2018-2019学年南京市鼓楼区九年级上期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣7 B．C．D．74．下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点（）A．y=17（x+50）2+2019 B．y=17（x﹣50）2+2019C．y=﹣17（x+50）2+2019 D．y=﹣17（x﹣50）2﹣20195．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于（）A．57.5°B．65°C．115°D．130°6．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A．m﹣1＞0 B．m﹣1＜0C．m﹣1=0 D．m﹣1与0的大小关系不确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=．9．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留根号）．10．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为cm．11．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为cm．（结果保留π）12．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为m．13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是m．14．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．15．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为．16．如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE=5，ED=1，则BC的长是m．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程：2x2﹣4x﹣6=0．（2）①直接写出函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标；②求函数y=2x2﹣4x﹣6的图象的顶点坐标．18．九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单位：分）：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队成绩的平均数和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是队．19．如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．20．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为；（2）从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，再摸出1个球．求摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率．21．在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2019年销售额为2500万元，要使2019年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？22．在作二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象时，先列出下表：x …﹣1 0 1 2 3 4 5 …y1…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 …y2…0 2 4 6 8 10 12 …请你根据表格信息回答下列问题，（1）二次函数y1=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为；（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是；（3）请写出二次函数y1=ax2+bx+c的三条不同的性质．23．请探究两个等腰三角形相似的条件，用文字语言直接写出探究的结果即可．24．（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）（2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹）25．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．（1）求证：AM与⊙O相切；（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．26．某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？27．如图（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形不够用，请自己画图）（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由单词“happy”中有两个p，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵单词“happy”中有两个p，∴抽中p的概率为：．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，∵9＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△＞0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△＜0，没有实数根．3．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣7 B．C．D．7【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得，x1+x2=﹣=．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．4．下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点（）A．y=17（x+50）2+2019 B．y=17（x﹣50）2+2019C．y=﹣17（x+50）2+2019 D．y=﹣17（x﹣50）2﹣2019【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】对于方程17（x+50）2+2019=0，17（x﹣50）2+2019=0，﹣17（x+50）2+2019=0，﹣17（x﹣50）2﹣2019=0，先判断它们的根的情况，然后根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数确定正确选项．【解答】解：A、方程17（x+50）2+2019=0没有实数解，则抛物线y=17（x+50）2+2019与x轴没有公共点，所以A选项错误；B、方程17（x﹣50）2+2019=0没有实数解，则抛物线y=17（x﹣50）2+2019与x轴没有公共点，所以B选项错误；C、方程﹣17（x+50）2+2019=0有两个不相等的实数解，则抛物线y=﹣17（x+50）2+2019与x轴有2个公共点，所以C选项正确；D、方程﹣17（x﹣50）2﹣2019=0没有实数解，则抛物线y=﹣17（x﹣50）2﹣2019与x轴没有公共点，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于（）A．57.5°B．65°C．115°D．130°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠C=65°，根据圆周角定理得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，又∠A=115°，∴∠C=65°，则∠BOD=130°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A．m﹣1＞0 B．m﹣1＜0C．m﹣1=0 D．m﹣1与0的大小关系不确定【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质，由于二次项系数为1，故函数开口方向向上，根据函数解析式的特点，当x=1时，y=a，x=0时，y=a，又a＞0，据此即可画出函数草图，利用数形结合的思想即可解答．【解答】解：根据题意画出图形：∵当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，∴可知m﹣1表示的点在A、B之间，∴m﹣1＞0，∴当自变量x取m﹣1时，函数值y＜0．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意得出d＜r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．【解答】解：∴⊙O的半径为5cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm，∴4＜5，即d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O 到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=16：81．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（）2=，故答案为：16：81．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．9．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为3（﹣1）cm（结果保留根号）．【考点】黄金分割．【专题】计算题．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC=AB=3（﹣1）．故本题答案为：3（﹣1）．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．10．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为4cm．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2，∴该圆锥的高为：=4．【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．11．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为8πcm．（结果保留π）【考点】弧长的计算；正多边形和圆．【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．【解答】解：方法一：先求出正六边形的每一个内角==120°，所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，得正六边形的每一个内角120°，每条弧的度数为120°，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．故答案为：8π．【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆．与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合．12．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为5m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，=，即=，解得：AM=5．故答案为：5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是3m．【考点】二次函数的应用．【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案；【解答】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，则1.8=﹣x2+2.4，解得：x=（负值舍去）故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数应用以及一元二次方程的解法，正确理解方程与函数关系是解题关键．14．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．【考点】圆周角定理．【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：连接AQ，BQ，∵∠P=45°，∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB=2，∴2BQ2=4，∴BQ=．故答案为：．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为x＜3或x＞5．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】直接利用函数图象即可得出结论．【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，函数图象在x轴的下方，∴函数y=a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c的图象与x轴的交点为3，5，∴等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0＜0的解集为x＜3或x＞5．故答案为：x＜3或x＞5．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．16．如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE=5，ED=1，则BC的长是2m．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OB，根据题意求出圆的半径，根据勾股定理求出BE，根据垂径定理的推论计算即可．【解答】解：连接OB，∵AE=5，ED=1，∴AD=6，∴OB=0D=3，OE=2，∵AD是直径，D为的中点，∴OE⊥BC，BE=EC，在Rt△OBE中，BE==，∴BC=2BE=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理及其推论和勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程：2x2﹣4x﹣6=0．