5.4 静电场的环路定理电势

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静电场的环路定理电势

(8-22)
静电场的环路定理电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的电势之差等于把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点电场力所做的功.电势差是绝对的.
静电场的环路定理电势
四、电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做的功都与路径无关，那么它们的代数和也必然与路径无关.由此可以得到以下结论：在任意带电体的电场中，电场力对试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电荷在该点产生场强的矢量和，即

静电场的环路定理静电场力的功电势能

静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量，其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静电场力的功、电势能

5-4静电场的环路定理电势

5－4 静电场的环路定理电势
电势差
b
Uab Va Vb
E dl
a
单位：伏特（V）
静电场力的功 A qVa Vb qUab
原子物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
注意
电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
++++++++++++
第五章静电17 场
5－4 静电场的环路定理电势一对等量异号点电荷的电场线和等势面
+
第五章静电18 场
rA A q0
第五章静电1 场
5－4 静电场的环路定理电势

点电荷的电场 A qq0 ( 1 1 )
4 π0 rA rB
结论：电场力对检验电荷
B
rB
dl
dr

E
r
所作的功,仅与检验电荷的始
末位置有关,而与路径无关.
q
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
rA A q0
结论：检验电荷在静电场中移动,电场力对它所作的功,仅与检验电荷的始末位置有关,而与路径无关.
x dx
O
l
P
a
x
解 q dq dx
l
V
l 0
1
4π 0
dx
al
x

4π 0
ln
al a

q
4π 0l
ln
al a
第五章静电14 场
5－4 静电场的环路定理电势
七、等势面等势面：空间电势相等的点连接起来所形成的面。

高二物理竞赛课件：静电场的环路定理、电势

q E 4πε0r 2
(r R)
r1 R
球体内的电场：
r2
ΦE
E 4πr2
1 ε0
4
q πR3
4 3
πr 3
1 ε0
qr 3 R3
3
E
qr 4πε0 R3
ρ 3ε0
r
(r R)
E
q
E连续
q
ρ 4 πR3
为电荷体密度。
oR
r
3
(3) 无限长均匀带电圆柱体的电场
（λ、R）：
电场具有轴对称分布。
➢ 静电场为保守场，静电场力质3
电势能、电势：
静电场为保守场，因而可引入电势能的概念：
静电场力对试探电荷q0所作的功等于q0电势能增量
的负值。
Q
APQ q0 E dl (WQ WP ) ΔW
P
APQ>0时，q0电势能减少； APQ<0时，q0电势能增加。
E
2 0
σ S
E
讨论：两块无限大带等量异号电荷的平行平面间的电场分布。
+σ −σ
+σ −σ
AB
AB
两板外： E0
两板间：
E
0
习题习9-2题9 ：一电荷体密度为ρ的均匀带电球体，r为球心
指向球内一点的位矢，球内挖一球形空腔，求空腔内的场强。
均匀带电球E体内ρ的r 电场分布:（P.159式9.4-7) 3ε0
荷由P移到Q时，电场力所作的功。
将电荷由P点移到Q点时电场力所作的功为： Q
APQ q E dl q( U P UQ )
P
➢ 电场中某点的电势能（电势）的值是相对的，而两点间的电势能差（电势差）是绝对的，与零点的选择无关。电势的零点也可选在其它地方。

5-4 静电场的环路定理电势

q3
q1
q4
例1 计算电偶极子电场中任一点的电势。解：设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P的电势为
y P
VP
q 40 r

q 40 r
-q
re/2
rr r+
式中 r + 与 r - 分别为 + q 和 - q 到P点的距离，由图可知
O
re/2
+q
x
re r r cos 2
点电荷系的电势电势叠加原理：点电荷系的电场中，某点的电势等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
1 qi V i 4 r 0 i
连续分布带电体的电势依据电荷分布特点将连续带电体分成许多电荷元，再根据电势叠加原理进行积分计算。 r3 r2
P
r1 r4
q2
V =
ò
dq 4pe0 r
q0由 p1到 p2电场力做功 r2 qqo 1 dr A= dA = ò 2 r 1 4pe0 r qqo 1 1 ( ) 做功与路径无关 4 0 r2 r1
ò
点电荷系的电场中根据电场的叠加性，试探电荷受多个电场作用
E E1 E2 En
电场力对试验电荷q0做功为
qre cos Pe r VP 2 3 4 0 r 4 0 r
例2 一半径为R 的圆环，均匀带有电荷量q 。计算圆环轴线上任一点P 处的电势。解：设环上电荷线密度为
环上任取一长度为 dl qdl 的电荷元，其所带电荷 dq = l dl = 2p R 该电荷元在p 点电势为：
安培
在闭合路径L上任取两点P1、P2，将L分成 L1、L2两段，
A L F dl q0 L E dl p p2 q0 p1 E dl q0 p E dl

