广东省北师大东莞石竹附中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷

广东省北师大东莞石竹附中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请把正确选项序号填在答题表）1．（5分）已知集合M={﹣3，﹣1，1，3}，N={﹣3，0，2，4}，则M∩N=（）A．{﹣3} B．∅C．{﹣3，3} D．{﹣3，﹣2，0，1，2}2．（5分）下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形3．（5分）若log72=a，log73=b，则log76=（）A．a+b B．a b C．D．4．（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7C．l og0.76＜60.7＜0.76D．l og0.76＜0.76＜60.75．（5分）下列命题中正确的是（）A．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱6．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）A．B．y=x﹣1C．y=x3D．y=2x7．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10 D．8．（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在上为增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（）A．8B．﹣8 C．0D．﹣4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上．）11．（5分）函数y=lg（1﹣x）的定义域为．12．（5分）函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈，的最小值为．13．（5分）若函数f（x）=x2+（a+3）x﹣1在18．（14分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=1+；（1）求f（2）的值及当x＞0时y=f（x）的解析式；（2）用定义法判断y=f（x）在区间（﹣∞，0]的单调性．19．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图．求四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB和PBC的面积．20．（14分）执信中学某研究性学习小组经过调查发现，提高广州大桥的车辆通行能力可改善整个广州大道的交通状况，在一般情况下，桥上车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．统计发现，当桥上的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度是50千米/小时，研究表明：当30≤x≤180时，车流速度v是车流密度的一次函数；（1）根据题意，当0≤x≤180时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流速度x多大时，车流量g（x）=x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．（注：车流量指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）广东省北师大东莞石竹附中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请把正确选项序号填在答题表）1．（5分）已知集合M={﹣3，﹣1，1，3}，N={﹣3，0，2，4}，则M∩N=（）A．{﹣3} B．∅C．{﹣3，3} D．{﹣3，﹣2，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵M={﹣3，﹣1，1，3}，N={﹣3，0，2，4}，∴M∩N={﹣3}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：根据公理2判断A和B，根据四个点在两平面的交线和公理3判断C，由空间四边形判断D．解答：解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、因为三角形的3个顶点不共线，所以由公理2知一定确定一个平面，故B正确；C、当A，B，C，D四点在两个平面的交线时，满足时两个平面的交点，但是这两个平面相交，故C不对；D、比如空间四边形则不是平面图形，故D不对．故选B．点评：本题的考点是平面公理2以及推论的应用，主要利用公理2的作用和公理中的关键条件进行判断，考查了空间想象能力．3．（5分）若log72=a，log73=b，则log76=（）A．a+b B．a b C．D．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则即可得出．解答：解：∵log72=a，log73=b，∴log76=log72+log73=a+b，故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则，属于基础题．4．（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7C．l og0.76＜60.7＜0.76D．l og0.76＜0.76＜60.7考点：不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数和对数函数的图象可以判断60.7，0.76，log0.76和0 和1的大小，从而可以判断60.7，0.76，log0.76的大小．解答：解：由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．点评：本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱考点：棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据棱柱，棱锥的概念性质判断，注意语言准确．解答：解：BD错在没有其余各面都是有公共边的四边形，这个条件；C错在：其余各面都没有一个公共顶点的三角形这个条件．故选：A点评：本题考查了空间几何题的概念性质，属于容易题．6．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）A．B．y=x﹣1C．y=x3D．y=2x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：常规题型；计算题．分析：定义域为考点：异面直线及其所成的角．分析：建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出异面直线EF与GH所成的角的大小．解答：解：设正方体AC1的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意知E（2，0，1），F（2，1，0），G（2，2，1），H（1，2，2），∴，=（﹣1，0，1），设异面直线EF与GH所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴θ=60°．故选：C．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．9．（5分）已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3） C．（2，3] D．（2，+∞）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，a＞1，并且f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，可得a的范围，而且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，求得结果．解答：解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，所以2＜a≤3故选C点评：本题考查函数的单调性，分段函数等知识，是基础题．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在上为增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（）A．8B．﹣8 C．0D．﹣4考点：根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．专题：压轴题；数形结合．分析：由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．解答：解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故选B．点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上．）11．（5分）函数y=lg（1﹣x）的定义域为（﹣∞，1）．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的性质求解．解答：解：y=lg（1﹣x）的定义域满足{x|1﹣x＞0}，解得：{x|x＜1}．∴函数y=lg（1﹣x）的定义域为（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要认真审题．12．（5分）函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈，的最小值为﹣4．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求出二次函数的对称轴，研究函数在x∈的单调性，解出最值．