（2）①直接写出函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标；②求函数y=2x2﹣4x﹣6的图象的顶点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；解一元二次方程-因式分解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）先把方程整理为x2﹣2x﹣3=0，然后利用因式分解法解方程；（2）①利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程2x2﹣4x﹣6=0可得到函数y=2x2﹣4x ﹣6的图象与x轴交点坐标，于是利用（1）中的解可直接得到交点坐标；②把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）解方程2x2﹣4x﹣6=0，整理得x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1；（2）①函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标（3，0），（﹣1，0）；②y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6=2（x﹣1）2﹣8，所以抛物线的顶点（1，﹣8）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了解一元二次方程和二次函数的性质．18．九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单位：分）：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是9.5分，乙队成绩的众数是10分；（2）计算乙队成绩的平均数和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是乙队．【考点】方差；加权平均数．【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：（10×4+8×2+7+9×3）=9，则方差是：[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．19．如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据=，可以求出FG ，由ED=FG ，只要求出=即可，根据相似三角形的性质即可求解；（2）根据正方形的角都是直角，其余两个角加起来为90°，根据对顶角、余角等关系，可以看出△AFH ，△DCG ，△DEA ，△GBH 均是相似三角形．【解答】解：（1）在正方形ABCD 和矩形DEFG 中，∠E=∠C=90°，∵∠EDA 与∠CDG 均为∠ADG 的余角，∴∠EDA=∠CDG ，∴△DEA ∽△DCG ，∴=∵ED=FG ，∴=，∵GD=10，AD=CD=8，∴=，∴FG=6.4；（2）△AFH ，△DCG ，△DEA ，△GBH 均是相似三角形．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在做题过程中，要找全相似三角形要，综合考虑，解题的关键是掌握相似三角形判定和性质．20．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为；（2）从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，再摸出1个球．求摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率． 【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的有6种情况，∴摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为：=；故答案为：；（2）编画树状图得：∵共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，摸出“1个是红球，1个白球”（记为事件B）的结果有6种，∴摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2019年销售额为2500万元，要使2019年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“在2019年销售额为2500万元，要使2019年“双十一”的销售额达到3600万元”，即可得出方程．【解答】解：设平均每年“双十一”销售额增长的百分率是x，根据题意得2500（1+x）2=3600，（1+x）2=，1+x=±，x1==20%，x2=﹣（不合题意，舍去），答：平均每年“双十一”销售额增长的百分率是20%．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．22．在作二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象时，先列出下表：x …﹣1 0 1 2 3 4 5 …y1…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 …y2…0 2 4 6 8 10 12 …请你根据表格信息回答下列问题，（1）二次函数y1=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为（0，﹣3）；（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；（3）请写出二次函数y1=ax2+bx+c的三条不同的性质．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）令x=0，求得y的数值，确定与y轴交点坐标即可；（2）先利用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式，求出两函数图象的交点，进而可得出结论；（3）利用二次函数的性质：开口方向，对称轴，增减性直接得出答案即可．【解答】解：（1）二次函数y1=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为（0，﹣3）；（2）由题意得，，解得．∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∵一次函数y2=kx+m的图象过点（﹣1，0），（0，2），∴，解得．∴一次函数的解析式为y=2x+2，如图所示，当x＜﹣1或x＞5时，二次函数的值大于一次函数的值．（3）该函数的图象开口向上；当x=1时，函数有最大值；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大；顶点坐标为（1，﹣4）；对称轴为直线x=1．【点评】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，结合图象，利用二次函数的性质解决问题．23．请探究两个等腰三角形相似的条件，用文字语言直接写出探究的结果即可．【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角．【解答】解：①顶角相等的两个等腰三角形相似；②底角相等的两个等腰三角形相似；③腰和底成比例的两个等腰三角形相似．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定．相似三角形的判定定理：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．24．（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）（2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹）【考点】作图—复杂作图；平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】（1）连结FH，分别过点E、F作FH的平行线交OH于N、M，根据平行线分线段成比例定理可得到OM=MN=NH；（2）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC与M，交AB与N，然后利用（1）的作法作MN的三等份点即可得到O点．【解答】解：（1）如图1，点M、N为所作；（2）如图2，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．（1）求证：AM与⊙O相切；（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切；（2）易证得△BAC∽△DAM，由相似三角形的性质得到=，得到=，根据AM=3DM，BC=2求得AC=6，在△DAM中，根据勾股定理得DM2+AD2=AM2，即可求得DM和AM，在△AMO中，根据AM2+MO2=AO2求得OM的长，即可得⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM．在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°∴∠BAC=∠DCA，∵OM=OC，∴∠OMC=∠OCM．∵∠BAC=∠DAM，∴∠DAM=∠OMC．∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．在△DAM中，∠D=90°，∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．∴∠OMC+∠DMA=90°．∴∠AMO=90°，∴AM⊥MO．点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，∴AM与⊙O相切．（2）在△BAC与△DAM中，∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，∴△BAC∽△DAM，∴=，∴=．∵AM=3DM，∴AC=3BC．BC=2，∴AC=6，在△DAM中，DM2+AD2=AM2即DM2+22=（3DM）2解得DM=．AM=．在△AMO中，AM2+MO2=AO2即（）2+MO2=（6﹣MO）2．解得MO=．【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．26．某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，得到矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，求得AD=3DE，于是得到y=x（55﹣x）=﹣x2+55x，自变量x的取值范围为：24≤x＜40；。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知关于x 的方程有一个根为，则另一个根为( )A. 5B.C. 2D.2.数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是( )A. 0和6 B. 0和8C. 5和8D. 5和63.已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）( )A. 最小值B. 最大值C. 最小值2D. 最大值24.是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分，则正确结论是( )A. B. C. D.5.下列命题中，正确的个数是( )三点确定一个圆； 平分弦的直径垂直于弦；相等的圆心角所对的弧相等； 正五边形是轴对称图形．A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个6.当时，函数的最小值为，最大值为1，则m 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.抛物线的顶点坐标是__________.8.一组数据：5、、3、4、6、，这组数据的极差是__________.9.若二次函数的图象经过，，三点，则、、大小关系是__________用“<”号连接10.圆锥底面圆的半径为4cm，其侧面展开图的圆心角，则圆锥母线长为__________11.把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得图象对应的二次函数解析式为__________.12.二次函数的部分对应值如下表：x…0135…y…707…则当时对应的函数值__________.13.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________.14.如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是__________15.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是__________填序号16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，的半径为1，点Q在上，连接PQ，若PQ与相切．则线段PQ的最小值为__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为2cm，则点P在⊙O( )A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是( )A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=03. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，87.5C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−m=0有一根为0，则m的值是( )A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−15. 如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则BE⏜的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=1的解是______．8. 已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为x，根据题意可列方程为______，x=______．10. 设x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则x1x2−x1−x2=______．11. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则由半径OA，OC和AC⏜围成的扇形的面积为______．12. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，另一组数据x1+2，x2+3，x3−5，x4−2，x5+1的平均数是b，则a______b(填写“>”、“<”或“=”)．13. 将半径为3cm面积为3πcm2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______cm．14. 如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD=ED，CD//AE，∠ABC=140°，则∠D=______．15. 已知m是方程x2−3x−1=0的一个根，则m3−10m=______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1.过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝3 2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．x⋯﹣1012⋯y⋯0343⋯下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D ＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？小敏的演算纸解：分别考虑LB为直角、钝角或锐角的情形．Ⅰ．∠B为直角易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角．设两条垂线段AE＝x，AF＝y．…Ⅲ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D；二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0；8．60π；9．y1＞y2；10．2π；11．﹣3；12．（﹣1，0）；13．45°或135°；14．220；15．35；16．2；三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）x1＝，x2＝．；18．（1）m的值是1．（2）点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．； 19．（1）证明见解析；（2）2．；20．斜边长为cm．；21．（1）y＝﹣（x+1）2+2；（2）﹣14≤y≤2．；22．见解答．；23．（1）见解析；（2）不可能，理由见解析．；24．（1）该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．；25．九月份的销售额为20万元．；26．4；27．234；。
2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）平面内，O 的半径为3，2OP =，则点P 在( )A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．以上都有可能2．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x ，则可列方程( )A ．2100(1)81x +=B ．2100(1)81x -=C ．281(1)100x +=D ．281(1)100x -=3．（2分）（2004•大连）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4．（2分）（2019秋•灵石县期末）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=5．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．120C ．140︒D ．160︒6．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图①，若BC 是Rt ABC ∆和Rt DBC ∆的公共斜边，则A 、B 、C 、D 在以BC 为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，ABC ∆的三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，则图②中“四点共圆”的组数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题（共20分）7．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 ． 8．（2分）（2019秋•鼓楼区期末）若扇形的半径长为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为 ．9．（2分）（2008•镇江）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 ．（结果保留)π10．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =，4CD =，则OC 的长为 ．11．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若x m =是方程2220190x x +-=的一个根，则(2)m m +的值为 ．12．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 与四边形ABCD 各边相切，若5AB =，6BC =，4CD =，则AD 的长为 ．13．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 半径为2，弦//AB 弦CD ，2AB =，22CD =，则AB 和CD 之间的距离 ．14．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若关于x 的方程2(3)30x k x k -++=的两根之差为8，则k 的值为 ．15．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的内接正方形一边，点C 在弧AB 上，且AC 是O 的内接正六边形的一边，若将BC 看作是O 的内接正n 边形的一边，则n 的值是 ．16．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根，则常数m 的值是 ．三、解答题（共88分）17．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解下列一元二次方程（1）(3)5(3)x x x +=+（2）22410x x ++=18．（7分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，AC BC =，AC 、BC 分别交O 于点D 、E ，连接DE ，求证：//DE AB ．19．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）已知关于x 的一元二次方程：2(21)20kx k x k ++++=．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若该方程的两根1x ，2x 满足12113x x +=-，求k 的值． 21．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，点C 、F 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，CD 的延长线交BF 于点E ，求证：BCE BFC ∠=∠．22．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，90ABM ∠=︒，O 分别切AB 、BM 于点D 、E ．AC 切O 于点F ，交BM 于点(C C 与B 不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若O 半径为1，4AD =，求AC 的长．23．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25)300m．求这个生物园的边ABm，面积是2的长．24．（8分）（2014秋•鼓楼区期末）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，BC CD=，过点C作CE AD⊥延长线于点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3AC=，求CE和AD的长．BC=，425．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在O上，点P是线段AB的中点，若B在O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）ABC∆始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．26．（9分）（2019秋•鼓楼区期中）已知O半径为1，若点P在O外且O上存在点A、B使得60APB∠=︒，则称点P是O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是O 的领域点（在横线上填“是”或“不是”)．①当 1.2OP=时，点P O的领域点②当2OP=时，点P O的领域点③当3OP=时，点P O的领域点（2）若点P是O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线(0)y x b b=-+>与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在O的领域点，求b的取值范围．27．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是11x =，22(x a =-、m 、b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题 小明的思路第1步把1，2-代入到第1个方程中求出m 的值；第2步把m 的值代入到第1个方程中求出b a-的值； 第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则“2x +”的值为 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程2222222(2)(22)20a b x b c x c a -+-+-=有两个相等的实数根，其中常数a 、b 、c是ABC ∆三边的长，判断ABC ∆的形状．2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12分）1．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）平面内，O 的半径为3，2OP =，则点P 在( )A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．以上都有可能【考点】8M ：点与圆的位置关系【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d r >时，点在圆外；当d r =时，点在圆上；当d r <时，点在圆内．【解答】解：3OP <，∴点P 在O 内部．故选：A ．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d r >时，点在圆外；当d r =时，点在圆上，当d r <时，点在圆内．2．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x ，则可列方程( )A ．2100(1)81x +=B ．2100(1)81x -=C ．281(1)100x +=D ．281(1)100x -=【考点】AC ：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：2100(1)81x -=．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2分）（2004•大连）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【考点】AA ：根的判别式【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△24b ac =-的值的符号就可以了．【解答】解：1a =，2b =，4c =，∴△2242414120b ac =-=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：D ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．4．（2分）（2019秋•灵石县期末）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=【考点】6A ：解一元二次方程-配方法；5A ：解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：2410x x +-=，2445x x ∴++=，2(2)5x ∴+=，故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．120C ．140︒D ．160︒【考点】4M ：圆心角、弧、弦的关系；5M ：圆周角定理；6M ：圆内接四边形的性质【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：四边形ABCD为O的内接四边形，110∠=︒，BCD∴∠=︒-∠=︒，18070A BCD由圆周角定理得，2140BOD A∠=∠=︒，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图①，若BC是Rt ABC∆的公共斜边，则A、∆和Rt DBCB、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，ABC∆的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为()A．2B．3C．4D．