《算法导论》第33章 凸包问题
凸包问题的分治算法
凸包问题的分治算法
姓名：任小康，梅冬，连如鹤 学号：2011211706，2011211732，2011211707 学院：计算机学院 班级：0491102
凸包问题描述
凸包问题可以描述为：给定一个点集P，求最小点集S， 使得S构成的形状能包含P[1]。一般的研究主要针对二维平 面上和三维空间上的凸包，因为他们在更多的应用中能发挥 作用。 凸包的定义为：平面的一个子集S被称为是“凸”的， 当且进当对于任意两点p,q∈S，线段都完全属于S。几何S 的凸包CH(S)，就是包含S的最小凸集，更准确地说，它是 包含S的所有凸集的交。由此还可以推出凸包的很多性质， 包括一条直线如果与凸包相交（不是相切）的话，最多交于 两条边或者两即为点集Q={p0，p1， p2，...，p11，p12}的凸包。
一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸边形，既 是凸包问题。 • 形象地说：在一平木板（平面）上钉若干钉子（点）， 将一橡皮筋套上去后，会把钉子圈起来，形成一个凸边形， 即为该点集的凸包。
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致谢《算法设计与分析基础》
感谢您的关注
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分治法是一种很基础的算法。基本思路是将问题分解为 等价的几个子问题，对子问题进行递归分解和求解，然后将 子问题的解合成为所求的解。 由此，可以得到一种最简单的凸包分治算法：将点集依 照某种划分方法分为N部分，对每个部分求子凸包，最后将 几个子凸包合成一个更大的凸包。
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由此就可得到凸包问题的分治算法。 根据分治算法的思路，凸包问题的分支算法有着很好的 平均效率，一般会把问题平均分成为两个比较小的子问题， 这样会把效率提高很多。
凸包convexhullppt课件
Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长 我们先来看一个问题，POJ 1113。 题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。 解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远 点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。 个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简 单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法： 这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法 就像一对卡壳卡住凸包 旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对 踵点的个数不超过3N/2个 也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问 题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;
凸包算法
长 江 大 学 地 球 科 学 学 院
遗留有一个问题 就是处理共线的问题 有时候我们需要凸包边上的点也考虑到 有时候却需要去掉这些点 我们通常称在凸包顶点处的点为极点 如果我们只要求保留极点而去除在边上的点 我们只需在取外侧的点的时候 碰到共线的点取最远的 相反 如果我们要保留所有在边上的点我们只需要在共线的点中取最近的 同样由于参考点的性质 所有向量之间的到角都是在180度以内 不会产生错误
我们经常关注一个点集的凸包 这也是计算几何学的一个基本问题，现在 已经有成熟的算法可以求出平面点集的凸包，凸包有着优美而实用的 性质 我们可以利用凸包把一个杂乱的点集所包含的信息进行有效的 概括、梳理。
2 Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)
Graham扫描算法维护一个凸壳 通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响 凸性的点 最后形成凸包 算法主体由两部分组成 先是排序 后是扫描 分块讲解一下
