复数的加减乘除
复数的加减乘除
三、知识新授：
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
学
以 致
讲解例题
用
例1 计算
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i)
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (- 6 - 1- 4)i = - 11i
解：
y 向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi Z 及复数 c + di对应，则 1 ,= (a, b) OZ Z 2 (c , d ) OZ 2 = (c, d ) OZ = OZ1 + OZ 2 Z1 ( a , b ) = ( a , b ) + ( c, d ) O x = ( a + c, b + d )
yZ 1
复数减法的几何意义：
OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1
O
Z2
x
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
简化算式复数运算
简化算式复数运算复数运算是数学中的一部分，也是代数学中的基础内容之一。
在复数运算中，我们常常需要对复数进行加减乘除等操作，并通过简化算式将复杂的计算结果变得更加清晰和易于理解。
本文将介绍一些常见的方法和技巧来简化算式复数运算。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实部相加（减）、虚部相加（减）的原则。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数。
则它们的和是(a+c)+(b+d)i，差是(a-c)+(b-d)i。
例如，要计算(3+4i)+(2-5i)的结果，我们可以将实部和虚部分别相加，得到(3+2)+(4-5)i=5-i。
二、复数的乘法复数的乘法使用分配律和虚数单位i的平方等于-1的性质。
设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积可以通过以下步骤来计算：1. 先将a和c相乘，得到实部的部分；2. 然后将bi和di相乘，得到虚部的部分；3. 最后将实部和虚部相加。
例如，要计算(2+3i)(4+5i)的结果，按照上述步骤进行计算：实部：(2)(4)+(3)(5)=8+15=23；虚部：(2)(5i)+(3i)(4)=10i+12i=22i；结果：23+22i。
三、复数的除法复数的除法需要先将除号转化为乘号，然后利用分母的共轭形式对分子和分母进行有理化处理。
设有两个复数a+bi和c+di，要将它们除以一起，可以按照以下步骤进行计算：1. 将除号转化为乘号，即将除数的共轭复数作为分子的一部分；2. 有理化分子和分母；3. 进行分子和分母的复数乘法运算，得到结果。
例如，要计算(2+3i)/(4+5i)的结果，按照上述步骤进行计算：共轭形式：(2+3i)(4-5i)=8+12i-10i-15i^2=23-2i；有理化：(2+3i)/(4+5i)=[(2+3i)(4-5i)]/[(4+5i)(4-5i)]；分子：(2+3i)(4-5i)=23-2i；分母：(4+5i)(4-5i)=16+25=41；结果：(23-2i)/41。
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
复数的加减乘除教案
复数的加减乘除教案教案概述：本教案旨在帮助学生理解和掌握复数的加减乘除运算。
教案将依次介绍复数的定义和表示、复数的加减法、复数的乘法以及复数的除法。
通过清晰的解释、例题演示和练习题，激发学生对复数运算的兴趣，并提高他们的计算能力和问题解决能力。
教学目标：1. 理解复数的定义和表示方法；2. 掌握复数的加减法运算规则；3. 掌握复数的乘法运算规则；4. 了解复数的除法运算规则；5. 能够运用所学知识解决相关问题。
教学准备：1. 多媒体教学设备；2. 教学投影幻灯片或黑板；3. 打印或复制教材相关内容。
教学过程：Step 1: 引入复数概念（约10分钟）1. 利用多媒体设备或黑板展示复数的定义和表示方法；2. 解释什么是实数、虚数和复数，并给出示例；3. 解释虚数单位i的含义和性质。
Step 2: 复数的加减法（约20分钟）1. 解释复数的加法和减法运算规则，并给出示例；2. 执行示例运算，确保学生理解；3. 给出练习题，让学生进行实操。
Step 3: 复数的乘法（约25分钟）1. 解释复数的乘法运算规则，并给出示例；2. 执行示例运算，确保学生理解；3. 强调乘积的实部和虚部的计算方法，并进行实例演示；4. 给出练习题，让学生进行实操。
Step 4: 复数的除法（约25分钟）1. 了解复数的除法运算规则，并给出示例；2. 执行示例运算，确保学生理解；3. 强调商的实部和虚部的计算方法，并进行实例演示；4. 提醒学生注意除法中分母不能为零的情况；5. 给出练习题，让学生进行实操。
Step 5: 总结和拓展（约10分钟）1. 小结复数的加减乘除运算规则；2. 鼓励学生进行课堂互动，提出问题并讨论；3. 提供一些拓展问题，激发学生对复数运算的深入思考。
教学反思：通过本节课的教学，学生对复数的加减乘除运算有了更深入的理解。
教师在讲解环节中要注重例题的演示和练习题的巩固，确保学生能够熟练运用所学知识解决实际问题。
复数的运算与应用推导与历史演变
复数的运算与应用推导与历史演变复数是数学中的一个重要概念，它的出现使得我们可以更加方便地处理一些实际问题。