6【考点】@4：四点共圆【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A、F、H、)E，以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(B、F、H、)D，以CH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(C 、D 、H 、)E ， 以AB 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A 、E 、D 、)B ， 以BC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(B 、F 、E 、)C ， 以AC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A 、F 、D 、)C ， 共6组． 故选：D ．【点评】本题考查了四点共圆的判断方法．关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．二、填空题（共20分）7．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 (2)0x x -= ． 【考点】AB ：根与系数的关系【分析】根据以1x 2x 为根的一元二次方程为12()()0x x x x --=写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是(0)(2)0x x --=，即(2)0x x -=． 故答案为：(2)0x x -=．【点评】本题考查了一元二次方程和根与系数的关系，注意：以1x 2x 为根的一元二次方程为12()()0x x x x --=．8．（2分）（2019秋•鼓楼区期末）若扇形的半径长为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为π ．【考点】MN ：弧长的计算【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：一个扇形的半径长为3，且圆心角为60︒，∴此扇形的弧长为603180ππ⨯=． 故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式，熟记公式是解题的关键．9．（2分）（2008•镇江）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 2π ．（结果保留)π【考点】MP ：圆锥的计算【分析】圆锥侧面积=圆周率⨯底面圆的半径⨯母线长，依此列式计算即可．【解答】解：圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为122ππ⨯⨯=．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．10．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =，4CD =，则OC 的长为52．【考点】2M ：垂径定理；KQ ：勾股定理【分析】先利用垂径定理得到122CE DE CD ===，设OC r =，根据勾股定理得222(1)2r r -+=，然后解方程即可． 【解答】解：弦CD AB ⊥于点E ， 122CE DE CD ∴===，设OC r =，则1OE OA AE r =-=-， 在Rt COE ∆中，222(1)2r r -+=，解得52r =， 即OC 的长为52． 故答案为52． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．11．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若x m =是方程2220190x x +-=的一个根，则(2)m m +的值为 2019 ．【考点】3A ：一元二次方程的解【分析】把x m =代入方程求出222019m m +=，把(2)(2)m m m m ++代入求出即可． 【解答】解：根据题意，将x m =代入方程，得：2220190m m +-=，则222019m m +=，2(2)22019m m m m ∴+=+=． 故答案为：2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把22m m -当作一个整体来代入．12．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 与四边形ABCD 各边相切，若5AB =，6BC =，4CD =，则AD 的长为 3 ．【考点】MC ：切线的性质【分析】根据切线长定理可得AD BC AB CD +=+，即可求AD 的长度． 【解答】解：O 与四边形ABCD 各边相切， AD BC AB CD ∴+=+， 5AB =，6BC =，4CD =， 3AD ∴=，故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．13．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 半径为2，弦//AB 弦CD ，2AB =，22CD =，则AB 和CD 之间的距离 32或32 ．【考点】KQ ：勾股定理；KM ：等边三角形的判定与性质；2M ：垂径定理；JC ：平行线之间的距离【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解答】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图1所示，2AB =，22CD =， 1AF ∴=，2CE =，2OA OC ==，22222(2)2EO OC CE ∴=-=-=，223OF OA AF =-=， 32EF OF OE ∴=-=-；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图2所示，2AB =，22CD =， 1AE ∴=，2CF =，2OA OC ==，同法可得EO =，OF ，EF OF OE ∴=+=综上所述：AB 和CD【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键，注意辅助线的作法要正确．14．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若关于x 的方程2(3)30x k x k -++=的两根之差为8，则k 的值为 11或5- ．【考点】AB ：根与系数的关系【分析】由根与系数的关系可知：123x x k +=+，123x x k =；又知两根之差为8，即12||8x x -=，根据22121212()()4x x x x x x -=+-，建立等量关系求k ．【解答】解：由根与系数的关系可知：123x x k +=+，123x x k =． 由已知两根之差为8，得12||8x x -=，即212()64x x -=． 则21212()464x x x x +-=，2(3)4364k k +-⨯=， 解得11k =或5-． 故答案为：11或5-．【点评】考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的内接正方形一边，点C 在弧AB 上，且AC 是O 的内接正六边形的一边，若将BC 看作是O 的内接正n 边形的一边，则n 的值是 12 ．【考点】LE：正方形的性质；MM：正多边形和圆【分析】根据中心角的度数360∠的度数，则=︒÷边数，列式计算分别求出AOB∠，BOCn=︒÷中心角．∠=︒，则边数360AOC30【解答】解：连接OC，AB是O内接正方形的一边，∴∠=︒÷=︒，360490AOBBC是O内接正六边形的一边，BOC∴∠=︒÷=︒，360660∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，AOC AOB BOC906030∴=︒÷︒=；3603012n故答案为：12；【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．16．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若方程210++=有公共根，则常数x x mx mx++=和20m的值是2-．【考点】3A：一元二次方程的解【分析】先设公共根为t ，则210t mt ++=，20t t m ++=，把两方程相减得到(1)1m t m -=-，如果1m =，那么两个方程均为210x x ++=，△0<，不符合题意；如果1m ≠，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出110m ++=，解得m 的值即可．【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t ， 则210t mt ++=①， 20t t m ++=②，①-②得(1)1m t m -=-，如果1m =，那么两个方程均为210x x ++=，△2141130=-⨯⨯=-<，不符合题意； 如果1m ≠，那么1t =，把1t =代入①，得110m ++=，解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 三、解答题（共88分）17．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解下列一元二次方程 （1）(3)5(3)x x x +=+ （2）22410x x ++=【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法；6A ：解一元二次方程-配方法 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）(3)5(3)0x x x +-+=，(3)(5)0x x ∴+-=，则30x +=或50x -=， 解得3x =-或5x =；（2）2a =，4b =，1c =，∴△2442180=-⨯⨯=>，则42222x-±-±==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（7分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB是O的直径，AC BC=，AC、BC分别交O于点D、E，连接DE，求证：//DE AB．【考点】5M：圆周角定理【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明AC BC=，A B∴∠=∠，四边形ABCD是内接于O，CDE B∴∠=∠，CDE A∴∠=∠，//DE AB∴．【点评】此题考查圆周角定理，关键是内接四边形的性质解答．19．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为1x-，1x+，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为1x -，1x +， 由勾股定理得222(1)(1)x x x +=-+， 即(4)0x x -=， 10x ∴=，24x =，当0x =时，110x -=-<，1x -表示三角形的边长，不能为负数， 0x ∴=舍去，当4x =，1413x -=-=，1415x +=+=，∴它的三边长为3，4，5．【点评】考查了勾股定理，一元二次方程的应用，此题较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．20．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）已知关于x 的一元二次方程：2(21)20kx k x k ++++=． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若该方程的两根1x ，2x 满足12113x x +=-，求k 的值． 【考点】1A ：一元二次方程的定义；AB ：根与系数的关系；AA ：根的判别式【分析】（1）由x 的一元二次方程2(21)20kx k x k ++++=的两个实数根是1x 和2x ，可得0k ≠且△0>即可求出k 的取值范围， （2）根据根与系数的关系及12113x x +=-，即可求出k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根， 0k ∴≠且△2(21)4(2)0k k k =+-+>，解得：14k <且0k ≠， k ∴的取值范围：14k <且0k ≠． （2）一元二次方程2(21)20kx k x k ++++=的两个实数根是1x 和2x ， 1221k x x k +∴+=-，122k x x k+=， 12113x x +=-，∴12123x x x x +=-， ∴2132k k k k +-=-+， 解得：5k =-． 故k 的值是5-．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．21．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，点C 、F 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，CD 的延长线交BF 于点E ，求证：BCE BFC ∠=∠．【考点】5M ：圆周角定理【分析】连接AC ，利用圆周角定理得出CAB CFB ∠=∠，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC ，CAB ∠与CFB ∠所对弧为BC ，CAB CFB ∴∠=∠， 90CAB CBA ∠+∠=︒， 90BCE CBA ∠+∠=︒∴∠=∠=∠．BCE CAB CFB【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．22．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，90∠=︒，O分别切AB、BM于点D、E．ACABM切O于点F，交BM于点(C C与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若O半径为1，4AD=，求AC的长．【考点】3N：作图-复杂作图；MC：切线的性质【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF CE x==，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．O是ABC∆的内切圆，D，E，F是切点，∴∠=∠=∠=︒，90OEB ODB B∴四边形OEBD是矩形，1OE OD ==，∴四边形OEBD 是正方形，1BD BE ∴==，4AF AD ==，设CF CE x ==，在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，222(4)5(1)x x ∴+=++， 53x ∴=， 517433AC AF CF ∴=+=+=． 【点评】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）学校打算用50m 的篱笆围城一个矩形生物园ABCD ，生物园的一面靠墙MN （墙MN 可利用的长度为25)m ，面积是2300m ．