void Graham(int n) { int i,top=2; Pt[n]=Pt[0]; Stack[0]=Pt[0]; Stack[1]=Pt[1]; Stack[2]=Pt[2]; for(i=3;i<=n;i++) { while(Cross(Stack[top1],Stack[top],Pt[i])<=0&&top>1) top--; Stack[++top]=Pt[i]; } }
有了向量 我们就可以选取一个最外侧的点了
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利用向量 我们可以比较哪个点"更外侧" 比如点K和点I 我们利用向量JK乘以向量JI得到一个数 这 个数应该是负数 说明I比K更外侧 两个向量的比较具有传递性 所以我们可以像N个数里取 最大的数一样取出最外侧的 遍历所有点 每个点都和现有最外侧的点比较 得到新的最 外侧的点
凸包——精选推荐
凸包算法模型想象在⼀个平⾯上钉下了n个钉⼦。
现在有⼀根橡⽪筋，我们把它撑开，期望在松⼿之后橡⽪筋可以收缩，包住所有的n个钉⼦。
事实上，这正是⼀个凸包。
如下图：引⼊凸包的概念：凸包，定义为周长最⼩的包含点集中所有点的凸多边形。
即使存在某个凹多边形的周长与凸包相等且可以包含所有点，这个凹多边形也⼀定不是凸包。
如下图，这个凹多边形不是该点集的凸包：凸包问题属于计算⼏何，通常可以使⽤Andrew,Graham,Jarvis，斜率逼近等算法求解。
本⽂将着重介绍其中思想通俗、代码简单的Andrew算法。
由于求解凸包需要⼀些前置的计算⼏何知识，本⽂将会介绍⼀些基础计算⼏何知识。
前置知识引进向量的概念。
在数学中，向量指同时具有⼤⼩和⽅向的量，与之相对的量称为数量。
数量只有⼤⼩，没有⽅向。
向量可以⽤⼀条带箭头的线段来形象地表⽰：箭头代表⽅向，线段的长度代表向量的⼤⼩。
如果向量的起点为A，终点为B，则这个向量可以记作→ab。
两个向量→x1,y1和→x2,y2的外积称之为叉积，它的结果是⼀个向量。
叉积的计算⽅法是 (x1y2)−(x2y1) ，记为→x1,y1×→x2,y2。
对于两个向量→ab,→bc，如果它们的叉积>0 ，说明→ab在→bc的顺时针⽅向；如果它们的叉积=0，说明→ab和→bc共线；如果它们的叉积<0，说明→ab在→bc的逆时针⽅向。
算法思想凸包Andrew算法的思想⾮常简单。
我们⾸先把点集按照以x坐标为第⼀关键字，以y坐标为第⼆关键字的⽅式进⾏双关键字从⼩到⼤排序，排序后的第⼀个点就是我们选出的极点。
两个关键字的顺序可以调换。
如下图，点 1 就是该点集的极点。
接着，我们从极点开始逆时针考虑将每⼀个点都加⼊凸包。
显然我们排序后的第⼀个点和最后⼀个点⼀定在凸包上。
从第⼆个点开始，我们假设当前点可以加⼊凸包。
设凸包上此时有m个点，第m−1 个点和第m个点分别是a,b，当前要加⼊凸包的点为c。
【算法】凸包问题--分治法
【算法】凸包问题--分治法凸包问题--分治法求能够完全包含平⾯上n个给定点的凸多边形。
⽰例：⼀、分治法：（⼀）算法思路：（这⾥所说的直线都是有向直线的。
）将数组升序排序，若x轴坐标相同，按照y轴坐标升序排序。
最左边的点p1和最右边的点p_n⼀定是该集合凸包的顶点。
该直线将点分为两个集合，上包为S1，下包为S2。
在p1 p_n线上的点不可能是凸包的顶点，所以不⽤考虑。
在上包S1中，找到p_max(距离直线p1p_n最远距离的点)，若有两个距离同样远的点，取∠p_max p1 p_n最⼤的那个点（即△p_max p1 p_n⾯积最⼤）。
（⼀次递归到这⾥结束）找出S1中所有在直线p1 p_max左边的点，这些点中⼀定有构成上包中左半部分边界的顶点，⽤上⾯的算法递归查找点，直到上包就是以p1和p_n 为端点的线段。
下包S2中找下边界同理。
*如何判断点是否在直线p1 p_max左边（同 p1 p_n上⽅）？如果q1（x1，y1），q2（x2，y2），q3（x3，y3）是平⾯上的任意三个点，那么三⾓形△q1 q2 q3的⾯积等于下⾯这个⾏列式绝对值的⼆分之⼀。
当且仅当点q3=（x3，y3）位于直线q1 q2的左侧时，该表达式的符号为正，该点位于两个点确定的直线的左侧。
（⼆）实现中碰到的问题如何⽤快速排序来排序Point类（内有坐标x,y）的⼀维数组？按照x坐标排序很简单，若碰到x相同，y不同的怎么办？在快排的原基础上修改，以j向前逼近说明：（第⼀个while循环）当前⽐较数的横坐标>基准点的时，j向前逼近。
