和差倍角公式经典例题
和差倍角公式
◆ 两角的和与差公式：
()())
()(S , S , βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Sin
()(
)()()()()
()
, C , C tan tan tan , T 1tan tan tan tan tan 1tan tan Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Sin Cos Sin Cos Cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβββββββββαβ
αβαβαβ
αβαβ
+-++=--=++-+-++=---=+，，，()
, T αβ-
变形： ()()
()()为三角形的三个内角
其中χβαχ
βαχβαβαβαβαβαβαβα,,t an t an t an t an t an t an t an t an 1t an t an t an t an t an 1t an t an t an =+++-=--+=+
二倍角公式：α
α
ααααααααα22222tan 1tan 22tan 2112222-=
-=-=-==Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin
一、
1．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是
( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
2．2cos10°－sin20°sin70°的值是
3．f(x)＝sinx cosx
1＋sinx ＋cosx 的值域为
( )
A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)
B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)
C ．(－3－12,3－12
)
D ．[－2－12,2－1
2
]
4．已知x ∈(－π2,0)，cosx ＝4
5，则tan2x 等于
5.已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A ．tan θ2＜cot θ
2
，
B ．tan θ2＞cot θ
2
，
C ．sin θ2＜cos θ2，
D ．sin θ2＞cos θ
2
．
6．(04江苏)已知0＜α＜π2，tan α2＋cot α2＝52，则sin(α－π
3
)的值为
7．等式sin α＋3cos α＝4m －6
4－m 有意义，则m 的取值范围是
( )
A ．(－1,7
3
)
B ．[－1,7
3
]
C ．[－1,7
3
]
D ．[―7
3
,―1]
8．在△ABC 中，tanA tanB ＞1是△ABC 为锐角三角形的 ( ) A ．充要条件 B ．仅充分条件 C ．仅必要条件
D ．非充分非必要条件
9．已知α.β是锐角，sin α＝x ，cos β＝y ，cos(α＋β)＝－3
5，则y 与x 的函数关系式为( )
A ．y ＝―351―x 2＋45x (3
5＜x ＜1)
B ．y ＝―
351―x 2＋4
5
x (0＜x ＜1) C ．y ＝―351―x 2―45x (0＜x ＜3
5
＝
D ．y ＝―351―x 2―4
5
x (0＜x ＜1＝
10．已知α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝1
5
，则tan α的值为
11．(05全国)在△ABC 中，已知tan A ＋B
2
＝sinC ，则以下四个命题中正确的是
( )
(1)tanA 2cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 12． 函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为
13若316sin =???
??-απ，则???
??+απ232cos =
14.110sin 的值是 15.“()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）
(A)充分必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
16.已知tan(α+β) =
53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4
π
)为 17.函数y=sinxcosx+3cos 2
x －2
3 的最小正周期是
二、填空题：
18．(03上海)若x ＝π
3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝＿＿＿＿＿＿．
19．已知cos θ＋cos 2θ＝1，则sin 2θ＋sin 6θ＋sin 8θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 20．函数y ＝5sin(x ＋20°)－5sin(x ＋80°)的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
21．若圆内接四边形的四个顶点A 、B 、C 、D 把圆周分成AB ︵∶BC ︵∶CD ︵∶DA ︵
＝4∶3∶8∶5，则四边形四个内角A 、B 、C 、D 的弧度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 22.已知14462
sin(
x )sin(
x ),x (,)ππ
π
π+-=∈，则4sin x = 。
23.设ABC ?中，tan A tan B Atan B +，sin Acos A =，则此三角形是
三角形。
24.化简：α
α
ααα2
2sin 21cos sin )45(tan 1)45tan(-?+-+ = ____ ____.
三、解答题
25．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝2
3，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos （α＋β）．＝
26．已知f(x)＝2asin 2x －22asinx ＋a ＋b 的定义域是[0, π
2]，值域是[－5,1]，求a 、b 的值． 27．)已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π
3)的值＝
28．(05北京)在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝2
2
，AC ＝2，AB ＝3，求tanA 的值和△ABC 的面积． 29 已知,4
0,1312)4
sin(
ππ
<<=
-x x 且求)
4
cos(2cos x x +π
＝
30. 已知α,β∈(0,π),且tan α,tan β是方程x 2
－5x+6=0的两根. （1）求α+β的值.（2）求cos(α－β)的值.
31.（1）已知11
027
,(,),tan(),tan αβπαββ∈-=
=-，求2αβ-的值。 （2
）求值()
00sin 501+。
32. 在⊿ABC 中，
AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB 的值： (II) 求sin 24A π?