求这个生物园的边AB 的长．【考点】AD ：一元二次方程的应用【分析】可设宽为x m ，则长为(502)x m -，根据等量关系：面积是2300m ．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为x m ，则长为(502)x m -．由题意，得(502)300x x -=，解得110x =，215x =．50225x -，12.5x ∴，15x ∴=．答：生物园的边AB的长15m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（8分）（2014秋•鼓楼区期末）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，BC CD=，过点C作CE AD⊥延长线于点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3AC=，求CE和AD的长．BC=，4【考点】MD：切线的判定【分析】（1）连接OC，OA OCOCE∠=︒；∠=∠，再由已知条件，可得90=，则OCA OAC（2）由CE是O的切线，得DCE CAE CAB∽，∠=∠=∠，从而求得CDE ABC∆∆∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例即可求得．ACE ABC【解答】解：（1）连接OC，=，OA OC∴∠=∠，OCA OAC=BC CDDC BC∴=，∴∠=∠，BAC CAD∴∠=∠，OCA CAD//∴，OC AEE∠=︒90∴⊥，OC CE∴是O的切线；CE（2）CE是O的切线，DCE CAE CAB ∴∠=∠=∠， AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，ACB E ∴∠=∠，CDE ABC ∴∆∆∽，ACE ABC ∆∆∽， ∴CE CD ED AC AB BC ==，AE AC AC AB= 3BC =，4AC =，5AB ∴=，3CD =，∴345CE =，335ED =，445AE = 125CE ∴=，95ED =，165AE =， 75AD AE ED ∴=-=．【点评】考查了切线的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性质，都是基础知识要熟练掌握．25．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 的半径为2，O 到定点A 的距离为5，点B 在O 上，点P 是线段AB 的中点，若B 在O 上运动一周．（1）点P 的运动路径是一个圆；（2）ABC ∆始终是一个等边三角形，直接写出PC 长的取值范围．（1）思路引导【考点】4O ：轨迹；KK ：等边三角形的性质【分析】（1）连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接OB ，HP ，则HP 是ABO ∆的中位线，得出112HP OB ==，即P 点到H 点的距离固定为1，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC 的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接OB ，HP ，如图1所示： 则HP 是ABO ∆的中位线，112HP OB ∴==， P ∴点到H 点的距离固定为1，B ∴在O 上运动一周，点P 运动的路径是以点H 为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO 并延长AO 交O 于点M 、N ，如图2所示：ABC ∆是等边三角形，点P 是线段AB 的中点，PC AB ∴⊥，1122PA PB AB BC ===，PC AB ∴==， 当点B 运动到点M 位置时，点P 运动到点P '位置，PC 最短，523AM OA OM =-=-=，1322AP AM '∴==，PC ∴=； 当点B 运动到点N 位置时，点P 运动到点P ''位置，PC 最长，527AN OA ON =+=+=，1722AP AN ''∴==，PC ∴；PC ∴73PC ．【点评】本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．26．（9分）（2019秋•鼓楼区期中）已知O半径为1，若点P在O外且O上存在点A、B使得60APB∠=︒，则称点P是O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是O的领域点（在横线上填“是”或“不是”)．①当 1.2OP=时，点P是O的领域点②当2OP=时，点P O的领域点③当3OP=时，点P O的领域点（2）若点P是O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线(0)y x b b=-+>与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在O的领域点，求b的取值范围．【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）根据点P是O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是O的领域点，则点P到O的两条切线PA与PB 之间的夹角为60︒，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y x b=-+的距离2OP=时，线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求出b的值即可．②利用①中结论，结合图象即可解决问题．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是O的领域点，图③中点P不是O的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是O的领域点，则点P到O的两条切线PA与PB之间的夹角为60︒，如图1，PA、PB与O分别相切于点A、B，90OAP OBP∴∠=∠=︒，1302APO BPO APB∠=∠=∠=︒．2OP OA ∴=．设O 的半径为r ，则点P 刚好是O 的领域点时2OP r =．所以若点P 是O 的领域点，则需点满足12OP <．（3）①如图2中，当点O 到直线y x b =-+的距离2OP =时，线段MN 上有且只有一个点是O 的领域点，(,0)M b ，(0,)N b ，OM ON ∴=，OP MN ⊥，PM PN ∴=，2OP PM PN ∴===，22OM ON ∴==22b ∴=∴当线段MN 上有且只有一个点是O 的领域点时22b =②观察图象可知，当线段MN 上存在O 的领域点，b 的取值范围为122b <．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，点P 是O 的领域点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．27．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是11x =，22(x a =-、m 、b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是 11x =-，24x =- ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则“2x +”的值为 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【考点】7A ：解一元二次方程-公式法；68：最简分式；AA ：根的判别式；1A ：一元二次方程的定义；AB ：根与系数的关系；KS ：勾股定理的逆定理 【分析】（1）把11x =，22x =-分别代入原方程求得12m =，于是得到原方程为：1()02a x b ++=，求得94b a -=，将12m =和94b a -=代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到1x =，即原方程可化成2(1)0m x -=的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把11x =，22x =-分别代入原方程得，22(1)0(2)0a m b a m b ⎧++=⎨-++=⎩， 解得：12m =，∴原方程为：1()02a xb ++=， 94b a ∴-=， 将12m =和94b a -=代入第2个方程得，259()24x +=， 解得：11x =-，24x =-；故答案为：11x =-，24x =-；（2）把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则2x +”的值为1或2-；故答案为：1或2-；（3）2222222(2)(22)20a b x b c x c a -+-+-=有两个相等的实数根，∴观察原方程可得1x =，即原方程可化成2(1)0m x -=的形式，由方程的结构特点可得，展开得：220mx mx m -+=，∴二次项系数和常数项相等，即222222a b c a -=-，222a b c ∴=+，ABC ∴∆是直角三角形，且90A ∠=︒．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义，勾股定理的逆定理，正确的理解题意是解题的关键．。
南京市鼓楼区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝1003．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题（共20分）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为．（结果保留π）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是．三、解答题（共88分）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝018．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P 是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选：A．2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝100【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程没有实数根．故选：D．4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：C．6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．二．填空题（共10小题）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程x（x﹣2）＝0 ．【分析】根据以x1x2为根的一元二次方程为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是（x﹣0）（x﹣2）＝0，即x（x﹣2）＝0．故答案为：x（x﹣2）＝0．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为π．【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为＝π．故答案为：π．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为2π．（结果保留π）【分析】圆锥侧面积＝圆周率×底面圆的半径×母线长，依此列式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为π×1×2＝2π．故答案为：2π．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．【分析】先利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r＝，即OC的长为．故答案为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为2019 ．【分析】把x＝m代入方程求出m2+2m＝2019，把m（m+2）m（m+2）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2+2m﹣2019＝0，则m2+2m＝2019，∴m（m+2）＝m2+2m＝2019．故答案为：2019．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 3 ．【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：∵⊙O与四边形ABCD各边相切，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝5，BC＝6，CD＝4，∴AD＝3，故答案为：3．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离﹣或+．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AF＝1，CE＝，∵OA＝OC＝2，∴EO＝＝＝，OF＝＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AE＝1，CF＝，∵OA＝OC＝2，同法可得EO＝，OF＝，∴EF＝OF+OE＝+；综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．故答案为：﹣或+．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为11或﹣5 ．【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k；又知两根之差为8，即|x1﹣x2|＝8，根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，建立等量关系求k．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k．由已知两根之差为8，得|x1﹣x2|＝8，即（x1﹣x2）2＝64．则（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，（k+3）2﹣4×3k＝64，解得k＝11或﹣5．故答案为：11或﹣5．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是12 ．