初中数学分类讨论思想例题分析归纳.doc
(完整word版)初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
初中数学思想方法之分类讨论
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。
仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。
在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1：现有一些白球和红球，共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用【摘要】本文讨论了分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
在整数、几何、代数、概率和数列问题中，通过分类讨论不同情况，能够有效解决复杂的数学难题。
通过分类讨论思想，学生可以更清晰地理解问题，准确分类，有针对性地解决问题，提高解题效率。
文章强调了分类讨论思想对学生解题能力的提升作用，希望学生能够加强练习，掌握分类讨论思想的运用技巧，提高自身解题水平。
最终目的是培养学生综合运用分类讨论思想的能力，让他们在数学学习中拥有更广阔的视野和更灵活的思维方式。
通过分类讨论思想，学生可以更好地理解并解决复杂问题，从而在数学学科中取得更好的成绩。
【关键词】分类讨论思想、初中数学题、整数问题、几何问题、代数问题、概率问题、数列问题、解题思路、解题能力、综合运用、学生、应用、提升、培养、展望、结论1. 引言1.1 介绍分类讨论思想分类讨论思想是一种解决问题的思维方法，通过将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐一进行讨论和分类，最终得出整体的解决方案。
在数学领域，分类讨论思想常常被应用于解决复杂的问题，尤其在初中数学题中发挥着重要作用。
分类讨论思想能够帮助学生将复杂的问题简化，并将其分解成易于处理的部分，从而更好地理解问题的本质和特点。
通过分类讨论，学生可以更清晰地认识到问题的不同情况和条件，有利于他们找出解决问题的方法和思路。
分类讨论思想还能激发学生的思维活力和创造力，培养他们解决问题的能力和技巧。
1.2 说明初中数学题的解题思路在解初中数学题时，正确的解题思路是非常重要的。
通常情况下，初中数学题可以通过分类讨论思想来进行解答。
分类讨论思想是指将问题分为若干种情况进行讨论，然后再将各种情况的结果合并，得到最终的解答。
通过分类讨论思想，我们可以更清晰地理清问题，找到其中的规律，从而更好地解决数学题。
分类讨论思想在解初中数学题中的应用非常广泛，涉及整数问题、几何问题、代数问题、概率问题和数列问题等多个方面。
分类讨论思想在初中数学解题中应用分析
分类讨论思想在初中数学解题中应用分析分类讨论是一种有效的数学解题思维方法，它能够帮助学生更加快捷、细致地完成数学题。
尤其是在初中数学解题中，用分类讨论的方法，能够把题目分解为一个个的小问题，由它们的答案逐步推导出最终的总结。
首先，分类讨论有助于学生更好地理解数学题。
当我们面对一个复杂的题目时，很容易被它的复杂性所震慑，无从下手。
而使用分类讨论思想，我们可以把题目分解为多个相对独立的问题，彼此之间没有太多的关联。
学生就可以更容易地找出每个问题的解决思路，从而完成整个题目的解答。
其次，分类讨论能够帮助学生更加细致地完成数学解题。
学生们最常犯的一个错误就是由表取义，以为把某一情况的解决思路用到其他情况之中就可以了。
而使用分类讨论也许可以让学生们更加谨慎，仔细地分析每一种情况，避免出错。
最后，分类讨论能够帮助学生更好地运用数学知识。
通过对题目进行分类，可以把题目中同类的问题归纳起来，学生们就能够以较少的努力把这些问题完成。
这样，学生就可以把精力放到更多的数学知识的探究和运用上，在解题的同时也可以学习新的数学知识。
从以上可以看出，分类讨论是一种很有用的数学解题思想，在初中数学解题中占有重要的地位。
但在教学实践中，这一数学思想的应用仍然存在一定的问题。
首先，在课堂教学中，教师往往缺乏完善的课堂教学方案，没有足够的时间来搞清楚每一种分类讨论的情况;，在学生方面，大多数学生缺乏思维能力，不太能够把复杂的题目分解成几个小问题，也没有能力把此法应用到实际解题中。
为了让学生们能够更好地运用分类讨论思想，首先应该让教师有足够的时间搞清楚每一种分类讨论的情况，并且在课堂中进行实际的操作，让学生有足够的实践机会。
其次，应该通过一些练习让学生熟练掌握分类讨论思想，逐步培养学生们用这一思想解决问题的能力。
最后，要让学生学会识别每一种分类讨论情况，并且熟练掌握其中的解决方法。
总之，分类讨论思想是一种极具实用价值的数学思想，它在初中数学解题中有着重要的作用，但在实际教学实践中仍有不足之处，要想让学生能够更好地运用分类讨论思想，教师与学生都要付出不懈的努力，才能使这一数学思想得到最大的发挥。
分类讨论思想在初中数学解题中的应用
