≥+由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+= （2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3 均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++4四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+ 不等式的证明 不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小） ③利用基本不等式， 如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ④利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+；Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；已知12222=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；已知12222=-by a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式； ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0 f(x)0 g(x)0 f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x) 与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：①形式：分母）移项，通分（不轻易去←>0)()(x Q x P ②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正③判断或比较根的大小绝对值不等式1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题||a|─|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;||a|─|b||≤|a─b|≤|a|+|b|;并指出等号条件3．(1)|f(x)|<g(x)⇔─g(x)<f(x)<g(x);(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<─g(x)（无论g(x)是否为正）（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式） b a b a b a +≤±≤± 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方；4．若0ab >，a b >，则11a b<；若0ab <，a b >，则11a b>。
2023年高考数学分类汇编不等式选讲
2012高考数学分类汇编-不等式选讲1000字不等式是高中数学中的一个重要知识点，也是高考难度较大的部分。
在不等式的学习中，我们需要掌握基本的不等式类型、不等式的解法、不等式的应用等知识点。
一、基本不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b≤0或ax+b≥0的不等式，其中a、b为实数，x为未知数。
解法：将不等式分两种情况讨论，化简得出不等式的解集。
2. 一元二次不等式：形如ax²+bx+c≤0或ax²+bx+c≥0的不等式，其中a、b、c为实数，x为未知数。
解法：求出二次函数的零点，根据函数的变化性和不等式的符号，求出解集。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|≤c或|ax+b|≥c的不等式，其中a、b、c为实数，x为未知数。
解法：将绝对值符号去掉，分两种情况讨论，得到两个一元一次不等式，求解并合并。
4. 分式不等式：形如f(x)≤ 0或f(x)≥ 0的不等式，其中f(x)为一个分式函数。
解法：根据分式的零点和不等式的符号，分别求解不等式。
二、不等式的解法1. 图像解法：根据函数图像的性质，判断不等式的解集。
2. 化简法：将不等式转化为易于求解的形式。
3. 移项法：将未知数移至同一侧，化为一元不等式求解。
4. 差分法：构造一个新的不等式，使原不等式变为差分形式，进而求解。
5. 变形法：根据一些数学恒等式，将不等式进行变形，使得问题更易于解决。
三、不等式的应用1. 实际应用问题中的不等式：如周长不等式、面积不等式、三角形不等式、均值不等式等。
2. 理论应用问题中的不等式：如证明某个不等式成立或不成立，或者在定理证明中使用不等式来简化分析。
总之，掌握不等式的基本类型、解法和应用，对于高考数学的学习和考试都有很大的帮助。
高三文科不等式知识点
高三文科不等式知识点高三阶段是学生备战高考的重要时期，而在文科领域的数学部分，不等式是一个重要而又常考的知识点。
掌握好不等式的基本概念和解题方法，对于学生来说，是非常关键的。
本文将带领读者深入了解高三文科不等式知识点。
一、基本概念不等式是数学中表示大小关系的一种符号。
在高三文科中，我们常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
我们可以通过比较两个数的大小关系，用这些符号来表达出来。
二、一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的升级版，也是最常见的一种不等式类型。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但是要注意到不等号的方向。
举个例子：解不等式2x-3<5。
首先，我们将式子化简得到2x<8。
接下来，我们将不等号的两边同时除以2，得到x<4。
三、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的升级版。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要借助平方根等知识。
举个例子：解不等式x²-5x>6。
首先，我们将式子移项得到x²-5x-6>0。
然后，我们对此不等式进行因式分解，得到(x-6)(x+1)>0。
接下来，我们要确定方程的解集。
根据乘积大于零的性质，解集为x<-1或x>6。
四、绝对值不等式绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，解绝对值不等式的方法与一般的不等式有所不同。
在解绝对值不等式时，我们需要拆分为原问题的两个不等式，然后分别解决。
举个例子：解不等式|3x-4|≥7。
首先，我们将这个不等式拆分为两个不等式：3x-4≥7或3x-4≤-7。
然后，我们对这两个不等式分别进行解答，得到x≥11/3或x≤-1/3。
五、二元一次不等式二元一次不等式是涉及到两个变量的一次方程的不等式形式。
在解二元一次不等式时，我们需要通过图像法或代数法来确定解集。
举个例子：解不等式y<x+2，y<2x+3。
高考文科数学解析分类汇编不等式
2012年高考文科数学解析分类汇编：不等式一、选择题11．（2012年高考（重庆文））已知2log 3log a =+2log 9log b =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ．a b c >>22．（2012年高考（重庆文））不等式102x x -<+ 的解集是为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(-2,1)D ．(,2)-∞-∪(1,)+∞[33．（2012年高考（浙江文））若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是 （ ）A ．245B ．285C ．5D ．6 44．（2012年高考（天津文））已知 1.20.2512,(),2log 22a b c -===,则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<55．（2012年高考（天津文））设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．2-D ．366．（2012年高考（四川文））若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,则34z x y =+的最大值是（ ）A ．12B ．26C ．28D ．3377．（2012年高考（陕西文））小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a<b),其全程的平均时速为v,则（ ）A ．B ．<v<2a b +D ．v=2a b+ 88．（2012年高考（山东文））设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2--C ．[1,6]-D ．3[6,]2-99．（2012年高考（辽宁文））设变量x,y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩…剟剟则2x +3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．551010．（2012年高考（课标文））当0<x ≤12时,4log xa x <,则a 的取值范围是（ ）A ．(0,22) B ．(22,1) C ．(1,2) D ．(2,2)1111．（2012年高考（课标文））已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ）A ．(1-3,2)B ．(0,2)C ．(3-1,2)D ．(0,1+3)1212．（2012年高考（湖南文））设a >b >1,0c < ,给出下列三个结论:①c a >c b;② c a <cb ; ③ log ()log ()b a ac b c ->-, 其中所有的正确结论的序号是__.[中*国教育@^出~版网、] （ ）A ．①B ．① ②C ．② ③D ．①②③1313．（2012年高考（广东文））(线性规划)已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6-1414．（2012年高考（福建文））若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为 （ ）A ．-1B ．1C ．32D ．21515．（2012年高考（大纲文））已知ln x π=,5log 2y =,12ze -=,则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<1616．（2012年高考（安徽文））若,x y 满足约束条件:02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩;则x y -的最小值是（ ）A ．3-B ．0C ．32D ．3 二、填空题1717．（2012年高考（浙江文））设z=x+2y,其中实数x,y 满足102000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩, 则z 的取值范围是_________.1818．（2012年高考（四川文））设,a b 为正实数,现有下列命题:①若221a b -=,则1a b -<; ②若111b a-=,则1a b -<;③若|1=,则||1a b -<; ④若33||1a b -=,则||1a b -<.其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)1919．（2012年高考（上海文））满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是_________ .2020．（2012年高考（陕西文））观察下列不等式213122+< 231151233++<,222111712344+++<照此规律,第五个．．．不等式为。