本文将探讨复数的运算与应用，并对其历史演变进行简要回顾。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常以a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，i为虚数单位。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，与实数运算类似。
二、复数运算规则及推导1. 加法与减法复数的加法与减法是将实部和虚部分别相加或相减。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
2. 乘法复数的乘法涉及虚数单位i的平方。
当两个复数相乘时，先将实部相乘并减去虚部相乘，再将实部和虚部相乘并加上实部相乘的相反数，最终得到一个新的复数。
例如，(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 除法复数的除法可以将除数乘以其共轭复数，并除以共轭复数的模的平方。
例如，(a+bi)/(c+di)=((a+bi)*(c-di))/((c+di)*(c-di))。
通过以上运算规则，我们可以进行复数的加减乘除的运算，从而解决一些实际问题。
三、复数的应用推导1. 电路分析在电路分析中，复数常常用于描述交流电信号的幅值和相位。
利用复数的运算规则，我们可以方便地计算电路中的电流、电压和功率等参数。
2. 信号处理在信号处理中，复数广泛应用于频域分析和滤波器设计等领域。
通过将时域信号转换为频域复数信号，我们可以更好地理解和处理信号的频谱特性。
3. 物理学中的波动现象复数在描述波动现象中的应用也非常重要。
例如，光学中的相干性理论和电磁波的传播等都离不开复数的运算和应用。
四、复数的历史演变复数的概念最早出现在16世纪，由意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺提出。
然而，当时复数的引入遭到了很大的争议，被许多数学家视为荒谬和无用的概念，甚至被当时的牛顿嘲笑为“无理数的无理数”。
大学复变函数与积分变换复习.
复变函数与积分变换第一课一、复数的加减乘除举例：①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i=5+7i例例2：已知z=3+3i，w= − ，试求Re(w)，Im(w)。
+w=z−1=3+3i−1=2+3i=18+ 1 iz+i 3+3i+i 3+4i 25 25Re(w)=18，Im(w)= 125 25三、求某复数的共轭复数例1：已知z=9−10i，试求。
例2例1∴ |z|=√12 + 12=√2∵ arg(z)∈(−π,π]∴ arg(z)=π4Arg(z)=π+2kπ，k=0,±1,±2···4例2：已知w=−2+2i，试求w 的模、辐角、辐角主值。
∵ Re(w)=−2，Im(w)=2五、复数的开方例 1：求 √|z|=|16|=16，θ=arg(16)=04 1 0+2kπ 0+2kπ √16=16 4 (cos4 + isin 4 ) =2(cos kπ + isin kπ)，k=0,1,2,32 2例 1∴ 三角式 z=4[cos (− 5 π) + isin (− 5 π)]6 6i·(−5π) 指数式 z=4e 6例2：将z=4(° + °)化为代数式、指数式。
r=4，θ=30°∴ x=rcosθ=4cos30°=2√3y=rsinθ=4sin30°=2∴ 代数式z=2√3+2ii·30°i·π指数式z=4e =4e 6复变函数与积分变换第二课一、将由x、y 表示的方程化为复数形式例1：将2x+3y=1 化为复数形式。
x = z+z将{ 2代入原方程y = z−z2i则例1将即x=2= ⋯三、将{= ⋯ 形式的参数方程化为复数形式化为复数形式。
例1：将{ = += +z=x+yi=(t+1)+i·(t2+1)= ⋯四、将复数形式的参数方程化为{= ⋯ 形式/一般形式例1：将z=(1+i)t+2+i 化为一般形式。
复数四则运算
复数四则运算复数是由实数和虚数相结合而成的数，它由实部和虚部构成，它可以表示出一个点在复平面上的位置，复数的书写形式有两种：一种是标准形式，即 a + bi（a 为实部 b 为虚部）；另一种是简写形式，即 z = a + bi。
实数：数就是我们所熟知的数，例如 0,1、2、3、4、5，以及无穷大或无穷小的正负数，它们的定义不仅受正数限制，也受负数制。
虚数：虚数是以“i”开头的单位，其中“i”代表负根号 -1。
虚数一般以 a + bi形式来表示，其中 a 为实部，b 为虚部，虚数的概念只在二元函数的图像中有意义，而不能在三元函数的图像中表示。
二、复数四则运算1、加法复数之间的加法运算，就是把两个复数实部和虚部分别相加，得到新的复数，例如：(3 + 5i) + (2 + 3i) = (3 + 2) + (5 + 3i) = 5 + 8i2、减法复数之间的减法运算，先把第二个复数的实部和虚部分别变成相反数，然后用加法计算出差值，例如：(3 + 5i) - (2 + 3i) = (3 -2) + (5 - 3i) = 1 + 2i3、乘法复数之间的乘法运算，是先将两个复数分别按照一定规则拆分开来，然后用公式乘出其积值，例如：(3 + 5i) (2 + 3i) = 3×2 + 3×3i + 5i×2 + 5i×3i = 6 + 15i - 10i - 15i = 6 - 15i4、除法复数之间的除法运算，首先将分母改写成乘法形式，然后将分子和分母分别按照一定规则拆分开来，最后用公式除出其商值，例如：(3 + 5i)÷ (2 + 3i) = (3 + 5i) (2 - 3i)÷ (2 + 3i) (2 - 3i) =(6 - 15i)÷ (4 - 9i) = (6 - 15i)÷ 13(2 - 3i) = 6/13 + (-15i)/13三、复数的性质1、复数可以与实数进行四则运算（加减乘除），但不能与实数求反元。
复数的三角表示与运算