学习指导２０２３年８月下半月㊀㊀㊀分类讨论思想在初中数学解题中的应用◉江苏省昆山开发区青阳港学校㊀沈俊杰㊀㊀摘要:近年来,分类讨论的问题已经成为各地中考压轴试题的热门考点,这类问题学生在解答中极易出现漏解．本文中就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用浅谈应用策略．关键词:分类讨论;初中数学;解题;应用㊀㊀在初中数学教学过程中发现,大多数学生对分类讨论思想了解不够深入,把握不够牢固,分析问题比较片面,导致问题解决不彻底．本文中笔者根据自身教学实践,就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用进行探讨研究．１分类讨论思想在绝对值问题中的运用由绝对值的概念可知,绝对值可用来表示数轴上两点之间的距离,但无法明确这两点的具体位置,对此类问题,我们就需要进行分类讨论后再确定相应的值．例１㊀解决下面的问题:(１)如果|x ＋１|＝２,求x 的值;(２)若数轴上表示数a 的点位于－３与５之间,求|a ＋３|＋|a －５|的值;(３)当a ＝㊀㊀㊀时,|a －１|＋|a ＋５|＋|a －４|的值最小,最小值是㊀㊀㊀㊀．点拨:显然,例１中的每一个问题都涉及到了绝对值,由于绝对值里的式子不知是正还是负,因此需要进行分类讨论．(１)由|x ＋１|＝２,可得x ＋１＝２,或x ＋１＝－２,解得x ＝１,或x ＝－３．(２)中因为已经明确表示数a 的点位于－３与５之间,故可以判断a ＋３和a －５的正负,则不需要进行分类讨论,可直接根据正负情况去掉绝对值进行解答．(３)中没有明确数a 的具体大小,无法直接判断a －１,a ＋５,a －４的正负,这就需要利用三个零点从四个方面进行分类讨论,再根据具体的取值分析最小值即可．从例１的分析可知,在遇到数轴上点的位置不明确时,就需要考虑使用分类讨论思想进行解答,从而将绝对值符号去掉并轻松解题[１]．２分类讨论思想在二次根式中的运用在涉及有关二次根式的计算与化简问题时,常常会遇到形如a ２的式子,如何对这类式子进行化简,则需要进行分类讨论．例２㊀若代数式(２－a )２＋(a －４)２＝２,求a 的值．点拨:若对代数式进行化简,则要去掉根号,根据a ２＝a ,将问题转化为含有绝对值的问题来处理,结合例１的分析可考虑利用分类讨论思想解题．(２－a )２＋(a －４)２＝|２－a |＋|a －４|,再分别从a ＜２,２ɤa ＜４,a ȡ４三个方面进行分类讨论,进而化简求值．在解决与二次根式有关的求数的平方根或者化简二次根式等问题都要注意分类讨论思想的运用．３分类讨论思想在方程中的运用在一些与方程有关的问题中,若方程含有字母参数,根据题干我们无法直接判断参数的情况,从而无法判断方程的类型,对下一步的问题解答造成麻烦,这个时候就需要进行分类讨论[２]．例３㊀已知关于x 的方程(m ＋１)x ２－(m －２)x ＋m ４＝０．(１)若方程有实数根,求m 的取值范围;(２)已知x １,x ２为方程的两个实数根,且x ２１－x ２２＝０,求m 的值．点拨:第(１)问只是说明这是关于x 的方程,从方程式可以看出未知数的最高次数是２次,但由于二次项系数m ＋１有可能为０,因此可以从m ＋１ʂ０和m ＋１＝０两方面判断该方程是一元二次方程或者一元一次方程．根据方程特点,可整理分析得２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀到Δȡ０或m ＋１＝０两种情况,再解不等式或方程求出m 的取值范围即可．此类题型主要问题是概念指代不清,存在类似问题的还有函数是一次函数还是二次函数,都需要考虑分类讨论．４分类讨论思想在不等式中的运用在解决不等式的有关问题时,也常常遇到由a b ＞０或a b ＜０来判断a ,b 符号的问题,根据同号为正㊁异号为负的法则,需要我们针对具体情况进行分类讨论,如当a b ＞０时,有a ＞０,b ＞０,{或a ＜０,b ＜０．{两种情况．例４㊀解一元二次不等式:x ２－４＞０．点拨:将x ２－４分解因式,得x ２－４＝(x ＋２)(x －２),则原不等式转化(x ＋２)(x －２)＞０即可．根据有理数的乘法法则 两数相乘,同号得正 ,进行分类讨论,则有x ＋２＞０,x －２＞０,{或x ＋２＜０,x －２＜０,{进而解得一元二次不等式x ２－４＞０的解集为x ＞２或x ＜－２．在计算过程中出现同号为正㊁异号为负的情况时,都需要从两个方面进行计算,此时要关注分类讨论思想的体现,以防漏解或缺解．５分类讨论思想在几何图形中的应用几何图形中常见的分类讨论往往集中在等腰三角形的判定㊁相似三角形的判定㊁与圆相关的图形位置判断等方面．涉及几何图形的分类讨论问题往往融合在函数中,故处理相关问题时也要注意分类讨论[３]．例５㊀已知øA O B ＝８０．５ʎ,øA O D ＝１２øA O C ,øB O D ＝３øB O C (øB O C ＜５０ʎ),求øB O C 的度数．点拨:根据题干叙述,无法直接判断O C ,O D 的位置,从而无法进行计算,因此本题需要根据题干情况进行分类讨论．根据题意分析,可以得到符合要求的有三种情况,针对存在的三种情况,画出相应的图形,然后进行计算,即可得到øB O C 的度数[４]．图１例６㊀如图１,在直角梯形A B C D 中,A D ʊB C ,øC ＝９０ʎ,B C ＝１６,A D ＝２１,D C ＝１２,动点P 从点D 出发,沿线段D A 方向以每秒２个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段C B 以每秒１个单位长度的速度向点B 运动．