静电场的环路定理

已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP

P

E dl

r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E

dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP

P
E
dr
rP
2 0r
dr

2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP

P0
P
E
dl

P
P
E dl

P0
P
E dl
r0 P0

P
P
2
0r
dr

2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳电场强度与电势的关系
积分关系：

【大学物理】静电场的环路定理电势等势面电势梯度

r r r r－ r l cos
r

r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R

q R

R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0，静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零点选取在无穷远处。这时，空间a点的电势能：
E pa

a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所共有。

2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势

四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1

高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势

dr
b
rb
dl
dr
E
r
q ra a q0
Aab
dA
rb ra
q0
E
dl
q0q
4 π0
rb dr r ra 2
q0q ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
b
rb
dl
dr
E
结论: 当检验电荷 q0 在电场中从 a 移到 b 点时, 电场力做的功 A 只与
r
q0 的始末位置有关, 与路径无关.
原子物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
2、点电荷系的电势
E Ei
i
VP E dl Ei dl
P
iP
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
P
E1
VP
VPi
i
i
qi （代数和）
4 π 0ri
点电荷系电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和，此即电势叠加原理。
电势定义：
Va
Wa q0
零点 E dl
a
③电势是相对于电势零点而言的，电势零点选择方法：
有限大小带电体通常以无穷远处为电势零点，实际问题中也常选取大地、电器外壳或某公共点为电势零点.
地球是一个带负电的大导体, 取地球为电势零点与取无穷远处
为电势零点是一致的.
④电势高低的判断:沿着电场线方向,电势降低 (dV E d l )
L
q0
E
dl
0
q0 0,
E dl 0
L
静电场的环路定理：静电场的电场强度沿任意闭合回路
的积分(称为静电场的环流)等于零。

静电场的环路定理、电势

R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关；电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点的电势之差（电压）

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q
令
V 0
er
r
VP
P
qdr E dl E dr r 2
P
4 πε0 r
q VP 4 πε0 r
第五章真空中的静电场
16
大学物理学
5.4 结论：
静电场的环路定理
电势
点电荷电场中，某点的电势与该点到点电荷的距离 r 成反比。当 q 0 时， 0 ，电场中各点 V 的电势都是正的，距离 q 越远，电势越低，在无限远处降到最小值为零。当 q 0 时， 0 ，电 V 场中的各点电势都是负的，距离 q 越远，电势越高，在无限远处升到最大值为零。
q x R ，VP 4πε0 x
dq
r
R
q 4 πε0 x 2 R 2
x
o x
第五章
o
x
P
x
真空中的静电场
大学物理学
思考通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的电势. 解以O为圆心，取半径为 r ,宽为 d r 的薄圆环，带电为
5.4
静电场的环路定理
电势
dq d S 2πrdr
n
dq VP 4πε0 r
第五章
真空中的静电场
22
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
例5-9 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上.求环轴线上距环心为x处的点P的电势. 解1 由电势叠加原理求电势 1 dq dq dVP 4πε0 r r R dl x 4 πε 0 r x o 2π R 1 q VP 0 2 π R dl 4πε0 r q q 2 2 4 πε 0 r 4πε0 x R
第五章
真空中的静电场
10
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
q0
电势
三、电势
1 电势
电势差
B
EpB VB

