等差数列基础测试题题库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值为（ ） A ．2m

B ．21m +

C ．22m +

D ．23m +

2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200

B ．100

C ．90

D ．80

3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-

B ．8

C ．12

D ．14

4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72

B ．90

C ．36

D ．45

5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤

B ．6斤

C ．9斤

D ．12斤

6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

7．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160

B ．180

C ．200

D ．220

8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921

a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21

B ．20

C ．19

D ．19或20

9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161

B ．155

C ．141

D ．139

10．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12

15

a b =（ ） A ．

3

2

B ．

7059

C ．

7159

D ．85

11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等

差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+

B ．2

()4f x x =

C ．3()4x

f x ??= ???

D ．4()log f x x =

12．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．

47

B ．

1629

C ．

815

D ．

45

13．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,

n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则

n a =（ ）

A ．21n -

B ．43n -

C ．54n -

D ．n 14．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

9

S a =（ ） A ．9

B ．5

C ．1

D ．

59

15．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13

B ．26

C ．52

D ．56

16．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(

)*

111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）

A ．0m S <且10m S +>

B ．0m S >且10m S +>

C ．0m S <且10m S +<

D ．0m S >且10m S +<

17．若数列{}n a 满足121

()2

n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020

D ．2021

18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6

B ．7

C ．8

D ．10

19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

20．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24

B ．36

C ．48

D ．64

二、多选题

21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114

a =

，

则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1

4(1)

n a n n =

+

C ．数列{}n a 为递增数列

D ．数列1n S ??

????

为递增数列

22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++???+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++??????+= 23．若不等式1(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

24．若数列{}n a 满足112,02

121,1

2

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

（ ） A ．

1

5

B ．

25

C ．

45

D ．

65

25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2

3n S n n =- B ．2392

-=n n n

S

C ．36n a n =-

D ．2n a n =

26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >

D ．若67S S >则56S S >.

27．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=

B ．27S S =

C ．5S 最小

D ．50a =

28．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）

A ．0d <

B ．70a =

C ．95S S >

D ．170S <

29．在数列{}n a 中，若22*

1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(

)*

,kn a k N

k ∈为常数)也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 30．数列{}n a 满足11,121

n

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??

?

???是等差数列 B ．数列1n a ???

???

的前n 项和2

n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．C 【分析】

首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】

由21<，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=

=

+，

()()()1232322323<02

m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()12222

12211>02

m m m m m a a S m a a ++++++==

++.

故选:C. 【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11

,2

,1n n n S S n a S n --≥?=?=?，判断数列的项的正负，

第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.

2．C 【分析】

先求得1a ，然后求得10S . 【详解】

依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 3．D 【分析】

利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】

147446=32a a a a a ++=∴=，则()

177477142

a a S a +=

== 故选：D 4．B 【分析】

由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2

444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】

由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，

∴2

444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，

∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，

∴99(229)

902

S ?+?=

=，

故选：B 【点睛】

思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2

k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()

2

n n n a a S +=的应用. 5．C 【分析】

根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，

根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==?=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】

本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 6．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 7．B 【分析】

把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】

由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020

()10181802

S a a =+=?=. 故选：B 8．B 【分析】 由题得出1392

a d =-，则2202n d

S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ， 由

111019

21

a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392

a d =-

，10a <，0d ∴>，

()211+

2022

n n n d

S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.

故选：B. 【点睛】

方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列

(

)2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 9．B 【分析】

画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】

所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：

由图可得：3612107y x y -=??-=? ，解得155

48x y =??=?

.

故选：B. 10．C 【分析】

可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】

因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且

3221

n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，

又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴

1215(6121)71(4151)59

a k

b k ?-==?-， 故选：C ． 11．D 【分析】

把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知

1

n n

x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】

对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以

1

n n

x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数，

因此1n n y y +-＝()

2222

14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于C ，函数3()4x

f x ??= ???上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x

+-＝3

3

()()144n q

x

??

-????