点P ,Q 分别从点D ,C 同时出发,当点P 运动到点A 时,点Q 随之停止运动,设运动时间为t s ．(１)设әB P Q 的面积为S ,求S 和t 之间的函数关系式;(２)当t 为何值时,以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?点拨:显然,第(２)问中以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形,需要分三种情况讨论:①P Q ＝B Q ;②B P ＝B Q ;③P B ＝P Q ．根据勾股定理最终求得t ＝７２或t ＝１６３时,以B ,P ,Q 三点为顶点三角形是等腰三角形．图２例７㊀如图２,四边形A B C D 中,A D ʊB C ,øB ＝９０ʎ,A B ＝８,B C ＝２０,A D ＝１８,Q 为B C 的中点,动点P 在线段A D边上以每秒２个单位长度的速度由点A 向点D 运动,设动点P 的运动时间为t s ．在A D 边上是否存在一点R ,使得以B ,Q ,R ,P 四点为顶点的四边形是菱形若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．点拨:题目中要求探究的点R 在什么位置,我们一下子搞不清,故考虑分类讨论,可分为两种情况．一是点P 在点R 的左侧,四边形B Q R P 是菱形,此时B P ＝B Q ＝１０,根据勾股定理求得A P ＝６,则D P ＝１２,再列方程求出此时的t 值即可;二是点R 在点P 的左侧,四边形B Q P R 是菱形,此时B R ＝B Q ＝１０,A P ＝６＋１０＝１６,再列方程求出t 值．结合上述五个方面的研究发现,在解答数学问题的过程中遇到一些点或线位置不明确㊁图形不固定的情况时,要考虑分类讨论,让问题解答更加全面．总之,在初中数学问题研究中,充分运用分类讨论思想更能深刻挖掘学生的生活体验,引导他们从多个角度感知㊁分析问题情境,更多地激励学生开动脑筋,运用新思想新方法,拓展思维,从而培养学生多角度全方位的解题习惯,全面提升数学核心素养．参考文献:[１]顾宣峰．分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J ]．高中数理化,２０２１(S １):２０．[２]任建平．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J ]．数理天地(初中版),２０２３(１３):３７Ｇ３８．[３]王珍．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．中学数学,２０２３(１２):７３Ｇ７４．[４]孙高传．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．第二课堂(D ),２０２２(２):３８Ｇ３９．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析
七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析摘要：初中数学是初中教学体系中的重要组成部分，数学学习需要掌握许多数学思想，比如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。
分类讨论思想是一种根据数学对象本质属性的异同，将数学研究对象分为不同种类的数学思想，它贯穿于数学学习的整个过程，也是近年来中考考查的热点之一，是教学的难点。
本文结合七年级数学的教学实践来讨论分类思想的实际运用。
关键词：七年级;数学教学;分类讨论思想一、步步为营，在初中数学教学的过程中逐步渗透分类思想（一）在基本概念的理解中，渗透分类思想七年级学生刚刚从小学进入中学，初中数学相对于小学数学其难度加大了许多，一些学生内心会产生恐惧心理。
因此，教师应根据现阶段学生心理以及身心特点巧妙编写教学方案，将初中复杂的数学知识变得简单化，消除部分同学的畏惧心理，从而提高学生的学习效率。
而分类思想刚好能够满足以上需求。
教师在教学数学基本概念时可以从实际生活入手，比如，在生活中我们都有将衣服以及文具分类的习惯，教师可以作为切入点，将数学分类思想渗透到数学概念中，以便帮助学生加深对数学概念的理解与认识。
如教学有理数的两种分类方法：第一种将有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零、负整数;分数分为正分数与负分数。
第二种是将有理数分为正有理数、零、负有理数。
经过以上两种分类，可以让学生了解到有理数在不同的分类标准下有截然不同的理解，帮助学生在分类的过程中充分的理解有理数。
（二）在知识生成过程中，巧用分类思想新课程改革提倡从实际生活引导出数学问题，即以“生活教学”为主。
因此，在实际数学教学过程中，尤其是在某些公式或者数学性质的教学时，教师要善于引导学生了解公式或者数学性质的推理过程。
例如，教师在教学有理数的乘除法则时，可以从三个方面引导学生进行归纳，分别是同号两数相乘、异号两数相乘以及正负数与零相乘的情况，最后学生可以得出“同号得正，异号得负，任何数与零相乘都等于零”的数学结论，以上讨论的方法具有完整清晰的思路，能够让学生初步体会到分类思想的优势所在。