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正方形的一边，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故答案为：12；16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是1或﹣2 ．【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m ﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．【解答】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，则t2+mt+1＝0①，t2+t+m＝0②，①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，那么t＝1，把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．故常数m的值为1或﹣2．故答案为：1或﹣2．三．解答题（共11小题）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+3）﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x＝﹣3或x＝5；（2）∵a＝2，b＝4，c＝1，∴△＝42﹣4×2×1＝8＞0，则x＝＝．18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵四边形ABCD是内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，由勾股定理得（x+1）2＝（x﹣1）2+x2，即x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，当x＝0时，x﹣1＝﹣1＜0，∵x﹣1表示三角形的边长，不能为负数，∴x＝0舍去，当x＝4，x﹣1＝4﹣1＝3，x+1＝4+1＝5，∴它的三边长为3，4，5．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．【分析】（1）由x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，可得k≠0且△＞0即可求出k的取值范围，（2）根据根与系数的关系及＝﹣3，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝（2k+1）2﹣4k（k+2）＞0，解得：k＜且k≠0，∴k的取值范围：k＜且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴＝﹣3，∴＝﹣3，解得：k＝﹣5．故k的值是﹣5．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．【分析】连接AC，利用圆周角定理得出∠CAB＝∠CFB，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC，∵∠CAB与∠CFB所对弧为，∴∠CAB＝∠CFB，∵∠CAB+∠CBA＝90°，∠BCE+∠CBA＝90°∴∠BCE＝∠CAB＝∠CFB．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，∴四边形OEBD是矩形，∵OE＝OD＝1，∴四边形OEBD是正方形，∴BD＝BE＝1，∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，∴（4+x）2＝52+（1+x）2，∴x＝，∴AC＝AF+CF＝4+＝．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．【分析】可设宽为xm，则长为（50﹣2x）m，根据等量关系：面积是300m2．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为xm，则长为（50﹣2x）m．由题意，得x•（50﹣2x）＝300，解得x1＝10，x2＝15．∵50﹣2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15．答：生物园的边AB的长15m．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．【分析】（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵＝∴DC＝BC，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴＝＝，＝∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，CD＝3，∴＝，＝，＝∴CE＝，ED＝，AE＝，∴AD＝AE﹣ED＝．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP＝OB＝1，∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC长的取值范围是≤PC≤．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是1＜OP≤2 ；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．【分析】（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA 与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O 的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA．设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝ON，∵OP⊥MN，∴PM＝PN，∴OP＝PM＝PN＝2，∴OM＝ON＝2，∴b＝2，∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时b＝2．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，∵OE＝EN′＝EM′＝1，∴ON′＝OM′＝，观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣4 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为1或﹣2 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程求得m＝，于是得到原方程为：a（x）+b＝0，求得﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得于是得到结论；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程得，，解得：m＝，∴原方程为：a（x）+b＝0，∴﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得，（x+）2＝，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4；故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则x+2”的值为1或﹣2；故答案为：1或﹣2；（3）∵（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，∴观察原方程可得x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，由方程的结构特点可得，展开得：mx2﹣2mx+m＝0，∴二次项系数和常数项相等，即a2﹣2b2＝2c2﹣a2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．。
人教版2018-2019学年九年级上学期期末考试数学试题(解析版)
人教版2018-2019学年九年级上学期期末考试数学试题(解析版）一、单选题：(每题只有一个正确答案，将正确答案序号填在表格中每题3分，共30分). 1．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=32．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直; C．对角线互相平分D．对角线平分对角3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．4．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4 B．6，5，10，15 C．3，2，6，4 D．15，3，4，105．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则+等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．47．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．196（1﹣x）2B．100（1﹣x）2=196;C．196（1+x）2=100;D．100（1+x）2=196 8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．59．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．C．D．二．填空题(每题3分,共15分)11．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．12．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为．13．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有条．（填具体数字）14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．15．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是．三、解答题(共55分)16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32 （2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．参考答案与试题解析一.单选题：每题只有一个正确答案，将正确答案序号填在表格中每题3分，共30分. 1．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分对角【考点】多边形．【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：袋子中球的总数为5+2=7，而红球有5个，则摸出红球的概率为．故选D．4．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4 B．6，5，10，15 C．3，2，6，4 D．15，3，4，10【考点】比例线段．【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、5×15≠6×10，故本选项错误；C、2×6=3×4，故选项正确；D、3×15≠4×10，故选项错误．故选C．5．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则+等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=4、x1•x2=1，将+通分后可得，再代入x1+x2=4、x1•x2=1即可求出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴x1+x2=4，x1•x2=1，+===4．故选D．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．7．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．196（1﹣x）2B．100（1﹣x）2=196 C．196（1+x）2=100 D．100（1+x）2=196【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2014年的产量为100（1+x），2015年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=196，故选：D．8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=AB=×10=5．故选D．9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．C． D．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，菱形ABCD中，∵AB=2，∠A=120°，∴AD=2，∠ADC=60°，过A作AE⊥CD于E，则AE=P′Q，∵AE=AD•cos60°=2×=，∴点P′到CD的距离为，∴PK+QK的最小值为．故选B．二．填空题11．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率．【解答】解：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为：【点评】本题主要考查了概率，解决问题的关键是掌握树状图法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为﹣3．【考点】一元二次方程的解．【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．【解答】解：2x﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，先求出x的值，再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键，是一道基础题．13．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有6条．（填具体数字）【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，得出△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=D C．【解答】解：∵AC=16，四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，故答案为：6．