高考文科不等式知识点
高考文科不等式知识点高考是每个学生都需要面对的重要考试，而作为文科生来说，数学是其中一个必考科目。
在数学中，不等式是一个关键的知识点，而且在高考中也占据了相当大的比重。
本文将与大家分享一些高考文科中常见的不等式知识点，帮助大家更好地应对数学考试。
一. 基本不等式基本不等式是学习不等式的基础，理解了基本不等式才能更好地应用到其他相关知识点中。
基本不等式有两个核心概念：大小关系和符号规律。
1. 大小关系：在不等式中，对于两个不等式，若其中一个式子的每一项都小于另一个式子，那么可以断定这个式子的大小关系。
例如，若a>b，x<y，则可以确定ax<by。
2. 符号规律：不等式中的符号规律是一个重要的概念，在解不等式的过程中需要特别注意。
例如，若a>b，x<y，则可以确定a-x>b-y。
二. 基本不等式的运算法则在解不等式的过程中，运算法则是不可忽视的。
这些法则是基于数学运算的性质来得出的，但在使用中需要注意它们的适用范围。
1. 加减法原则：在不等式中，若两个不等式都同加（减）一个数，则这两个不等式的大小关系不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c。
2. 乘法原则：在不等式中，若一个不等式两边同乘（除）一个正数，则不等号不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号反向。
例如，若a>b，则2a>2b，当c>0时，ca>cb；当c<0时，ca<cb。
三. 不等式的解集解不等式是高考中常见的题型，对于解不等式有以下几个常见的解集形式：1. 区间表示法：在不等式的解集中，如果使用区间表示法，可以清晰地展示解集的范围。
例如，对于不等式1<x<4，可以使用区间表示为(1,4)。
2. 简化形式：有时候，解集可以通过简化不等式的形式得出。
例如，对于不等式x+3≤7，可以得出解集为x≤4。
四. 基本不等式的应用1. 一元一次不等式：在高考中，一元一次不等式是非常常见的题型。
2019年全国高考文科数学分类汇编---选考不等式
2019年全国高考文科数学分类汇编---选考不等式1.（2019全国1卷文科）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc =将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥.【详解】（1）1abc = 111111a b c b c a c a ba b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥ 【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.2.（2019全国2卷文科）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x ->，显然成立，此时解集(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<，即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a -≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.3（2019全国3卷文科）.设,,x y z R ∈，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a ≥-. 【答案】(1)43；(2)见详解. 【解析】【分析】 (1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.详解】(1) 22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2) 因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a ≥-.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.【.4.（2019江苏）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 【答案】1{|1}3x x x <->或.【解析】【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【详解】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．。
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数 学E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质 1．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) >1y 2＋12．[2014·四川卷] 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) ＞b c ＜b c ＞b d ＜b dE2 绝对值不等式的解法 3．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或84．[2014·辽宁卷] 已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )∪⎣⎡⎦⎤43，74 ∪⎣⎡⎦⎤14，23 ∪⎣⎡⎦⎤43，74 ∪⎣⎡⎦⎤13，34 E3 一元二次不等式的解法6．、[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题7．[2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．8．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．9．9．，[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4910．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．1111．[2014·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．812．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．[2014·辽宁卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( ) A ．8 B ．7 C ．2 D ．116．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－317．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0， 当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 D ．2 18．、[2014·四川卷] 执行如图1-2的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．319．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．520．[2014·浙江卷] 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．E6 2a b +≤21．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 322．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 23．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．24．[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．25．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；(ii)求△OMN 面积的最大值．25．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)．因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)．可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立， 此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.E7 不等式的证明方法 26．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .26．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .E8 不等式的综合应用 27．[2014·浙江卷] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．27 .6328．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 28．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8.当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.29．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元30．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．30．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)?(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)?(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ?(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)?(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.31．、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]32．、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．32．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增．∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.E9 单元综合答案：1．A 3．D ．A 5．C 6．C7．48．19．C10．D11．C12．713．1814．5．B 16．B17．B．C 19．B20．[1，3]．D 22．(1)1900(2)100[解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝时，F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋121v＋18≤76 0002 v·121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．24．－1 29．C 31．C 16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．16．－2。