复数的三角表示与运算复数是由实数部分和虚数部分构成的数，可以用多种方式进行表示和运算。
其中，三角表示法是一种常见且有效的表达形式，可以方便地进行复数的运算。
本文将介绍复数的三角表示形式以及如何进行复数的加减乘除运算。
一、复数的三角表示形式复数可以用直角坐标系或极坐标系的方式表示，其中，三角表示法是极坐标系的一种形式。
复数的三角表示形式为：z = r(cosθ + i sinθ)其中，r表示复数的模长（即绝对值），θ表示复数的辐角（即幅角），i为虚数单位。
二、复数的加减运算对于两个复数z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2)，其加法形式为：z = z1 + z2= (r1cosθ1 + r2cosθ2) + i(r1sinθ1 + r2sinθ2)可以通过直接将实部和虚部进行相加得到结果。
而对于减法运算，其形式为：z = z1 - z2= (r1cosθ1 - r2cosθ2) + i(r1sinθ1 - r2sinθ2)同样地，可以通过直接将实部和虚部相减得到结果。
三、复数的乘法运算对于两个复数z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2)，它们的乘法形式为：z = z1 * z2= r1r2[(cosθ1*cosθ2 - sinθ1*sinθ2) + i(cosθ1*sinθ2 + sinθ1*cosθ2)]乘法运算需要利用三角函数的乘积公式进行展开计算。
四、复数的除法运算对于两个复数z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2)，它们的除法形式为：z = z1 / z2= (r1/r2)[(cos(θ1-θ2) + i sin(θ1-θ2))]除法运算需要将分母的复数转化为共轭复数，并进行化简计算。
五、例题演示假设有两个复数z1 = 2(cosπ/4 + i sinπ/4)和z2 = 3(cosπ/6 + i sinπ/6)，我们分别来演示加减乘除运算。
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复数的加减乘除
复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成。
在初中数学中，我们学
习了复数的加减乘除运算，这些运算不仅在数学中有重要的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要的作用。
本文将介绍复数的加减乘除运算，并通过实例来说明其应用。
一、复数的加法
复数的加法运算与实数的加法类似，只需将实部与实部相加，虚部与虚部相加
即可。
例如，要计算(3+2i)+(1-4i)，我们只需将实部3和1相加，虚部2i和-4i相加，得到结果4-2i。
复数的加法运算可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，
实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的加法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相加，得到的结果就是两个复数的和。
二、复数的减法
复数的减法运算也与实数的减法类似，只需将实部与实部相减，虚部与虚部相
减即可。
例如，要计算(3+2i)-(1-4i)，我们只需将实部3和1相减，虚部2i和-4i相减，得到结果2+6i。
复数的减法运算也可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的减法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相减，得到的结果就是两个复数的差。
三、复数的乘法
复数的乘法运算是复数运算中最重要的一种运算，它有着广泛的应用。
两个复
数的乘法可以通过分配律和乘法公式来计算。
例如，要计算(3+2i)×(1-4i)，我们可
以先将分配律应用到实部和虚部上，得到(3×1-3×4i+2i×1-2i×4i)，然后根据乘法公
式化简，得到(3-12i+2i-8i²)，再根据i的定义化简，得到(11-10i)。
复数的乘法运算可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，
实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的乘法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相乘，得到的结果就是两个复数的乘积。
四、复数的除法
复数的除法运算是复数运算中最复杂的一种运算，它需要用到共轭复数的概念。
两个复数的除法可以通过乘以倒数来计算。
例如，要计算(3+2i)/(1-4i)，我们可以
先将分母的共轭复数(1+4i)乘以分子，得到(3+2i)(1+4i)，然后根据乘法公式化简，
得到(-5+14i)。
最后，将结果除以分母的模长的平方，得到(-5+14i)/(1²+(-4)²)=(-
5+14i)/17。
复数的除法运算同样可以用几何方法来理解。
我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
对于两个复数的除法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相除，得到的结果就是两个复数的商。
总结：
复数的加减乘除运算是数学中的重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
通过了解复数的加减乘除运算规则，并通过几何方法来理解，我们可以更好地应用复数解决实际问题。
希望同学们能够掌握复数的加减乘除运算，并能够灵活运用于实际问题中。