此处不加等于号，排序是不稳定的，即相等元素的相对位置可能发⽣改变。
（快排详见博客：（第⼆个while为添加内容）⽐较相等元素的纵坐标，基准点的更⼩，j继续向前逼近，即相等元素的相对位置不发⽣改变；否则，则改变。
也就是将原来快排中while循环拆分为两个，增加相等元素另外⽐较纵坐标的情况。
while (i < j && points[j].getX() > center.getX()) {j--;}while (i < j && center.getX() == points[j].getX() && points[j].getY() > center.getY()) {j--;}/** (i<j)若points[j].getX()< center.getX()或 center.getX() ==* points[j].getX()且points[j].getY()<center.getY() 以上两种情况，需要赋值*/if (i < j)// 跳出循环也有可能时因为i=j，所以这⾥要判断⼀下points[i++] = points[j];如果使⽤全局数组visit标识点是否访问，能确定凸包的所有顶点，但怎么顺序输出?在已经求的凸包顶点⾥逐⼀确定边界，判断是不是所有点都在这条边界的⼀侧，如果是则确定⼀条边界。
文档：凸包问题-graham扫描
凸包问题-graham扫描{graham扫描法通过设置一个关于后选点的堆栈s来解决凸包问题。
输入集合Q中的每个点都被压入栈一次，非ch(Q)中的顶点的点最终会被弹出堆栈。
当算法终止时，堆栈s中仅包含ch(Q)中的顶点，其顺序为各点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。
过程graham_scan的输入点集Q，它调用函数top(s),以便在不改变堆栈s的情况下，返回处于栈顶的点，并调用函数next_to_top(s),来返回处于堆栈顶部下面的那个点，切不改变栈s。
} {graham_scan寻找凸报，时间复杂度为O(nlgn),但我用的选择排序，所以成O(n2)的了1、let p0 be the point in Q with the minimum y-coordinate,or the leftmost such point in case of a tie2、let<p1,p2,p3...pm>be the remaining points in Q,sorted by polar angle in counterclockwise order around p0(if more than one point has the same angle,remove all butthe one that is farthest from p03、push(p0,s)4、push(p1,s)5、push(p2,s)6、for i:=3 to m dowhile the angle formed by points next-to-top(s),top(s),and(pi) makes a nonleft trun8、do pop(s)9、push(pi,s),10、retur s}{copyright 陈舒伟,对已知的一些点寻找凸包}program xxxxxx;consteps=1e-6;typetpoint=record//点类型x,y:longint;end;varq:array[1..1000]of tpoint;//初始点级ch:array[1..1000]of tpoint;//最后寸凸包的点的数组qq:array[1..1000]of tpoint;//排序后的点集；co:array[1..1000]of double;//初始coscoo:array[1..1000]of double;//排序后的cosd:array[1..1000]of double;//r，计算cos用x/rdd:array[1..1000]of double;//排序后的rn,tail:longint;procedure find_min_y;{找出y坐标最小点}vari,j:longint;t:tpoint;beginfor i:=2 to n doif (q[1].y>q[i].y)or((q[1].y=q[i].y)and(q[1].x>q[i].x)) thenbegint:=q[1];q[1]:=q[i];q[i]:=t;end;end;procedure