【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE 的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．15．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是24cm2．【考点】正方形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，先证明四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，解答出即可．【解答】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB=6cm，AD=8cm，∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF=6cm，EG=8cm，AC=BD，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=×FH×EG=×6×8=24cm2．故答案为24cm2．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是菱形及菱形面积的计算方法，是解答本题的关键．三、解答题(共55分)16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；（2）根据配方法可以求得方程的解．【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）=32去括号，得x2﹣2x﹣3=32移项及合并同类项，得x2﹣2x﹣35=0∴（x﹣7）（x+5）=0∴x﹣7=0或x+5=0，解得，x1=7，x2=﹣5；（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）∴∴，∴．17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF；（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠AFB，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，（2）解：∵AB=6，∴AF=6，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴===，∴．18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC=CD=x，∴△ABN∽△ACD，∴=，即=，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=；（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=；（3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．所以，P（4的倍数）=．或根据题意，画表格：由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）=．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，b，再把点A 坐标代入反比例函数y=，即可得出结论；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB 的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．【解答】解：（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，1=﹣b+4，解得a=3，b=3，∴A（1，3），B（3，1）；点A（1，3）代入反比例函数y=得k=3，∴反比例函数的表达式y=；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB 的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标（，0）．。
2018-2019学年九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定作业设计 (新版)北师大版
1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC 平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD 的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．考点：矩形的性质．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=O B=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．考点：矩形的性质．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE= 30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．考点：矩形的性质．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．二、填空题12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.考点：勾股定理的逆定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.三、解答题15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥B D，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．考点：1.矩形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面内，的半径为3，若点P 在外，则OP 的长可能为( )A. 4B. 3C. 2D. 12.一元二次方程的根的情况是2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根3.下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是( )A. 正方体集装箱的体积，棱长xmB. 高为14m 的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh ，距上海ykm 4.如图，D ，E 分别是的边AB ，AC 上的点，，，若的周长为6，则的周长等于( )A. 24B. 18C. 12D. 95.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为其中g 取值为小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s 后落地，则该建筑物的高度约为( )A. 98mB.C. 49mD. 6.平面直角坐标系内，已知点，，当时，若最大，则t 的值为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则为__________.8.点C是线段AB的黄金分割点，若，则__________9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为__________.10.一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为__________11.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为__________.12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本正确的序号为__________.13.如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则OA长为__________.14.分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为__________15.如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为，则灯杆AB的高度为__________16.中，，，点I是的内心，点O是的外心，则__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
南京市鼓楼区2018-2019学年八年级上期中数学试卷含答案解析
江苏省南京市鼓楼区2019〜2019学年度八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分•在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上）1 •在下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是（）2 •下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（）2 2 2A • 2, 3, 5B • 3, 4, 4 C. 3 , 4 , 5 D. 6, 8, 103.下列说法正确的是（）A •全等三角形是指形状相同的两个三角形B・全等三角形的周长和面积分别相等C・全等三角形是指面积相等的两个三角形D •所有的等边三角形都是全等三角形4.如图，在厶ABC中，AB=AC , AD是BC边上中线.若AB=10 , AD=8 ,则△ ABC的周长是（）A. 26B. 28C. 32D. 365 .如图，点O是厶ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB=OC ;②点O到AB、AC的距离相等；③点O到厶ABC的三边的距离相等；④点O在/ A的平分线上•其中结论正确的个数是6 .如图，在△ ABC 中，AB=BC，/ ACB=90 ° 点D、E 在AB 上，将△ ACD、△ BCE 分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A'、B 的位置，再将△ A CD、△ BCE分别沿A'C、B'C翻折，点D 与点E恰好重合于点O,则/ A OB 的度数是（）C. 3B. 120° C . 135° D . 150°二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分•不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题纸相应位置上）7•如图，△ ABC 中，/ ACB=90 °,以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S i , S 2, S 3已知 S i =15 , S 3=25，贝U S 2= _________ .8•已知等腰三角形一个外角等于80°则这个等腰三角形的顶角的度数是 __________________PD 丄DA ,垂足为D , PD=2 ,则点P 到OB 的距离是9•如图，已知/ BAC= / DAC ,请添加一个条件: 可）.____________ ，使△ ABC ◎△ ADC （写出一个即A . 90 匚;11•如图，在△ ABC中，/ B与/ C的平分线交于点0,过点0作DE // BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=9 , AC=7，贝U △ ADE 的周长是____________ •12 •如图，△ ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，/ ACD=90。
南京市联合体2018-2019学年九年级上期末数学试卷及答案
2019–2019学年度第一学期期末学情分析样题九年级数学(考试时间120分钟，试卷满分120分)一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．16 的值等于（ ▲ ）A ．4B ．–4C ．±4D ．2 2．二次函数y = x 2－2x +3的图象的顶点坐标是（ ▲ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ▲ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直4．顺次连接等腰梯形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 的形状为（ ▲ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形5．如图，在△ABC 中，点O 为△ABC 的内心，则∠OAC +∠OCB +∠OBAA ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 6．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的 ⌒EF 上， 若OA ＝2cm ，∠1＝∠2，则 ⌒EF的长为（ ▲ ） A ．π3 cm B ．2π3 cmC ．4π3 cmD ．8π3 cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线上．．．．．） 7．要使2–x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ．8．如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB =6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为 ▲ ． 9．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，． 如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是 ▲ ．10．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 ▲ cm 2．第8题第6题A P第9题11．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值应为___▲__°． 12．已知关于x 的一元二次方程（k +1）x 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 13．等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为 ▲ cm ．14．