初中数学分类讨论专题

分类讨论专题

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

分类的原则：

（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；

（3）分类讨论应逐级有序进行．

（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.

综合中考的复习规律，分类讨论的知识点可分为三大类：

1.代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限

等.

2.几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.

3.综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.

代数类

考点1 与数与式有关的分类讨论

1.化简：|x-1|+|x-2|

2.已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。

(1)求a的取值范围；

(2)试用a表示|α|+|β|。

3. 代数式

a a

b b ab ab ||||||

++的所有可能的值有（ ） A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 无数个

考点2 与方程有关的分类讨论

4. 解方程：①（a -2）x =b -1 ②试解关于x 的方程111

=--x )x (

5. 关于x 的方程2

2

(21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（）

A ．4k ≤ B.104

k k ≤

≠或 C.k<14 D. k≥14

6. 已知关于x 的方程2

2(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围

（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.

考点3 函数部分

7. 一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（ ）。

A. 14

B. -6

C. -4或21

D. -6或14

8. 设一次函数21y ax a =-+-的图象不经过第一象限，求a 的取值范围。

9. 比较一次函数12y x =与二次函数2

212

y x =

的函数值y 1与y 2的大小。

10. 图9是二次函数k m x y ++=2

)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；

（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

【变式】就b 的取值范围，讨论.直线)1(<+=b b x y 与此图象有公共点的个数

图9

几何类

一、与等腰三角形有关的分类讨论

考点4 与角有关的分类讨论

1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________

考点5 与边有关的分类讨论

1.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.

考点6 与高有关的分类讨论

1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.

30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿3.为美化环境，计划在某小区内用2

地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.

4.如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.

Q

P

考点7 综合应用

1. 在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2），试在x 轴上确定点P ，使△AOP

为等腰三角形，求符合条件的点P 的坐标

2. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连

接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是

3. 直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点. (1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；（2）当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？

y

x

P

O T 1 1

b

a

y

x

A

O

A （－2，2）

y

x

o

二、与圆有关的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.

考点8 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论

1.已知点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.

考点9 由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论

1.A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=136o，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB

的度数是___________.

考点10 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论

1.已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最

大深度.

考点11 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论

1.⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD的度数.

考点12 由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论

1.已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移个

单位时，它与x轴相切.

2. 如图，直线4

43

y x =-

+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N （1）求M ，N 两点的坐标； （2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线4

43

y x =-+相切，

求点P 的坐标.

考点13 由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论

1. 已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是

cm ．

2. 如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半

径为2，将⊙A 由图示位置向右平移 个单位长后，⊙A 与⊙B 相切．

3. 如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a ，0)，半径为5，如果两圆

内含，那么a 的取值范围是_________．

y

x

5

3(a ，0)

O

A B

4. 在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线

CM x ∥轴（如图7所示）

．点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；

（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切，求⊙O 的半径．

三、与直角三角形有关的分类讨论

1. 已知点M （0，1），N （0，3），在直线y=2x ＋4上找一点P 使△MPN 为直角三角形，

求点P 的坐标.

2. 如图，已知抛物线C 1：()522

-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A

在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的关系式；（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为

C M

O x

y 1

2 3

4 1- 图7

A 1

B D

y x b =+

顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．

四、与相似三角形有关的分类讨论 考点14 对应边不确定

1. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻，动点M 从A 点出发沿

AB 方向以1cm ／s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm ／s 的速度向A 点匀速运动，问：是否存在时刻t ，使以A,.M,N 为顶点的三角形与ΔACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

考点15 对应角不确定

1. 如图1，∠A=500，∠B=600，一直线l 与△ABC 的边AC 、AB 边相交于点D 、E 两点，

当∠ADE 为________度时，△ABC 与△ADE 相似.

A

B

C D

M

N

A B

C

E D

l

图1

y

x

A

O B

P

M

图1 C 1

C 2

C 3

图（1）

y

x

A

O B P N

图2 C 1

C 4

Q

E

F 图（2）

考点16 图形的位置不确定

1. 在平面直角坐标系中，已知点P （－2，－1）. 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A. 点T 为坐标轴上的一点.若以P ，O ，T 为顶点的三角形与△AOP 相似,请写出点T 的坐标? 【变式】 若点T 在第四象限

,请写出点T 的坐标.

2. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°． （1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折

线ADC 于点N ，连结PN ，设EP ＝x ．

①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

F E

A

D

B

C 图5(备用) F E A D

B

C

图4(备用)

F E

A D

B

C

图2

N P M

F E

A D

B

C 图3

M P N

F E A D

B

C

图1

课下巩固练习

一、填空题：

1. 已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．

2. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .

3. 已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．

4. 等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．

5. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如

图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.

二、选择题：

1. 若等腰三角形的一个内角为500，则其他两个内角为 （ ）

A ．500 ，80o

B ．650， 650

C ．500 ，650

D ．500，800或 650，650 2. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则

A ．5或－1

B ．－5或1;

C ．5或1

D ．－5或－1 3. 等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ） A ．5cm B.3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定

4. 若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．300 B 、600 C ．1500 D ．300或 1500

5. 若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的

半径为（ ） A. 2

a b

+ B.

2

a b

- C.

2a b +或2

a b

-

D. a+b 或a-b

二、解答题：

1.在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，圆A的半径为1，如图所示，若点O在

BC边上运动，（与点B和C不重合），设BO＝x，ΔAOC的面积为y.

（1）求y关于x的函数关系式.

（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.

A

O

B C

2.在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，

4），C（－1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MG＝BN.

（1）求点M的坐标.

（2）设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

（3）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，

建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴

．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的关系式．

4.在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP

成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法)

5. 已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数k

y x

=图象上的两个点． （1）求k 的值；

（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k

y x

=

图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线

段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的关系式; (2)若S 梯形OBCD ＝

43

3

,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标

;若不存在,请说明理由.

A

B

C x

y

111

-1-O

7. 二次函数2

3

12

y x x =-

-的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C . （1）求ABC △的面积．；

（2）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

y

x

B

A C O