cal_cos;//计算点到定点的cos极角；vari:longint;x,y:longint;beginfor i:=2 to n dobeginx:=q[i].x-q[1].x;y:=q[i].y-q[1].y;d[i]:=sqrt(x*x+y*y);co[i]:=x/d[i];end;end;function same(a,b:double):boolean;beginsame:=abs(a-b)<eps;end;procedure sort_and_ok;{根据极角从小到大排序，如果有相同极角的只取最外面的一个}vari,j:longint;x:double;t:tpoint;tt:double;beginfor i:=2 to n-1 dofor j:=i+1 to n doif (co[j]-co[j]>eps)or((same(co[i],co[j]))and(d[i]>d[j])) then begint:=q[i];q[i]:=q[j];q[j]:=t;x:=co[i];co[i]:=co[j];co[j]:=x;tt:=d[i];d[i]:=d[j];d[j]:=tt;end;qq:=q;coo:=co;dd:=d;tail:=n;end;procedure init;//初始化，读数vari:longint;beginread(n);for i:=1 to n doread(q[i].x,q[i].y);find_min_y;//找出凸包的第一个点，y坐标最小点，如果有多个最小，取最左边的；cal_cos;//计算每个点到顶点的cossort_and_ok;//根据cos的值，可以根据极角从小到大排序；end;function area2(pa,pb,pc:tpoint):double;{判断是否符合凸包条件，向量都是向左转，逆时针方向的}beginarea2:=(pb.x-pa.x)*(pc.y-pa.y)-(pc.x-pa.x)*(pb.y-pa.y);end;procedure build;//构建凸包的过程vari,j,k:longint;beginch[1]:=qq[1];ch[2]:=qq[2];ch[3]:=qq[3];//初始化，栈中存三个点j:=3;for i:=4 to tail do//依次扫描后面的点，选取新的点构建凸包beginif area2(ch[j-1],ch[j],qq[i])<0 then//如果新的点又向量右转得到begin//那么肯定不是凸包，对原来的进行一次调整ch[j]:=qq[i];k:=j-1;while area2(ch[k-1],ch[k],ch[j])<0 dobegindec(j);ch[j]:=qq[i];k:=j-1;end;endelse begininc(j);ch[j]:=qq[i];end;end;for i:=1 to j dowriteln(ch[i].x,' ',ch[i].y);end;beginassign(input,'a.in');assign(output,'a.out');reset(input);rewrite(output);init;build;close(output);end.。
凸包
凸包问题实例——果园篱笆
问题描述：
某大学ACM集训队，不久前向学校申请了一块空地，成为自己的果 园。全体队员兴高采烈的策划方案，种植了大批果树，有梨树、桃树、 香蕉……。后来，发现有些坏蛋，他们暗地里偷摘果园的果子，被ACM 集训队队员们发现了。因此，大家商量解决办法，有人提出：修筑一 圈篱笆，把果园围起来，但是由于我们的经费有限，必须尽量节省资 金，所以，我们要找出一种最合理的方案。由于每道篱笆，无论长度 多少，都是同等价钱。所以，大家希望设计出来的修筑一圈篱笆的方 案所花费的资金最少。有人已经做了准备工作，统计了果园里所有果 树的位置，每棵果树分别用二维坐标来表示，进行定位。现在，他们 要求全体队员，每人给出一个最合理的方案，来解决修筑篱笆所遇到 的困难。要求根据所有的果树的位置，找出一个n边形的最小篱笆，使 得所有果树都包围在篱笆内部，或者在篱笆边沿上。
凸包问题的分治法
分治法：所谓分治法就是把问题划分成多个子问题来进 行处理。这些子问题，在结构上与原来的问题一样，但 在规模上比原来的小。如果得到的子问题相对来说还大， 可以反复地使用分治策略，把这些子问题再划分成更小 的、结构相同的子问题。这样就可以使用递归的方法， 分别求解这些子问题，把这些子问题的解结合起来，从 而获得原来问题的解。
凸包问题的分治解法
第三步：递归求解得到凸多边形的边。 第四步：合并这些边即得所求凸包。