，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等

差数列；

对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x

，由于{x n }是等比数列，所以

1

n n

x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11

4

44

4log log log log n n n

n

x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；

故选：D ． 【点睛】 方法点睛：

判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．D 【分析】

设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】

设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知202019

2042322

S d ?=?+=， 解得45

d =

． 故该女子织布每天增加4

5

尺． 故选：D

13．A 【分析】

由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】

11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,

令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-

令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2

311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，

与已知矛盾，故解得31a t =+

{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =

则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 14．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+=

=，99a d =，且0d ≠， ∴9

9

5S a =. 故选：B 15．B 【分析】

利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】

由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ?+?=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()113410131313134

26222

a a a a S ++?====. 故选：B. 16．D 【分析】

由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】

由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()

02

m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．B 【分析】

根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121

()2n n a a n N *++=

∈，则11()2

n n a a n N *+=+∈， 即11

2

n n a a +-=

， 所以数列{}n a 是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列， 所以()()11111122

n n a a n d n +=+-=+-?=， 所以2021a =20211

10112

+=. 故选：B 18．D 【分析】

由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】

解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，

得：111154435242238a d a d a d a d ???

?+=+ ??

?+++=?????

，

即

{

1132024

a d a d +-+=， 解得：

{

123

a d =-=，

51424310a a d ∴=+=-+?=.

故选：D. 19．D 【分析】

由()

1

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 20．B 【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】

由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =

19592993622

a a a

S +=

?=?= 故选：B

二、多选题

21．ABC 【分析】

数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（）

，且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11

4

a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1n

S ，n S ，2n ≥时，()()

111144141n n n a S S n n n n -=-=

-=---，进而求出n a ．

数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114

a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：

1

11

4n n S S --=， ∴数列1n S ??

????

是等差数列，公差为4，

∴()1

4414n n n S =+-=，可得14n S n

=， ∴2n ≥时，()()

1111

44141n n n a S S n n n n -=-=

-=---， ∴()1

(1)41(2)41n n a n n n ?=??

=??-≥-??

，

对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1

114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题 22．ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，

()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++??????+=，故D 正确；

故选：ABCD.

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 23．ABC 【分析】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n

-<恒成立，当n 为偶数时有1

2a n

<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1

2+a n

-<恒成立，

由12+n 递减，且1

223n

<+≤，

所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1

2a n

<-恒成立， 由12n -

第增，且31

222n ≤-<， 所以3

2

a <

， 综上可得：322

a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

5

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．BC 【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，

所以1132302

36

a d a d ??

+

=???+=?，解得133a d =-??=?， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，

21(1)3(1)393222

n n n n n n n

S na d n ---=+=-+=

， 故选：BC 26．BC 【分析】

根据等差数列的前n 项和性质判断．

【详解】

A 错：67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+

B 对：n S 对称轴为

n =7；

C 对：6770S S a >?<，又10a >，887700a S a d S ??<；

D 错：6770S S a >?<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()

2

n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 27．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则81187

88282

S a d a d ?=+

=+，91198

99362

S a d a d ?=+

=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，

解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()21

9122

n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=?=，()2

8

88942

d S d -?=

=-，A 选项错误； 对于B 选项，()2

2

29272

d S

d -?=

=-，()2

7

79772

d S

d -?=

=-，B 选项正确；

对于C 选项，()2

298192224n d d S n n n ??

??=-=--?? ???????

.

若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 28．ABD 【分析】

结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】

由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，

所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，

所以()

117179171702

a a S a +=

=<，故D 正确.

故选：ABD. 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及

()

12

n n n a a S +=

，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 29．BCD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，

则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}

n a 不是等方差数列，故A 错误；

对于B ，数列

(){}1n

-中，222121[(1)][(1)

]0n n n n a

a ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；

对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，

数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，

，

()(

)()()

22222222

12132221k k k k k k k k a

a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()

22

222

2221

2

1

3

2

221k k

k k k k k k a

a a a a a a a kp +++++--+-+-+

+-=，222k k a a kp ∴-=，

()221kn k

n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；

对于D ，

{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+

{}n a 是等方差数列，

()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22

10n n a a --=是常数，故D 正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 30．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=

=+得到

1112n n a a +-=，从而得到1n a ??

????

是以首项为1，公差为

2的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】

对选项A ，因为121

n

n n a a a +=

+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n

a a +-= 所以1n a ??

?

???

是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：

1

121

21n

n n a

数列1n a ???

???

的前n 项和()

21212n

n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为

1

21n n a =-，所以121

n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1

21

n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.