如图，两个半径为2cm 的等圆互相重叠，且各自的圆心都在另一个圆上，则两圆重叠部分的面积是 ▲cm 2．(结果保留π)15．二次函数y =－x 2+bx +c 的部分图象如图所示，图象的对称轴为过点（－1，0）且平行于y 轴的直线，图象与x 轴交于点（1，0），则一元二次方程－x 2+bx +c =0的根为 ▲ ．16．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1=x 2（x ≥0）与y 2=x 23（x ≥0）的图象于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，则DEAB = ▲ .三、解答题（本大题共11小题，共计88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程： 2x 2＋4x －1＝0 ．19．（6分）解方程： x (x –1)=2–2x ．20．（6分）为了迎接2019年江苏省“时代杯”数学竞赛，某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加比第14题第11题赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示： （1）根据题中已知信息，完成上述统计表（填入上表即可，不写过程）；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，理由是什么？ （参考公式：s 2= 1n[（x 1－_x )2+（x 2－_x )2+ … +（x n －_x )2] ．）21．（7分）已知二次函数y = x 2－2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．22．（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，且DE =DF ． （1）求证：△ADE ≌△CDF ；（2）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．23．（9分）如图，AP 是∠MAN 的平分线，B 是射线AN 上的一点，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，过第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均分 方差 小孙 75 90 75 90 70 70 小周708080908080AC点C 作CD ⊥AM 于点D ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若OA = 6，AD = 10，求CD 的长．24．（9分）如图，函数y =x －3的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 坐标为（–1，0）．一条抛物线经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）设点D 是线段AB 上的动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段DE 长度的最大值．25．（9分）七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：A三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．【运用】如图，已知：△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ，且∠ABC =45°，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，求证：FG +CD =BD ．小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下： 连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.（请你在下面的空白处完成小方的证明过程.）【操作】如图AB 是圆的直径，点C 在圆内，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出△ABC 中AB 边上的高．BAAE CDG BFBCA D EF G M HN 26．（11分）如图，梯形ABCD 是某世纪广场的示意图，上底AD=90m ，下底BC =150m ，高100m ，虚线MN 是梯形ABCD 的中位线．要设计修建宽度均x m 的一条横向和两条纵向大理石通道，横向通道EGHF 以MN 为中心线，两条纵向通道均与BC 垂直． （1）试用含x 的代数式表示横向通道EGHF 的面积1s ；（2）若三条通道的面积之和恰好是梯形ABCD 面积的14时，求通道宽度x ； （3）经测算大理石通道的修建费用1y （万元）与通道宽度为x m 的关系式为：114y x ，广场其余部分的绿化修建费用为0.05万元／2m ,若设计要求通道宽度x ≤8m ，则宽度x 为多少时，世纪广场修建总费用最少？最少费用为多少？27．（11分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（2）以P 为圆心，P A 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值． （3）在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出．．．．t 的值；备用图2019－2019学年第一学期期末学情分析样题(2)九年级数学答卷纸(考试时间120分钟，试卷满分120分)注意事项：1．答题前务必将密封线内的项目填写清楚．2．请用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）在答卷纸上按照题号顺序，在各题目的答题区域内作答书写，字体工整、笔迹清楚．在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共16分）7．．12．．8．．13．．9．．14．．10．．15．．11．．16．．三、计算与求解17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程：2x2＋4x－1＝0 ．19．（6分）解方程：x(x–1)=2–2x．20．平均分方差小孙70小周80数学试卷21．22． 23．AAC数学试卷24．25．运用：连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.BAAE CDGBF数学试卷BCA D E F G M HN 26． 27．备用图2019–2019学年度第一学期期末学情试卷参考答案及评分标准九年级数学说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每题2分，共12分）1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C二、填空题 (每小题2分，共20分)7．x ≤2 8．5 9．8 10．3π 11．40 12．k ＞－2且k ≠－113．8 14．83π－2 3 15．x 1=1，x 2=－3 16．3－ 3 三、解答题 (共88分)17．解：原式=（43－3）×6………………………………………………………………2分=33×6 …………………………………………………………………………4分= 9 2 …………………………………………………………………………6分18．解：(x +1)2 = 32………………………………………………………………………………3分 x 1=－1+62，x 2=－1－62………………………………………………………………6分 19．解：(x +2)( x －1)=0 …………………………………………………………………………3分x 1 =－2, x 2 = 1……………………………………………………………………………6分20．解：（1）80； 40． ………………………………………………………………………4分（2）选择小周参加比赛． ……………………………………………………………5分理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．……………………………………………6分21．解：（1）画图正确；…………………………………………………………………………2分（2）0＜x ＜2； …………………………………………………………………………4分（3）y =(x －4)2．（或y =x 2－8x+16）……………………………………………………7分22．解：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ∴∠AED =∠CFD =90°， ……………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，………………………………………………………………………3分在△AED 和△CFD 中, ∠AED =∠CFD ,∠A =∠C ,DE =DF ,∴△AED ≌△CFD （AAS ）； ……………………………………………………5分（2）四边形ABCD 是菱形． …………………………………………………………6分理由如下：∵△AED ≌△CFD ∴AD =CD ， ……………………………………7分又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形． ………………8分23．解：（1）直线DC 与⊙O 相切． …………………………1分理由如下：连接OC ， …………………………2分在⊙O 中，OA=OC ，∴∠OAC = ∠OCA ，∵AP 平分∠MAN ，∴∠DAC = ∠CAO ，∴∠DAC = ∠OCA ，∴AD ∥OC ， ……………3分又∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，且OC 为⊙O 半径，∴直线DC 与⊙O 相切． ………………………4分（2）解法一：连接CB ，………………………………………………………………5分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°， …………………………………………6分∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =90°，又∵∠DAC = ∠CAB ，∴△DAC ∽△ CAB ， …………………………………7分∴DA CA = CA BA ，即10CA = CA 12，CA 2=120， ………………………………………8分 ∴在Rt △ADC 中，CD =AC 2－AD 2 =20=25．………………………………9分解法二：作OE ⊥AD 于E ，………………………………………………………5分证OEDC 为矩形，…………………………………………………………………7分在Rt △OAE 中，OE =AO 2－AE 2=25=CD ．……………………………………9分24．解：（1）令x = 0，则y =－3，∴B （0, －3）；…………………………1分令y = 0，则x =3，∴A （3，0）…………………………………2分设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，……………3分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c =－3 0 =9a +3 b + c 0 = a － b + c ． 解之，得a = 1，b =－2 ，c = －3， 故函数的关系式为y = x 2 －2x －3．………………………………………5分（2）设D （x ，x －3），E （x ，x 2 －2x －3），(0≤x ≤3) ………………………6分则DE = x －3－（x 2 －2x －3）……………………………………………7分=－x 2 +3x =－(x －32)2+94， ………………………………………8分 故x = 32 时，DE 的最大值为 94 ． ……………………………………9分A25．解：（1）在Rt △ADB 中，AD =BD ，………………………1分∵在Rt △BCM 中，∠MBC =45°，∴∠BCM =45°，即∠DCF =45°，…………………2分∴在Rt △CFD 中，CD =DF ， ……………………3分∵FG ∥BC ，∴∠AGF =∠ABC =45°，∴在Rt △AFG 中，AF =FG ，………………………4分∴FG +CD =AF +DF =AD =BD ． ……………………5分（2）如右图，CG 即为所画的高，画图正确． ………9分26．解：（1）1120s x = ……………………………………………………2分（2）根据题意得： 21112021002(90150)10042x x x +⨯-=⨯⨯+⨯ …………4分 解得：110x =，2150x =（不合题意，舍去） ……………6分（3）y=0.05(12000-320x+2x 2)+14x ……………7分20.1(10)590x =-+ ……………9分∵x ≤8∴当x =8时，y 有最小值590．4（万元）． ……………11分27．解：在矩形ABCD 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，则AC =10，由题意得：AP =2t ，CP =10－2t ，CQ =t ，（1）过点P 作PF ⊥BC 于F ，可得△CPF ∽△ CAB ，∴PF AB = CP CA ，即PF 6 = 10－2t 10， ∴PF =6－65t ， ………2分 ∴S =12×QC ×PF =－35t 2+3t （0≤t ≤5）． ……………………3分 （2）∵△PCF ∽△ACB ， ∴PF PC FC AB AC BC ==，即1026108PF t FC -==，∴PF =665t -，FC =885t -， 则在Rt △PFQ 中，2222226841(6)(8)56100555PQ PF FQ t t t t t =+=-+--=-+． …………4分 ①当⊙P 与⊙Q 外切时，有PQ =P A +QC =3t ， 此时222415610095PQ t t t =-+=，整理得：2701250t t +-=， 解得t 1=156－35， t 2=－156－35（舍去）．………………………………6分A②当⊙P 与⊙Q 内切时，有PQ =P A －QC =t ， 此时22241561005PQ t t t =-+=，整理得：29701250t t -+=， 解得t 1= 259，t 2=5．……………………………………………………………8分 综上所述：⊙P 与⊙Q 相切时t =259或t =5或t =156－35． （3）当t = 103秒（此时PC =QC ），t = 259秒（此时PQ =QC ），或t = 8021秒（此时PQ =PC ）△CPQ 为等腰三角形． ……………………………………………………………………11分。