凸包问题的分治法
算法复杂性：利用分治法考虑凸包问题， 关键步骤是点集按横坐标排序，算法复杂 性是(n log n) 。故凸包问题的分治法的算法 复杂性是(n log n) 。
凸包问题的分治解法
第一步：把给定点集中的点在横坐标方向上按照 大小排序。如下图பைடு நூலகம்示，P1 和 Pn 必定是凸多边形 的两个顶点。
关于凸包问题
关于凸包问题Graham扫描法基本思想：通过设置⼀个关于候选点的堆栈s来解决凸包问题。
操作：输⼊集合Q中的每⼀个点都被压⼊栈⼀次，⾮CH（Q）(表⽰Q的凸包)中的顶点的点最终将被弹出堆栈，当算法终⽌时，堆栈S中仅包含CH(Q)中的顶点，其顺序为个各顶点在边界上出现的逆时针⽅向排列的顺序。
注：下列过程要求|Q|>=3，它调⽤函数TOP（S）返回处于堆栈S 顶部的点，并调⽤函数NEXT-TO –TOP（S）返回处于堆栈顶部下⾯的那个点。
但不改变堆栈的结构。
GRAHAM-SCAN(Q)1 设P0 是Q 中Y 坐标最⼩的点，如果有多个这样的点则取最左边的点作为P0；2 设<P1,P2,……,Pm>是Q 中剩余的点，对其按逆时针⽅向相对P0 的极⾓进⾏排序，如果有数个点有相同的极⾓，则去掉其余的点，只留下⼀个与P0 距离最远的那个点；3 PUSH(p0 , S)4 PUSH(p1 , S)5 PUSH(p3 , S)6 for i ← 3 to m7 do while 由点NEXT-TOP-TOP（S），TOP（S）和Pi 所形成的⾓形成⼀次⾮左转8 do POP(S)9 PUSH(pi , S)10 return S⾸先，找⼀个凸包上的点，把这个点放到第⼀个点的位置P0。
然后把P1~Pm 按照P0Pi的⽅向排序，可以⽤⽮量积(叉积)判定。
做好了预处理后开始对堆栈中的点<p3,p4,...,pm>中的每⼀个点进⾏迭代，在第7到8⾏的while循环把发现不是凸包中的顶点的点从堆栈中移去。
（原理：沿逆时针⽅向通过凸包时，在每个顶点处应该向左转。
因此，while循环每次发现在⼀个顶点处没有向左转时，就把该顶点从堆栈中弹出。
）当算法向点pi推进、在已经弹出所有⾮左转的顶点后，就把pi压⼊堆栈中。
举例如下： ⽮量的概念： 如果⼀条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
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《算法导论》第33章凸包问题
目录
1.凸包问题的定义和背景
2.凸包问题的应用
3.凸包问题的解决方案
4.凸包问题的算法分析
5.凸包问题的实际应用案例
正文
一、凸包问题的定义和背景
凸包问题是计算机图形学和计算几何中的一个经典问题。
它指的是给定一组二维或三维空间中的点，寻找一个最小的凸多边形，使得这个多边形包含了所有的点。
也就是说，任意一个点只要在凸包内部，就能被凸包上的某一点所见到，反之则不能。
二、凸包问题的应用
凸包问题在计算机图形学和计算几何中有广泛的应用，例如：
1.几何优化：通过凸包可以得到一组点的最小包围，可以应用于几何形状的优化和压缩。
2.碰撞检测：在计算机图形学中，凸包可以用于检测物体的碰撞，只要两个物体的凸包有交集，就说明两个物体发生了碰撞。
3.可视化：在数据可视化中，凸包可以帮助我们快速找到一组数据的主要分布区域。
三、凸包问题的解决方案
凸包问题的解决方案主要有以下几种：
1.基于三角剖分的方法：该方法通过将凸包分解成若干个三角形，然后利用三角形的性质来求解凸包。
2.基于团问题的方法：该方法将凸包问题转化为求解团问题，然后再将团问题转化为组合优化问题进行求解。
3.基于 Graham 扫描的方法：该方法是一种基于扫描线的方法，通过扫描线逐点扫描点集，可以快速得到凸包。
四、凸包问题的算法分析
以上三种方法都有对应的时间复杂度和空间复杂度。
例如，基于三角剖分的方法的时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为 O(n)；基于团问题的方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)；基于 Graham 扫描的方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。
五、凸包问题的实际应用案例
以碰撞检测为例，假设我们有两个物体 A 和 B，每个物体由多个点组成。
我们可以通过计算物体 A 和 B 的凸包，然后检测两个凸包是否有交集，如果有，就说明两个物体发生了碰撞。