?
- ??
?
的值33. 设函数2
2
()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π． （Ⅰ）求ω的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．
能力提高练习(两角和与差的三角函数习题课)
1.化简
θ
θθ
θ4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++的结果应是
A.tan2θ
B.cot2θ
C.tan θ
D.cot θ
【解析】 原式=θ
θθθ
θθ2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++
=
θθθθθθθ2cot )
2cos 2(sin 2sin )
2sin 2(cos 2cos =++.
【答案】 B
2.若（4tan α＋1）（1－4tan β）＝17，则tan （α－β）的值为 A.
4
1
B.
2
1
C.4
D.12
【解析】 由已知4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17 即4（tan α－tan β）＝16（1＋tan αtan β） ∴
β
αβ
αtan tan 1tan tan +-＝4，即tan （α－β）＝4
【答案】 C
3.已知sin （α＋β）cos β－cos （α＋β）sin β＝0，则sin （α＋2β）＋sin （α－2β）等于 A.1 B.－1 C.0 D.±1 【解析】 由已知sin ［（α＋β）－β］＝0 即sin α＝0得，
sin （α＋2β）＋sin （α－2β）＝2sin αcos2β＝0 【答案】 C
4.设a =tan15°+tan30°+tan15°tan30°,b =2cos 210°－sin70°,则a ,b 的大小关系是 A.a =b B.a >b C.a
5.若sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α等于__________. 【解析】 由已知1＋sin2α＝2，则sin2α＝1 tan α＋cot α＝
ααcos sin ＋α
αααα2sin 2
cos sin 1sin cos ==＝2. 【答案】 2
6.cos20°cos40°cos80°=___________.
【解析】 原式=
=?
?
??????80sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin
8
120sin 820sin 20sin 8)20180sin(=??=??-?=.
【答案】 8
1
7.已知tan α=21
,tan β=31,且0＜α＜2
π,π＜β＜23π,则α+β=___________.
【解析】 ∵0＜α＜2
π
,π＜β＜
2
3π, ∴π＜α+β＜2π.
又tan （α+β）=
3
12113121tan tan 1tan tan ?
-+
=-+β
αβα=1 ∴α+β=
45π 【答案】 4
5π
8.给出下列三角函数式：（1）)4
sin(2x +π
（2）2
tan 12tan 2tan
21)
3(),4
cos(
22
2x
x
x x +--+π
（4）
2
2cos 122cos 1x
x --+,当x ∈R 时与cos x －sin x 恒等的是___________. 【解析】 （1）原式=cos x +sin x
（2）原式=cos x －sin x .
（3）原式=
2
tan 12tan 22tan 12tan 12
22
x
x
x x +-+- =cos x －sin x ，（x ≠2k π+π,k ∈Z ）,
（4）原式=|cos x |－|sin x | =cos x －sin x ，（2k π≤x ≤2k π+
2
π
,k ∈Z ）.
【答案】 （2）
9.求证：tan3A －tan2A －tan A ＝tan3A 2tan2A 2tanA.
【证明】 左端＝tan3A －tan3A （1－tan2A tan A ）＝tan3A tan2A tan A ＝右端 10.设sin （
4
π
－x ）=
135,0 π,求) 4 cos( 2cos x x +π 的值. 【解】 ∵0 4 π ,∴0< 4 π －x < 4 π , ∴cos （ 4 π －x ）=)4 ( sin 12x --π =13 12 )135( 12=- 又cos （ 4 π +x ）=sin （ 4 π －x ）= 13 5 ∴原式= ) 4 sin()] 4 ( 2sin[x x --π π =) 4 sin() 4cos()4sin(2x x x ---ππ π =2cos （ 4 π －x ）= 13 24 11.求值tan30°tan50°tan70°－31cot40°－3 1 cot20°. 【解】 原式=tan30°tan50°tan70°－3 1 （tan50°+tan70°） =tan30°tan50°tan70°－3 1 tan120°（1－tan50°tan70°） =33tan50°tan70°+33（1－tan50°tan70°） =3 3 12.化简cos 2A +cos 2（ 3 π －A ）+cos 2（ 3 π +A ）. 【解】 原式= 2 )232cos(12)232cos( 12 2cos 1A A A +++-+++ππ 23]2cos )21(22[cos 2123)2cos 32cos 22(cos 2123)]2sin 32sin 2cos 32(cos )2sin 33sin 2cos 32(cos 2[cos 2123=-?++=++=-+?+++= A A A A A A A A A ππ πππ 高中数学：两角和、差及倍角公式练习 1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20° sin70° 的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3 D ． 2 解析：原式＝ 2cos (30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20° cos20°＝ 3. 2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ? ???? θ＋π4的值为( B ) A ． 2＋10 6 B ． 22＋10 6 C ．2－106 D ．22－106 解析：由cos θ＝2 3,θ为第四象限角, 得sin θ＝－5 3, 故cos ? ???? θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×? ????23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈? ????π2，π,且3cos2α＝sin ? ???? π4－α,则sin2α的值为( C ) A ．－1 18 B ．1 18 C ．－1718 D ．1718 解析：由3cos2α＝sin ? ?? ?? π4－α可得 3(cos 2 α－sin 2 α)＝2 2(cos α－sin α), 又由α∈? ???? π2，π可知cos α－sin α≠0, 于是3(cos α＋sin α)＝2 2, 所以1＋2sin α·cos α＝1 18, 故sin2α＝－17 18.故选C ． 4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝1 6,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B ) A ．α＜π 4＜β B ．β＜π 4＜α C ．π 4＜α＜β D ．π 4＜β＜α 解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝1 6＞0, ∴π4＜α＜π2 . 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝3, ∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π 4＜α. 5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝3 5,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．± 1665 D ．± 5665 解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝3 5＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝4 5, 三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα 三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tan(A-B) = cot(A+B) = cot(A-B) = 倍角公式 tan2A = Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a) 半角公式 sin( )= cos( )= tan( )= cot( )= tan( )= = 和差化积 sina+sinb=2sin cos sina-sinb=2cos sin cosa+cosb = 2cos cos cosa-cosb = -2sin sin tana+tanb= 积化和差 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( -a) = cosa cos( -a) = sina sin( +a) = cosa cos( +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = 万能公式 sina= cosa= 两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ．2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x, 则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cosA · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6 、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7 、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8 、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2 sin 9 、 tan 65 tan 70 tan65·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。 12、已知3 ，求(1 tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos2 3 , 求 sin 4 cos4的值。 5 14、已知tan, tan 是方程x 2 3x 5 0的两个根， 求 sin 2 ( ) 2 sin( ) ·cos( ) 的值。 同角三角函数基本关系式和诱导公式 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：,1cos sin 22=+x x sin tan ,cos x x x = tan cot 1x x =，掌握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法. 2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、同角三角函数基本关系式 1．平方关系：222222sin cos 1; sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2．商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα . 3．倒数关系：tan cot 1;sin csc 1; cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如22 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式 sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin , cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- 【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】 三角函数的诱导公式 【知识点1诱导公式】 【知识点2诱导公式的记忆】 诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a , cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a, cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z 诱导公式四: cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^?-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z 诱导公式六: Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿 记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数 时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号. 【考点1利用诱导公式求值】 【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完 成求值. 【例1】(2018秋?道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值. T 、 COS (Λ^ + α)sin(^? - a) (I )------------------------------------- ； tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a) sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召—— cos^ a - sm^ a + tan(;T - a) 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要 求式子的值. 【答案】解：?.?角α终边上有一点P(l,l), .x = l , y = l , r =|OP I= √7, Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X ([) cos(∕r + α)sin(%-α) 、 -、，兀 、 tan(^? + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π ([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r - a) cos 2a - sin 2a 一 tan a 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思 想，属于基础题. 【变式1-1】 (2019春?龙潭区校级月考)己知tan(^+ ?) = -!,求下列各式的值: -COSa ?smα ton a + cos 2(x 教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等), (4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。 练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足 高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题 一、单选题 1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一 【解析】【解答】由三角函数的定义知： ， 所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。 【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。属于基础题型。 ================================================================================ 2.若,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。 【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。 ================================================================================ 3.若，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】，故选 C. ================================================================================ 4.函数图像的一条对称轴方程是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性 【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A. ================================================================================ 5.已知，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化 【解析】【解答】因为，所以，可得 ，故C符合题意.故答案为：C . 【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos. ================================================================================ 6.