解答：解：函数y=﹣x2﹣4x+1的图象开口向下，对称轴是x=﹣2，由二次函数的性质知，函数在上是增函数，在上函数是减函数x=1时取得最小值﹣4，故答案为；﹣4．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，解答本题关键是根据二次函数的性质判断出函数在何处取到最值，二次函数在闭区间上最值在高中数学中应用十分广泛，一些求最值的问题最后往往归结到二次函数的最值上来．13．（5分）若函数f（x）=x2+（a+3）x﹣1在幂函数f（x）=xα的图象过点M（2，4），所以4=2α，解得α=2；所以幂函数为f（x）=x2则f（3）=9．故答案为：9．点评：本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15．（12分）求值（1）log2（+2）+log2（2﹣）；（2）（2）﹣（﹣）0﹣（3）+（1.5）﹣2+．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用对数的运算性质即可得出；（2）利用指数幂的运算性质即可得出．解答：解：（1）原式==log21=0；（2）原式=﹣1﹣++﹣1=﹣1﹣++﹣1=+．点评：本题考查了指数幂与对数的运算性质，属于基础题．16．（12分）设函数的定义域为集合A，不等式log2（x﹣1）≤1的解集为集合B．（1）求集合A，B；（2）求集合A∪B，A∩（∁R B）．考点：指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）因为集合A是函数的定义域，只需求使函数有意义的x的值即可，也就是使函数中的被开方数大于等于0即可．集合B是不等式log2（x﹣1）≤1的解集，只需把不等号左右两边换成同底的对数，再利用对数函数的单调性解不等式即可．（2）利用交集，并集，补集的运算定义和运算律计算即可．解答：解：（1）要使函数有意义，需满足x+1≥0，即x≥﹣1，∴函数的定义域为{x|x≥﹣1}，即A={x|x≥﹣1}，不等式log2（x﹣1）≤1变形为log2（x﹣1）≤log21，∴，解得1＜x≤3，即B={x|1＜x≤3}（2）由（1）得A∪B={x|x≥﹣1}∪{x|1＜x≤3}={x|x≥﹣1}∵C R B={x|x≤1或x＞3}，∴A∩（C R B）={x|x≥﹣1}∩{x|x≤1或x＞3}={x|﹣1≤x≤1或x＞3}∴A∪B={x|x≥﹣1}，A∩（C R B）={x|﹣1≤x≤1或x＞3}点评：本题考查了函数定义域的求法，简单的对数不等式的解法，集合的交集、并集、补集的定义和运算，属基础题17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，A1A=AC=BC=1，AB=，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣ABC1的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；转化思想；空间位置关系与距离．分析：（I）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，通过证明DE∥AC1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．（II）要求三棱锥A1﹣ABC1的体积，转化为求出底面A1AC1的面积，说明BC为三棱锥B ﹣A1AC1的高；即可求解．解答：（本小题满分12分）证明：（I）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，…（3分）∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．…（5分）（II）底面三边长AC=BC=1，AB=，∴AC⊥BC，…（7分）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BC；而A1A∩AC=C，∴BC⊥面AA1C1C，则BC为三棱锥B﹣A1AC1的高；…（9分）∴．…（12分）（注：若用其他方法求得，相同标准给分）点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，棱锥的体积的求法，考查转化思想与计算能力．18．（14分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=1+；（1）求f（2）的值及当x＞0时y=f（x）的解析式；（2）用定义法判断y=f（x）在区间（﹣∞，0]的单调性．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据已知条件，设x＞0，那么﹣x＜0，所以可求f（﹣x）=．这样便可求f（2），x＞0时f（x）的解析式；（2）首先确定x∈（﹣∞，0]时，f（x）=，根据单调性的定义，设x1＜x2≤0，通过作差比较f（x1），f（x2）的大小，从而判断出f（x）在（﹣∞，0]的单调性．解答：解：（1）设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=；∴x＞0时，；f（2）=；（2）x∈（﹣∞，0]时，f（x）=；设x1＜x2≤0，则：=；∵x1＜x2≤0；∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0；f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．点评：考查偶函数的定义，已知x＜0时的解析式，根据f（x）的奇偶性求x＞0时解析式的求法，以及函数单调性的定义，根据单调性的定义判断函数的单调性．19．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图．求四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB和PBC的面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：取CD的中点E，连接PE、AE．由三视图的形状并结合面面垂直、线面垂直的性质，算出PE，PF，利用三角形全等，判断三角形的形状，可算出△PAB的面积，然后求解三角形PAC的面积．解答：解：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE⊥平面ABCD．…（2分）在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，在Rt△PED中，PE=，…（4分）过E作E⊥AB，垂足为F，则F为A B中点，连接PF，…（5分）在Rt△PEF中，PF=，…（6分）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴AE=BE∴Rt△PAE≌Rt△PBE，∴PA=PB，∵F为中点∴AB⊥PF．…（8分）∴△PAB的面积为S=．…（9分）∵PE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PE．∵BC⊥CD，CD∩PE=C，∴BC⊥平面PCD．…（11分）∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC依题意得PC=3，BC=2．∴△PBC的面积为S=．…（13分）点评：本题给出三视图，要求我们证明线线垂直并求侧面三角形的面积，着重考查了三视图求面积和面面垂直、线面垂直的性质定理等知识，属于中档题．20．（14分）执信中学某研究性学习小组经过调查发现，提高广州大桥的车辆通行能力可改善整个广州大道的交通状况，在一般情况下，桥上车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．统计发现，当桥上的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度是50千米/小时，研究表明：当30≤x≤180时，车流速度v是车流密度的一次函数；（1）根据题意，当0≤x≤180时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流速度x多大时，车流量g（x）=x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．（注：车流量指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得当0≤x≤30时v（x）的解析式，设出当30≤x≤180时的一次函数解析式，代入点求得一次函数解析式，最后分段写出函数v（x）的表达式；（2）利用f（x）=x•v（x）求得函数f（x）的解析式，然后分段求出每一段内的最值，求最值中的最大者得答案．解答：解：（1）由题意：当0≤x≤30时，v（x）=50；当30≤x≤180时，v（x）=ax+b再由已知得，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）故函数v（x）的表达式为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）依题并由（I）可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当0≤x≤30时，g（x）为增函数，故当x=30时，其最大值为50×30=1500﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当30＜x≤180时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）对比可得：当x=90时，g（x）在区间上取得最大值为2700，即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值为2700辆/小时．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值为2700辆/小时．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了分段函数解析式的求法，分段函数的最值得求法，分段函数的最值要分段求，是中档题．。