分类讨论初一例题
分类讨论初一例题摘要：一、引言二、初一数学分类讨论的重要性三、初一数学分类讨论例题解析1.几何图形分类讨论2.代数分类讨论3.概率分类讨论四、总结与建议正文：【引言】在初中数学的学习过程中，分类讨论是一种基本且重要的思维方法。
本文将针对初一数学中的分类讨论进行例题解析，帮助大家更好地理解和掌握这一方法。
【初一数学分类讨论的重要性】分类讨论是数学中一种常用的思考问题的方法，通过对问题进行合理的分类，可以将复杂的问题转化为简单的子问题，从而更容易找到解决问题的途径。
在初中数学的学习中，分类讨论涉及到几何、代数、概率等多个方面，因此掌握好这一方法对于初一学生来说至关重要。
【初一数学分类讨论例题解析】【几何图形分类讨论】例题1：一个正方体长宽高分别为a、b、c，求这个正方体的对角线长度。
解析：根据正方体的性质，可以将其分为三个相互垂直的面，分别计算对角线长度再相加。
例题2：一个长方体长宽高分别为a、b、c，求这个长方体的对角线长度。
解析：根据长方体的性质，可以将其分为两个相互垂直的面，分别计算对角线长度再相加。
【代数分类讨论】例题3：已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x1和x2，求a、b、c的关系。
解析：根据一元二次方程的求根公式，可以得到x1和x2的表达式，进一步推导可得到a、b、c的关系。
例题4：已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x1和x2，求a、b、c与x1、x2的关系。
解析：根据一元二次方程的求根公式，可以得到x1和x2的表达式，进一步推导可得到a、b、c与x1、x2的关系。
【概率分类讨论】例题5：一个袋子里有5个红球和3个绿球，从中任意取出一个球，求取出红球的概率。
解析：根据概率的定义，红球的概率等于红球的个数除以总球数。
【总结与建议】通过以上例题解析，我们可以看出分类讨论在初一数学中的重要性。
因此，初一学生在学习过程中应注重培养分类讨论的思维习惯，这将有助于提高解题能力和数学素养。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用1. 引言1.1 概述数统计等。
【概述】分类讨论思想是指在解决问题时，将问题按照不同的特征或条件进行分类，然后分别讨论每个类别下的情况，最终得出综合结论的思维方法。
在初中数学学习中，分类讨论思想被广泛运用于解决各种类型的数学问题，尤其在解决复杂的问题和提高问题解题能力方面具有重要意义。
通过分类讨论思想，学生可以将复杂的问题进行分解，逐步解决，提高问题解决的效率和准确性，培养逻辑思维和分析问题的能力。
本文将重点讨论分类讨论思想在解初中数学题中的应用，分析其基本概念、应用案例、具体技巧，比较与其他解题方法的优劣以及在数学学习中的重要性。
通过本文的探讨，旨在深入探析分类讨论思想在数学学习中的实际意义，并探讨未来在该领域的研究方向。
1.2 研究背景在传统的教学模式中，学生往往是被passively 授予知识，缺乏对知识的主动探索和应用能力。
而分类讨论思想的引入可以打破这种被动学习的模式，鼓励学生思考问题的本质和解决方法，培养其独立思考和创新能力。
通过对不同情况的分类讨论和比较，学生可以更深入地理解问题，掌握解题的基本思路和方法，提高解题效率和准确度。
研究分类讨论思想在初中数学题中的应用具有积极意义，可以有效促进学生数学思维的发展，提高其解决实际问题的能力。
也为教师提供了一种新的教学方法和手段，有助于激发学生学习兴趣，提高教学效果。
通过深入探讨分类讨论思想的具体应用和技巧，可以为数学教育的改革和发展提供有益启示。
1.3 研究目的研究目的：本文旨在探讨分类讨论思想在解初中数学题中的应用，通过对分类讨论思想的基本概念、具体应用技巧以及与其他解题方法的比较分析，揭示其在数学学习中的重要性。
通过对分类讨论思想在解题过程中的实际操作和应用案例分析，旨在帮助读者更深入理解该方法的实际运用情况，从而提高解题效率和思维能力。
通过对未来研究方向的探讨和展望，寻求分类讨论思想在数学问题解决中的更广泛应用可能性，为数学教育的改革和提升提供参考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分类讨论思想例题分析
[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____。
练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.
解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延长线上
N
M A
B
C
N M A B C
例2下列说法正确的是（ ）
A 、 两条线段相交有且只有一个交点。
B 、如果线段AB=A
C 那么点A 是BC 的中点。
C 、两条射线不平行就相交。
D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
[