函数（） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 是非奇非偶函数 【答案】A 【考点】奇函数，诱导公式一 【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A 【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。 ================================================================================ 7.若角的终边过点，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一 【解析】【解答】角的终边过点， 则 故答案为： 【分析】由诱导公式,结合任意角的三角函数的定义：,代入数据计算，即可得出答案。 三角函数的两角和差及倍角公式练 习题 欧阳学文 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2 (53sin βαβπαπα-= <<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ． 3 10 3、如果的值是那么)4 tan(,4 1)4 tan(,5 2)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ． 322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπ sin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x + =。 三、解答题： 11、求的值。 ·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 235 44θθθ=+ 14、已知 )sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 答案： 一、 1、B 2、D 提示: tanx = 3, 所求12 2sin x , 用万能公式。 3、B 提示: ()απ αββπ+ =+--? ? ?? ?44 4、A 提示: 把x =π3 代入 三角函数的诱导公式（1）例题解析 一、重点、难点剖析 会借助于单位圆推导正弦、余弦的诱导公式，诱导公式二、三、四的推导都体现了对称思想，其中公式二直接对应着三角函数的奇偶性，正确运用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题，初步掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。 二、典型例题 例1、已知παπαπ22 321)cos(<<-=+，．求：)2sin(απ-的值． 解：已知条件即2 1cos =α，又παπ223<<， 所以：)cos 1(sin )2sin(2αααπ---=-=-=2 3)21(12=- 说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角α的范围，因此，α的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据α的范围确定三角函数的符号． 例2、已知()()7 11sin 2sin 21=--++θθπ，求()()πθπθ--cos tan 的值。 解：()()7 11sin 2sin 21=--++θθπ 711sin 2sin 21=+-∴θθ 53sin -=∴θ ()()()5 3sin cos tan cos tan =-=-=--∴θθθπθπθ 例3、若函数()) cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223x x x x x x f -++++---+-=πππ， （1）求证：()x f y =是偶函数； （2）求f (3 π)的值． 解：（1）x x x x x x f cos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-= =x x x x x cos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =x x x x x cos cos 22cos 2cos cos 2223++++ =x x x x x x cos 2 cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ 即()()R x x x f ∈=,cos 则()()x f x x x f ==-=-cos )cos(，()x f y =∴是偶函数。 诱导公式典型例题分析 例1 求下列三角函数值： 解 (1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°) =-sin120°=-sin(180°-60°) (2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1 例4 求证 (1)sin(nπ+α)=(-1)n sinα；(n∈Z) (2)cos(nπ+α)=(-1)n cosα． 证明 1°当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z) 则(1)sin(nπ+α)=sin[(2k-1)π+α] =sin(-π+α)=-sinα =(-1)n sinα (∵(-1)n=-1) (2)cos(nπ+α)=cos[(2k-1)π+α]=cos(-π+α)=-cosα =(-1)n cosα 2°当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)， 则(1)sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)n sinα(∵(-1)n=1) (2)cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)n cosα 由1°，2°，本题得证． 例5 设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在 ①sin(A+B)-sinC ② cos(A+B)+cosC ③tg(A+B)+tgC ④ctg(A+B)-ctgC A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解由已知，A+B+C=π，∴A+B=π-C，故有 ①sin(A+B)-sinC=sin(π-C)-sinC=sinC-sinC=0为常数． ②cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0为常数． ③ tg(A+B)+tgC=tg(π-C)+tgC=-tgC+tgC=0为常数． ④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常数．从而选 (C)． 正弦、余弦的诱导公式 基础练习 1．求下列三角函数值： （1）sin （－120°）； （2）cos （－240°）； （3）tan （－135°）； （4）)4π7sin(-； （5）)6π11cos(- （6）)3 π4tan(-． 2．求下列三角函数值： （1）sin （－2460°）； （2）cos840°； （3）tan （－2025°） （4）)3π17sin(-； （5）)3 π50cos(-； （6）)6π415tan(-． 3．将下列各值化为锐角的三角函数值： （1）sin4321°； （2）)π9368cos(- ； （3）)π7117sin(； （4）cos2001°． 4．下列各式的值等于－sin A 的是（ ）． A ．sin （－A ） B ．sin （k ·360°－A ），k ∈Z C ．sin （k ·360°＋A ），k ∈Z D ．－sin （－A ） 5．如果＋＝180°，那么下列等式中成立的是（ ）． A ．sin ＝－sin B ．＝ C ．sin ＝sin D ．cos （＋）＝1 6．函数式)1-πcos()1-πsin(21-化简的结果是（ ） ． A ．sin1－cos1 B ．sin1＋cos1 C ．±（sin1－cos1） D ．cos1－sin1 7．已知31)πsin(= +x ，求) π(cos 1)-πsin(2x x ++的值． 8．若（－4，3）是角 终边上一点，则)π(sin )2π-tan( ) π3cos(2αα-?-a 的值为_______． 综合练习 1．求下列三角函数值： （1）)π6 65cos(- ； （2）sin （－1590°）； （3）cos （－1260°）； （4）π331sin ； （5）sin （－542°）； （6）)π724cos(-． 2．设A 、B 、C 是某三角形的三个内角，给出下列四个命题： （1）sin （A ＋B ）＝sin C ； （2）cos （B ＋C ）＝cos A ； （3）tan （A ＋C ）＝tan B ； （4）A ＋B ＋C ＝． 其中正确的命题是（ ）． A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（1）（4） 3．是第三象限的角，则下列各式中其值恒正的是（ ）． A ．sin －cos （－） B ．－tan －cos （＋） C ．