EPA
A
q0 E dl
V A EpA
E
试验电荷q0 在电场中某点的电势能 EA 与q0 成
正比，对于电场中给定的点，比值 EP / q0 常量，对于电场中不同的点，其比值不同。某点的电势能Ep与q0之比值与试验电荷无关，比值 EP / q0反映了本身的特性。
第五章真空中的静电场
12
大学物理学
5.4 说明
静电场的环路定理
A
电势
VA
E dl
（1）电势描述电场能的性质的物理量，与试探电荷是否存在无关。（2）电势是相对量,取决于电势零点的选取。
电势零点的选取:
当源电荷分布在有限区域时，常取无穷远处为电势零点；
当源电荷分布在无限区域，就不能选无穷远处为电势零点，此时可视具体情况，在电场中选一个合适的位置作为电势零点。
第五章真空中的静电场
13
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
在实际问题中，常取大地或电器的金属外壳等作为电势零点。
（3）电势是标量，但有正负。在电场中沿电力线的方向是电势降低的方向；同一电场线上任意两点的电势不相等。 2 电势差（电压）在实际问题中，需要用到的通常是两点之间的电势差，静电场中任意给定两点的电势之差是完全确定的。
A A
第五章
真空中的静电场
3
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
q0 q 1 1 q0 q 1 1 ( ) ( ) 4πε0 riA riB 4 πε0 r1 A r1B
q0 q i 1 1 ( ) riB i 4 πε0 riA
结论:
静电场力作功仅与q0的始末位置有关，与路径无关。
第五章真空中的静电场
11
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
某点的电势能EpA与q0之比值定义为该点的电势
E PA W A E dl VA A q0 q0
静电场中某点的电势，在数值上等于单位正电荷在该点具有的电势能，或把单位正电荷从该点沿任一路径移到无限远处时电场力作的功。物理意义：把单位正试验电荷从A点移到无限远处时静电场力作的功. 电势是标量，单位：伏特（ V ）
B
B
EpB
EpA
A
q0 E dl
E
A EpA
真空中的静电场
8
第五章
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
B A
电势
EpA
q0 E dl
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把q0从该点沿任意路径移到零势能处静电场力所作的功。一般规定无穷远处为电势能零点。
P
P
P
x
• x P dx
E
P

x
qx q dx 2 2 32 2 2 4π 0 ( x R ) 4π 0 x R
第五章真空中的静电场
24
大学物理学
5.4 讨论
VP
静电场的环路定理
q
电势
4πε0 x 2 R 2
q x 0 ，V0 4πε0 R
V
q 4 πε0 R
静电场力是保守力。静电场是保守场。
第五章真空中的静电场
4
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
2. 静电场的环路定理试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对q0做的功W =？ W q0 E dl 0
l
因为
q0 0
B
D
C
所以
E dl 0
AB
几种常见的电势差（V）生物电 10-3 普通干电池 1.5 汽车电源 12
第五章
家用电器 110或220 高压输电线已达5.5105 闪电 108109
真空中的静电场
15
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
四、电势的计算
1 点电荷电场中的电势点电荷的电场
P
E Eq Fra bibliotek e 2 r 4 πε0 r
第五章
真空中的静电场
17
大学物理学
5.4 电势的叠加原理
静电场的环路定理
电势
2 电势的叠加原理
点电荷系电场中的电势
如果电场是由 n个点电荷所激发，且选 V = 0，则P点的电势为 q1 VP E dl P P n q2 qi E Ei
i 1
qn
l
E
A
电场强度沿闭合回路的线积分 E dl，称为 l 电场强度的环流。
第五章真空中的静电场
5
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
E dl 0
l
静电场的静电场的环路定理环路定理
在静电场中，场强沿任意闭合路结论: 径的线积分恒为零。
静电场是无旋场，电场线不能是闭合的。
第五章
rA
r
A
dr dl C q0 E
dl cosθ dr
真空中的静电场
1
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
B
电场力作的总功 q0 q rB dr W 4πε0 rA r 2 q0 q 1 1 ( ) 4πε0 rA rB 结论:
rB
q O
rA
r
VP

VP1 VP 2 VPn VPi
第五章真空中的静电场
i 1
P
E1 d l E2 d l En d l
P
n
P
18
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点激发的电势的代数和。该结论称为电势叠加原理点电荷系电场中的电势
EPA WA

A
q0 E dl
电荷q0在电场中某点A的电势能，在数值上就等于将q0从A点移到无穷远处电场力所作的功。电势能的单位：焦耳（J）
第五章真空中的静电场
9
大学物理学
5.4
静电场的环路定理
电势
说明
（1）电势能仅与电荷q0及其在静电场的位置有关，可见电势能是属于电荷和电场整个系统的。（2）电势能是相对的，与电势能的零点选择有关，零电势能点选择是任意的，以处理问题方便为原则。一般当场源电荷分布在有限区域时，通常选择电荷在无穷远处的电势能为零。（3）电势能是标量，但有正负。
到P点距离
l x2 r 2
R
dr l x 2 r 2
r
o
x
P
x
1 dq 1 2πrdr d VP 4πε0 r 4πε0 x 2 r 2
第五章真空中的静电场
26
W
B
q1
A
F dl
r1 A
qi
riB
q2

dl
( F1 F2 Fi ) dl
B A
riA
A
q0
E
qn

B
A
B B F1 dl F2 dl Fi dl
场点P的距离
dq
r
P
如果电荷分布在有限区域，可选无限远处为电势零点。根据电势叠加原理，可得P点的电势