OM 平分∠AOB ，ON 平分∠[练习] 已知o AOB 60∠=,过O 作一条射线OC ，射线OE 平分AOC ∠，射线OD 平分
这两种情况下，都有o
o AOB 60
DOE=
3022
∠∠== A B C1 C2
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC ∠的大小不确定，但是所求的DOE ∠与AOC ∠的大小无关。
我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
[三角形中分类讨论思想的应用]
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
1、三角形的形状不定需要分类讨论
例4、 在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是BC 上的高，并且
AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。
如图1，当△ABC 的高在形内时，
由AD BD DC 2=·， 得△ABD∽△CAD，进而
可以证明△ABC 为直角三角形。
由 ∠B＝25°。
可知∠BAD＝65°。
所以∠BCA＝∠BAD＝65°。
如图2，当高AD 在形外时，此时
△ABC 为钝角三角形。
由
AD BD DC 2=·，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
2、等腰三角形的分类讨论：
a 、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。
例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1221,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.921,122
1y x x x 解
得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩⎨⎧==.5,
8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。
b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。
例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析：依题意可画出图1和图2两种情形。
图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。
2、在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例7、 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足x y y 224560
-+-+=，则第
三边的长为_____________。
解析：由
x y y 224560
-+-+=，可得x 240-=且y y 2560-+=
分别解这两个方程，可得满足条件的解x y 1122==⎧⎨⎩，或x y 222
3==⎧⎨⎩
由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
当两直角边长分别为2，2时，斜边长为222222
+=；
当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5； 当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。
综上，第三边的长为22或5或13。
4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
例8、如图所示，在ABC △中，64AB AC P ==，，是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形相似，则
AQ 的长为（ ）
(A)3 (B)3或
43 (C)3或34 (D)43
析解：由于以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形有一个公共角（A ∠），因此依据相似三角形的判定方法，过点P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ ∥BC ，这样根据相似三角形的性质可得
AQ AP AB AC =，即2
64
AQ =，解得3AQ =；
二是过点P 作APQ ABC ∠=∠，交边AB 于点Q ，这时
APQ
ABC ，于是有
AQ AP AC AB =，即246AQ =，解得43AQ =. 所以AQ 的长为3或4
3，故应选(B)。
四、本节小结
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。
线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。
分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。
C
B。