tan （－2）＋sin （－） D ．－tan （＋）＋sin 4．)4 π3tan(6π25cos 3π4sin -??的值是（ ）． A ．43- B ．43 C ．43- D ．43 两角和与差的三角函数 1．若4 cos 5α= ，且()0,απ∈，则tg 2 α= ． 2．（本小题满分12分）已知函数 ()sin() 6f x A x π ω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=． （1）求()f x 的表达式； （2）设 ,[0,] 2π αβ∈， 16(3)5f απ+= ，520 (3)213f πβ+=- ，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ． （Ⅰ）求cosA 及b 的值； （Ⅱ）求cos(3π –2A)的值． 4．已知31)6sin(=-απ，则)3 (2cos απ +的值是（ ） A ． 97 B ．31 C ．31- D ．9 7- 5．若4cos 5θ=- ，θ是第三象限的角,则 1tan 21tan 2 θ θ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．3 5 D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________． 7．已知==+ απ α2sin ,54 )4cos(则 . 8．已知==+απα2sin ,5 4 )4cos(则 . 9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4 cos 5 C = ，32c =，2 221sin cos sin cos sin 222 B A A B C ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）求cos()B C -的值． 10．已知函数()2sin()(0,)6 f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2 ()3 f α= ，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 11．已知函数2 ()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈． 高中三角函数公式大全以及典型例题 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 三角函数的诱导公式 知识讲解 一、同角三角函数的基本关系式 平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系： sin tan cos x x x =，cos cot sin x x x = 倒数关系：1 1 1 sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x === 注意：①“同角”，至于角的形式无关重要，如22 sin 4cos 41αα+=等； ②这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 π tan cot 1(,)2k k ααα?=≠ ∈Z ； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： cos α=22sin 1cos αα=-， sin cos tan α αα= 等． ④特殊角的三角函数值 二、诱导公式 1.角α与2π()k k α+?∈Z 的三角函数间的关系 sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+ 2.角α与α-的三角函数间的关系 sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=- 3.角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系 []sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++= 4.角α与 2π α+ 的三角函数间的关系 πsin cos 2αα??+= ???,πcos sin 2αα??+=- ???,πtan cot 2αα? ?+=- ?? ? 诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以 πsin 2y m ???=?+ ? ??为例，若m 为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角?所在象限判断 变换后的三角函数的符号，若m 为π 2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看 象限． ). 1(≠k 高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知)tan()tan(βαβα+?=-k 求证： .112sin 2sin k k -+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系： ),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证 明. 证： )]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-?+--?+-?++-?+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= .11)tan()tan()tan()tan(k k k k -+=+?-++?++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ，代入右边，得=+--+-+ =-+) tan() tan(1)tan() tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++ ,cos cos ) sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan B A B A B A B A B A B B A A B A ?±=??±?=±=± .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴ k k 例2 已知,4 3 sin sin = +β α求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达，因此设t =+βαcos cos ，并找出t 应满足的等式，从而求出βαcos cos +的取值范围. 解 令t =+βαcos cos ，① 由已知，4 3 sin sin = +β α. ② ①2+②2 ：,16 9sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+ =+?+++?+t ββααββαα ,169)cos(222+ =-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].16 55,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βα ],455,455[- ∈t 即].4 55 ,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(?+-=的值域 分析 )(x f 的解析式中既有x sin ，又有x cos ，若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示 成x 2cos 1-±，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2?-=-，因此可作代换：,cos sin t x x =-则x x cos sin ?和x x cos sin -都可以用t 表示，)(x f 就可以变形为t 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域. 解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212 x x t ?-= .2 1cos sin 2 t x x -=? .2 3 61)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-? +=?+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4 sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=?-?=-=t x x x x x t π ππ 当;352361)(,31max =+==x f t 当.22 3 232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t )(x f ∴的值域为}.35 223{≤≤--y y 评析 相应于)4 sin(2cos sin π - = -x x x ，还有更一般的情况：高中数学：两角和、差及倍角公式练习
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